Abzählbarkeit, Abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A [mm] \not= \emptyset [/mm] f: [mm] \IN \to [/mm] A surjektiv , Zeigen Sie dass A abzählbar ist. |
Hmm ich hab bei der Aufgabe lang überlegt aber irgendwie kam ich zu keinem richtigem Beweis 
ich weiß dass , etwa abzählbar ist ,wenn ich eine bijektive Abbildung finde ,da mein A menge unbekannt ist reicht es nicht aus
oder zeige [mm] |\IN| \ge [/mm] | A| ,das hat mir auch nicht geholfen
mir ist klar warum A abzählbar ist ,das kommt ja aus der Surjetivität
[mm] F(\IN [/mm] )= A aber ...bringt mir nicht weiter
danke ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Sei A [mm]\not= \emptyset[/mm] f: [mm]\IN \to[/mm] A surjektiv , Zeigen Sie
> dass A abzählbar ist.
> Hmm ich hab bei der Aufgabe lang überlegt aber irgendwie
> kam ich zu keinem richtigem Beweis
>
> ich weiß dass , etwa abzählbar ist ,wenn ich eine bijektive
> Abbildung finde ,da mein A menge unbekannt ist reicht es
> nicht aus
Nicht unbedingt. Oder wie habt ihr das definiert? Ich kenne nur die Definition, dass die Menge A [mm] \not= \0 [/mm] abzählbar ist, wenn es eine surjektive Abbildung [mm] \IN [/mm] -> A gibt. Was bedeutet, es muss eine Folge [mm] (x_n)_{n \ge 0} [/mm] existieren, für das A = [mm] \{x_n : n \in \IN \} [/mm] gilt.
Eine nichtendliche Menge heißt abzählbar unendlich, und für diese nicht abzählbare Menge gibt es sogar eine bijektive Abbildung.
>
> oder zeige [mm]|\IN| \ge[/mm] | A| ,das hat mir auch nicht
> geholfen
>
> mir ist klar warum A abzählbar ist ,das kommt ja aus der
> Surjetivität
Hast du das geraten? ;) Weil ansonsten verstehe ich das mit deinem Bijektiv (oben) nicht mehr..
> [mm]F(\IN[/mm] )= A aber ...bringt mir nicht weiter
Mit dem Wissen, dass du nur eine surjektive Funktion für die ENDLICHE (?) Menge A brauchst, gib die doch einfach an.
Die Menge A hat doch die Form A = [mm] \{ a_0,..., a_n \}
[/mm]
Und die surjektive Abbildung f: [mm] \IN-> [/mm] A ist einfach f(k) := [mm] a_k [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n.
Jetzt fehlt aber noch der Fall k >n. Dafür kannst du einfach folgendes definieren
f(k) := [mm] a_n [/mm] für k > n.
MfG!
Disap
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So wie ich meine Proffesorin verstehe , meinte sie beide Fälle ,also A kann abzählbar endlich oder abzählbar unendlich sein
ehmmm was meinst du
mit dem Fall k>n mit [mm] f(k)=a_{n} [/mm] k>n?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Fr 22.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fall A endlich ist direkt
also A nicht endlich.
zu jedem [mm] a\in [/mm] A gibt es mindestens ein [mm] n\in [/mm] N, sodass f(n)=a
bestimme [mm] Min(n_i)=n_a [/mm] mit [mm] f(n_i)=a, [/mm] dann hast du ne eindeutige Abb. von N auf A und damit abzählbar.
Gruss leduart
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Fall A nicht endlich also A
nicht endlich.
> zu jedem [mm]a\in[/mm] A gibt es mindestens ein [mm]n\in[/mm] N, sodass
> f(n)=a
> bestimme [mm]Min(n_i)=n_a[/mm] mit [mm]f(n_i)=a,[/mm] dann hast du ne
> eindeutige Abb. von N auf A und damit abzählbar.
kannst du mehr dazu sagen ich hab das mit min ni nicht so ganz verstanden und dann [mm] n_{a}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Sa 23.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)zu jedem n gehört nur ein a, fertig,
b) zu allen oder einigen a gehören mehrere n, die nenn ich [mm] n_i, [/mm] davon such ich das kleinste, da N geordnet ist gibts da immer.das nenn ich [mm] n_a [/mm]
damit definier ich ne eindeutige Abbildung f von N nach A, wo zu jedem a ein [mm] n\in [/mm] N gehört. damit ist A abzählbar. [mm] f(n_a)=a
[/mm]
Gruss leduart
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surjektiv (Wikipedia)