Abstandsberechnungen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 06.02.2006 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | | Abstandsberechnungen von Koordinatenursprung und Gerade, bzw. Ebene, Gerade bzw. Ebene und Punkt und von zwei Ebenen. |
Ich wollte fargen, wie ich die genannen Abstände berechne. Ich habe in meiner Formelsammlung nachgeschaut und für die einzelnen Abstände folgendes gefunden:
Ursprung und Ebene/ Gerade: [mm] d=|\vec{v}*\vec{n}|
[/mm]
Dabei soll [mm] \vec [/mm] v der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden sein und [mm] \vec [/mm] n der Normaleneinheitsvektor!
Was bedeutet Normaleneinheitsvektor? Ist das einfach ein Vektor, der senkrecht auf einem Richtungsvektor der Geraden oder Ebene steht? Und ist der "feste" Punkt z.B. einfach der Punkt, zu dem der Stützvektor führt?
Die anderen beiden Formeln beinhalten die selben Begriffe, sollten die geklärt sein, kann ich mit der Formel arbeiten denke ich, oder gibt es noch einen einfacheren zur Berechnung der genannten Abstände?
MfG
SEbastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 06.02.2006 | | Autor: | lui |
Hi
das sind viele Fragen mal schauen ob ich die alle beantworten kann!
1. Ein Normalenvektor ist ein Vektor der senkrecht (meist auf einer Ebene) steht. Auf einer Geraden ist er nicht eindeutig definiert!
2. Auch richtig ist deine vermutung über den "festen Punkt". Ich kenne nur den Begriff "Aufpunktsvektor"
3.allgemein berechnet man mit dem Betrag die Länge eines Vektors! Also musst du wenn du den Abstand berechnen willst den "Verbindungsvektor" berechnen und dann seine Länge. Der Betrag eines Vektors berechnet sich durch: [mm] |\vec{v}|=\wurzel{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}
[/mm]
4. Bei Ebenen gibt es noch eine Vereinfachung. Die Hessesche Normalenform. Die is net schwer!
Ich hoffe du hast alles verstanden!
Grüße Lui
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 06.02.2006 | | Autor: | RuffY |
kannst du mir das mit der Hesse´schen Normalenform etwas erläutern, vorallem wie ich dann damit Abstandsberechnungen durchführen kann?!
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ruffy
> Abstandsberechnungen von Koordinatenursprung und Gerade,
> bzw. Ebene, Gerade bzw. Ebene und Punkt und von zwei
> Ebenen.
> Ich wollte fargen, wie ich die genannen Abstände berechne.
> Ich habe in meiner Formelsammlung nachgeschaut und für die
> einzelnen Abstände folgendes gefunden:
>
> Ursprung und Ebene/ Gerade: [mm]d=|\vec{v}*\vec{n}|[/mm]
> Dabei soll [mm]\vec[/mm] v der Ortsvektor eines festen Punktes auf
> der Geraden sein und [mm]\vec[/mm] n der Normaleneinheitsvektor!
die Formel ist richtig, ein Normaleneinheitsvektor hat die Länge 1. d.h. wenn du irgendeinen Normalenvektor hast must du ihn durch seinen Betrag dividieren. der Normalenvektor der Geraden muss allerdings in der Ebene liegen, die durch den 0 Pkt und die Gerade festgelegt ist, am einfachsten den Normalenvektor der Geraden der durch 0 geht. Das Skalarprodukt gibt immer die Projektion des einen vektors auf den anderen an, (mal dessen Länge) deshalb mit Einheitsvektor. du kannst die Formel aber auch so schreiben :
[mm]d=|\bruch{\vec{v}*\vec{n}}{|\vec{n}|}|[/mm] dann ist die Länge von [mm] \vec{n} [/mm] egal.
> Was bedeutet Normaleneinheitsvektor? Ist das einfach ein
> Vektor, der senkrecht auf einem Richtungsvektor der Geraden
> oder Ebene steht? Und ist der "feste" Punkt z.B. einfach
> der Punkt, zu dem der Stützvektor führt?
ja, oder ein anderer beliebiger Punkt auf der Geraden bzw. Ebene.
> Die anderen beiden Formeln beinhalten die selben Begriffe,
> sollten die geklärt sein, kann ich mit der Formel arbeiten
> denke ich, oder gibt es noch einen einfacheren zur
> Berechnung der genannten Abstände?
Gruss leduart
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