Abstandsberechunung punkt und < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 22.08.2006 | | Autor: | G1na |
| Aufgabe | Berchnen sie die abstände der Punkte A,B und C von der Ebene E.
A(0/0/1) B(5/-7/-8) C (9/19/22)
E x = [mm] \vektor{2 \\ 0\\ 2}+r\vektor{1 \\ 1\\ 2}*s\vektor{2 \\ 3\\ 5} [/mm] |
ich ahbe schon angefangen weiss aber nicht obs richtig ist und wies weiter geht
[mm] (x-\vektor{2 \\ 0\\ 2}* [/mm] =0
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 3 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0& 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 &1 & 2 & 0 \\ 1 & \bruch{3}{2} & \bruch{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
.
.
.
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
n3=0=p
n2=???
n1=???
Ich weiss nicht wie ich herausbekomme was n1 und n2 sind und wie ich dann wieter rechnen muss?
Gruss Gina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Di 22.08.2006 | | Autor: | CPH |
Dein ansatz ist nicht ganz falsch,
[mm] (x-\vektor{2 \\ 0\\ 2})* [/mm] =0
er müsste heißen :
[mm] |(\vec{x}-\vektor{2 \\ 0\\ 2})* \vec{n_{0}}| [/mm] =d
wobei [mm] \vec {n_{0}} [/mm] nur der normale Einheitsvektor ist, keine angst, nix schwieriges,
das ist der normale vektor [mm] \vec{n} [/mm] mit dem faktor [mm] \bruch{1}{|\vec{n}|},
[/mm]
dieser Ansatz ist der Ansatz zur Abstandsbestimmung zwischen punkt und Ebene nach Hesse'scher Normalenform siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse%27sche_Normalenform
also zur berechnung:
Ansatz allgemein:
[mm] |(\vec{x}-\vec {P_{E}})* \vec{n_{0}}| [/mm] =d
mit [mm] \vec{x}= [/mm] ortsvektor des punktes
mit [mm] \vec{P_{E}}= [/mm] beliebigem Ortsvektor der Ebene
und [mm] \vec{n_{0}}=der [/mm] normale einheitsvektor der Ebene
Spezieller Ansatz for die gegebene Ebene und den gegebenen Punkt A
[mm] |(\vektor{0 \\ 0\\ 1}-\vektor{2 \\ 0\\ 2})* \bruch{1}{|\vec{n}|}\vec{n}| [/mm] =d
wobei sich [mm] \vec{n} [/mm] aus den richtungsvektoren deiner Ebene errechnen lässt:
[mm] \vektor{1\\ 1\\ 2} [/mm] "kreuz [mm] (vektorprodukt)"\vektor{2 \\ 3\\ 5}
[/mm]
ergebnis: [mm] \vektor{1*3-2*2 \\ -(1*5-2*2)\\ 1*3-1*2}=\vektor{-1 \\ -1\\ 1}
[/mm]
Betrag bilden:
[mm] |\vektor{-1 \\ -1\\ 1}|=\wurzel{(-1)^2+(-1)^2+1^2}=\wurzel{3}
[/mm]
für den Ansatz folgt:
[mm] |(\vektor{0 \\ 0\\ 1}-\vektor{2 \\ 0\\ 2})* \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1\\ 1}| [/mm] =d
bei der berechnung sollte dass ergebnis :
Abstand d= [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}LE [/mm] herauskommen, die restlichen Abstände kannst du nun bestimmt selbst errechnen.
Wenn noch Fragen sein sollten bitte erneut stellen.
Ansonsten wünsche ich viel spass.
MFG
Christoph
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