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Forum "Geraden und Ebenen" - Abstand zwischen Geraden
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Abstand zwischen Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mi 17.10.2012
Autor: Crashday

Hallo Leute,

wir wiederholen gerade die Vektoren, darum schreibe ich das mal hier rein. Es sind 2 Geraden gegeben:

g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 5 \\ 3 \\ 2 } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 4 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \mu \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Wir sollen nun den Abstand zwischen diesen beiden Geraden berechnen. Ich sehe aber direkt, dass das doch nicht geht. Wenn man sich die beiden Richtungsvektoren anguckt, dann wird dann Skalarprodukt = 0 und somit sind die doch orthogonal zueinander und somit schneiden die sich auch. Hiermit kann ich doch also nicht den Abstand berechnen, oder irre ich mich? Falls die Frage konkreter wäre, an welcher Stelle, dann würde es vielleicht auch gehen, aber hier steht nur, dass man den Abstand zwsichen g und h berechnen soll.

        
Bezug
Abstand zwischen Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 17.10.2012
Autor: MathePower

Hallo Crashday,

> Hallo Leute,
>  
> wir wiederholen gerade die Vektoren, darum schreibe ich das
> mal hier rein. Es sind 2 Geraden gegeben:
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{ 5 \\ 3 \\ 2 }[/mm] + [mm]\lambda \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> und h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{ 4 \\ 1 \\ 0 }[/mm] + [mm]\mu \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Wir sollen nun den Abstand zwischen diesen beiden Geraden
> berechnen. Ich sehe aber direkt, dass das doch nicht geht.
> Wenn man sich die beiden Richtungsvektoren anguckt, dann
> wird dann Skalarprodukt = 0 und somit sind die doch
> orthogonal zueinander und somit schneiden die sich auch.


Das ist ein Irrtum, g und h schneiden sich nicht,
obwohl die Richtungsvektoren orthogonal zueinander sind.
Somit ist der Abstand berechenbar.


> Hiermit kann ich doch also nicht den Abstand berechnen,
> oder irre ich mich? Falls die Frage konkreter wäre, an
> welcher Stelle, dann würde es vielleicht auch gehen, aber
> hier steht nur, dass man den Abstand zwsichen g und h
> berechnen soll.  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Abstand zwischen Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mi 17.10.2012
Autor: Crashday

Ah, war ein blöder Denkfehler von mir. Ich habe das jetzt mal ausgerechnet:

E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 5 \\ 3 \\ 2 } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + [mm] \mu \vektor{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm]

[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm]

Normalenform:

[mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }[\vec{x}-\vektor{ 5 \\ 3 \\ 2 }] [/mm] = 0

[mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }\vec{x}-10=0 [/mm]

HNF:

[mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }\vec{x}-\bruch{10}{\wurzel{3}} [/mm] = 0

e = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }\vektor{ 4 \\ 1 \\ 0 }-\bruch{10}{\wurzel{3}} [/mm] = 2,88

Bezug
                        
Bezug
Abstand zwischen Geraden: Normalenvektor...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 17.10.2012
Autor: mathmetzsch

Hallo,

du hast dich beim Normalenvektor vertan. Mit dem Vektorprodukt komme ich da auf [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] .

Damit erhält man bei der HNF

[mm]d=\mid\bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}*\vektor{4 \\ 1 \\ 0} + \bruch{3}{\wurzel{2}}\mid\approx0,68[/mm]

falls ich mich nicht verrechnet habe.

Grüße, Daniel


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