Abzählbarkeit von Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hab da mal ne Frage.
Wir haben gezeigt bekommen, dass man die reellen Zahlen wegen des cantorschen Diagonalsatzes nicht abzählen kann. Wenn ich aber wie bei den rationalen Zahlen vorgehe, dann geht das doch aber eigentlich:
Sei das Intervall [0;1) gegeben. Dann kann ich die Zahlen in einem Baumdiagramm darstellen:
0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 ...
usw. Dann kann ich wieder anfangen abzuzählen:
1 [mm] \mapsto [/mm] 0
2 [mm] \mapsto [/mm] 0,1 (0,0 wird ausgelassen, da 0,0=0)
3 [mm] \mapsto [/mm] 0,2
4 [mm] \mapsto [/mm] 0,3
5 [mm] \mapsto [/mm] 0,4
6 [mm] \mapsto [/mm] 0,5
7 [mm] \mapsto [/mm] 0,6
8 [mm] \mapsto [/mm] 0,7
9 [mm] \mapsto [/mm] 0,8
10 [mm] \mapsto [/mm] 0,9
11 [mm] \mapsto [/mm] 0,01
12 [mm] \mapsto [/mm] 0,02
...
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Die Zahlen, die du hier aufzählst sind allesamt rational.
Aber du zählst nicht einmal alle rationalen Zahlen ab: an welcher Stelle kommt denn [mm] $\frac{1}{3}$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Di 30.10.2007 | | Autor: | Gilga |
Bei solchen Beweisen muss man aufpassen.
Sind 2 Mengen gleichmächtig so muss man eine bijektive Abb. angeben.
Bei 1/3 kann man keine natürliche Zahl angeben die nach deiner Aufzählung dies je schafft.
Der Widerspruchsbeweis liefert eine tiefere Einsicht.
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ok. Danke euch beiden.
Genau nach sowas hab ich gesucht. Mir ist einfach keine Zahl eingefallen, die ich nicht so darstellen kann.
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