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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand des Punktes A (2/0/2) von der Ebene E: [mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \pmat{ & 3 \\ & 5 \\ & 1 })*\pmat{ & 2 \\ & -1 \\ & 2 } [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Die obenstehende Aufgabe soll auf 2 verschiedene Rechenarten gelöst werden.
Eine habe ich schon soweit (und auch verstanden, bis auf den letzten Schritt).
Hier mein Ansatz:
Ich habe den gesuchten Abstand als eine Gerade betrachtet und so ersteinmal eine Gradengleichung aufgestellt:
g: [mm] \pmat{ & 2 \\ & 0 \\ & 2 } [/mm] + [mm] t*\pmat{ & 2 \\ & -1 \\ & 2 }
[/mm]
Nun habe ich den Schnittpunkt von g und E bestimmen wollen und dafür die Graden- in die Ebenengleichung eingesetzt:
[mm] [\pmat{ 2+ & 2t \\ 0- & t \\ 2+ & 2t } [/mm] - [mm] \pmat{ & 3 \\ & 5 \\ & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ & 2 \\ & -1 \\ & 2 }] [/mm] = 0
Das so entstandene Skalarprodukt habe ich komponentenweise addiert und bin so für t auf -1 (also t=-1) gekommen.
Das habe ich dann in g eingesetzt, woraufhin ich den Schnittpunkt S(0/1/0) erhalten habe.
Der Abstand wäre nun ja die Strecke [mm] \overrightarrow{PS}. [/mm] Also habe ich den Punkt S minus den Punkt P gerechnet und bin auf den Punkt (-2/1/-2) gekommen.
Ab jetzt habe ich den letzten Schritt einfach so gemacht, wie ich ihn schonmal im Heft stehen habe (da ich ihn nicht verstanden habe, wäre es lieb, wenn mir das nochmal jemand erklären könnte!!!)
[mm] d(Abstand)=\pmat{ & -2 \\ & 1 \\ & -2 }= \wurzel{-2^2 + 1^2 + -2^2}=3
[/mm]
Der Abstand würde also 3 sein...
Als nächstes soll die Aufgabe mithilfe der "Hesse'schen Normalenform" gelöst werden.
d= [mm] |(\vec{r}-\vec{p}) [/mm] * [mm] \vec{n_{0}}|
[/mm]
Leider verstehe ich hier garnicht, was ich für was einsetzten soll und wie das dann genau funktionieren soll...
Ich würde mich über ein bisschen Hilfe wirklich sehr freuen!!!
Vielen Dank
Eure Amy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das mit der Geraden ist richtig. Habe die Zahlen allerdings nicht kontrolliert. Aber der Gedanke ist so genau richtig.
Was du mit der Hesseschen Normalenform machen kannst: Diese gibt dir ja an, welchen Abstand die Ebene vom Ursprung hat.
Wenn du dir jetzt eine Ebene mit dem Selben Normalenvektor hernimmst, in der dein Punkt liegt, so kannst du dann ja auch den Abstand Ursprung Ebene berechnen und wenn ich weiß, welchen Abstand die Ebene zum Ursprung hat, so kann ich durch Subtrahieren sagen, wie weit der Punkt von der Ebene weg ist. Du musst nur herauskriegen, ob der Ursprung nun zwischen den beiden Ebenen liegt (weil dann müsste man ja die beiden Abstände addieren...) oder ob nicht.
Das ist dann eigentlich der Gedankengang, den du durchgehen musst, dann kommt man automatisch zu deiner Formel. Tipp: Multipliziere mal die Klammer aus, dann siehst du schon, was deine "Formel" mit der HNF zu tun hat.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 25.08.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Also, erst schonmal vielen Dank fürdie schnelle Antwort. Jetzt habe ich wenigstens einigermaßen eine Vorstellung davon, wofür die HNF überhaupt gut ist.
Aber, ich muss sagen, dass ich das noch nicht so 100%ig verstanden habe.
[mm] \vec{n_0} [/mm] ist, wie ich eben irgendwo gelesen habe offensichtlich ein "Normalen-Einheitsvektor" mit dem Betrag 1.
Heißt das nun also, dass ich für eben diesen Vektor 1 einsetzen müsste?!
Und...was genau sind [mm] \vec{r} [/mm] und [mm] \vec{p} [/mm] für Vektoren???
LG, Amy
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Hallo
> Also, erst schonmal vielen Dank fürdie schnelle Antwort.
> Jetzt habe ich wenigstens einigermaßen eine Vorstellung
> davon, wofür die HNF überhaupt gut ist.
>
> Aber, ich muss sagen, dass ich das noch nicht so 100%ig
> verstanden habe.
> [mm]\vec{n_0}[/mm] ist, wie ich eben irgendwo gelesen habe
> offensichtlich ein "Normalen-Einheitsvektor" mit dem Betrag
> 1.
> Heißt das nun also, dass ich für eben diesen Vektor 1
> einsetzen müsste?!
Nein, du darfst auf keinen Fall für diesen Vektor 1 einsetzen.
Dieser Einheitsvektor hat die Länge 1, ist aber wie der Name es schon sagt ein "normaler" Vektor mit 3 Komponenten. Dieser Vektor zeigt in dieselbe Richtung wie der Normalenvektor.
> Und...was genau sind [mm]\vec{r}[/mm] und [mm]\vec{p}[/mm] für Vektoren???
p ist ein Vektor, der in der Ebene liegt. r ist ein "unbekannter Vektor".
Wenn r die Gleichung (r-p)*n=0 erfüllt liegt er in E. Ansonsten liegt er er nicht in E.
Stell dir das mal so vor:
Es gilt d=(r-p)*n0
bzw.
d=|r-p|*|n0|*cos[mm]\alpha [/mm]
|n0| ist 1!
-->
cos[mm]\alpha [/mm]= d/|r-p|
Wenn du dir jetzt die Ebene vorstellst, weißt du das d die Ankathete und |r-p| die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, mit den Punkten R, P und dem Lotfußpunkt F eines Lotes, das durch P geht und senkrecht zur Ebene steht, ist.
Wenn der Punkt P gleichzeitig auch F ist, gilt sogar d=|r-p|
Zur Veranschaulichung: http://www.joerg-rudolf.lehrer.belwue.de/gkmathe/download/geo3.pdf
>
> LG, Amy
Gruß
Reinhold
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