Achsenabschnittsgleichung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 31.03.2013 | | Autor: | IronMike |
| Aufgabe | Aufgabe 1
a) Bestimmen Sie die Achsenabschnittsgleichung der Ebene, die durch die drei Punkte [mm] \vec{a} [/mm] = (1,2,3), [mm] \vec{b} [/mm] = (-1,2,4) und [mm] \vec{c} [/mm] = (1,-2,5) geht!
b) Skizzieren Sie die Lage der Ebene!
c) Bestimmen Sie den Abstand dieser Ebene vom Koordinatenursprung |
Hallo, ich sehe zur Zeit echt nicht durch, da ich durch Nebenjobs oft fehle im Studium und habe in zwei Wochen Prüfung. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich habe mich versucht zu belesen und bin auf folgende Allgemein-Gleichung gestoßen:
[mm] \bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c}=1
[/mm]
Nun weiß ich aber echt nicht was ich damit machen soll. Die restliche Beschreibung auf der Seite wo ich das gelesen habe, ergibt für mich keinen Sinn.
Vielen Dank schon mal im voraus!
MfG
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 1
> a) Bestimmen Sie die Achsenabschnittsgleichung der Ebene,
> die durch die drei Punkte [mm]\vec{a}[/mm] = (1,2,3), [mm]\vec{b}[/mm] =
> (-1,2,4) und [mm]\vec{c}[/mm] = (1,-2,5) geht!
> b) Skizzieren Sie die Lage der Ebene!
> c) Bestimmen Sie den Abstand dieser Ebene vom
> Koordinatenursprung
> Hallo, ich sehe zur Zeit echt nicht durch, da ich durch
> Nebenjobs oft fehle im Studium und habe in zwei Wochen
> Prüfung. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Ich habe mich versucht zu belesen und bin auf folgende
> Allgemein-Gleichung gestoßen:
>
> [mm]\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c}=1[/mm]
>
> Nun weiß ich aber echt nicht was ich damit machen soll.
> Die restliche Beschreibung auf der Seite wo ich das gelesen
> habe, ergibt für mich keinen Sinn.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da wir nicht wissen, wo Du was gelesen hast, ist es schwer, auf Dein Problem einzugehen.
a, b, c in der Achsenabschnittsform sind die Stellen, an denen die Ebene die x- bzw. y- bzw. z-Achse schneidet.
Kennst Du diese Schnittpunkte, so ist es also leicht, die Achsenabschnittsform zu bekommen.
Eine Möglichkeit, die a, b, c zu bestimmen:
stelle die Parametergleichung der Ebene auf, also
[mm] \vec{x}=\vektor{...\\...\\...}+r\vektor{...\\...\\...}+s\vektor{...\\...\\...}.
[/mm]
Bestimme dann, wo die Ebene die x-Achse schneidet aus
[mm] \vektor{a\\0\\0}=\vektor{...\\...\\...}+r\vektor{...\\...\\...}+s\vektor{...\\...\\...}.
[/mm]
Die anderen beiden Achsenabschnitte analog.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 01.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hallo Angela,
ich hoffe ich habe die Gleichung richtig aufgestellt:
[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s\vektor{0 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
Kann das stimmen?
Das mit dem Bestimmen, wo die Ebene die X-Achse bzw. Y und Z Achse geschnitten wird, habe ich nicht kapiert. Was ist damit gemeint?
Sicher nicht:
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+r\vektor{-2 \\ 0 \\ 0}+s\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Oder?
Hoffe, ich stelle mich nicht allzu prasslig an.
LG, Falk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 01.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hallo,
ah ok verstehe. Habe nun folgende Gleichungen aufgestellt:
1-2r+0s=a [mm] \Rightarrow [/mm] a=1-2r [mm] \Rightarrow [/mm] 1-2*(-2s) [mm] \Rightarrow [/mm] a=1
0+0r-4s=0 [mm] \Rightarrow [/mm] -4s=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 4s=0
0+1r+2s=0 [mm] \Rightarrow [/mm] r=-2s
Kann das hinhauen? Und wenn ja, muss ich das nun für b und c genauso machen?
LG, Falk
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Hallo Falk,
viel besser. 
> Hallo,
>
> ah ok verstehe. Habe nun folgende Gleichungen aufgestellt:
>
> 1-2r+0s=a [mm]\Rightarrow[/mm] a=1-2r [mm]\Rightarrow[/mm] 1-2*(-2s)
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=1
>
> 0+0r-4s=0 [mm]\Rightarrow[/mm] -4s=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 4s=0
>
> 0+1r+2s=0 [mm]\Rightarrow[/mm] r=-2s
Deine Lösung stimmt, nur ist die Reihenfolge des Lösungswegs nicht nachvollziehbar. Versuch besser, nicht alles in sowenig Zeilen wie möglich zu schreiben bzw. achte auf die Reihenfolge Deiner Erkenntnisse.
Aber wie gesagt: sonst richtig!
> Kann das hinhauen? Und wenn ja, muss ich das nun für b und
> c genauso machen?
Jawollja.
Und das ist es dann auch schon.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mo 01.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ja, hatte es nur so schnell hingeschrieben.
Für b habe ich nun folgendes raus:
[mm] \vektor{0 \\ b \\ 0}= \vektor{0 \\ 2 \\ 0}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
0-2r+0s=0
-2r=0
r=0
2+0r-4s=b
b=2-4s
b=2
0+1r+2s=0
1r=-2s
s=-0,5r
s=0
und für c:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
0-2r+0s=0
-2r=0
r=0
0+0r-4s=0
-4s=0
s=0
3+1r+2s=c
c=1r+2s+3
c=3
Und das war jetzt schon alles zu dieser Aufgabe?
Aufgabe b) war ja: Skizzieren Sie die Lage der Ebene. Dazu muss ich doch nur die geg. Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen oder nicht?
Aufgabe c) lautete ja: Bestimmen Sie den Abstand dieser Ebene vom Koordinatenursprung.
Wie funktioniert das?
Danke im voraus! =)
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Hallo IronMike,
> Ja, hatte es nur so schnell hingeschrieben.
>
> Für b habe ich nun folgendes raus:
>
> [mm]\vektor{0 \\ b \\ 0}= \vektor{0 \\ 2 \\ 0}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}[/mm]
>
Die zu betrachtende Vektorgleichung lautet doch:
[mm] \vektor{0 \\ b \\ 0}= \vektor{\red{1} \\ 2 \\ \red{3}}+r\cdot{}\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{0 \\ -4 \\ 2}[/mm]
> 0-2r+0s=0
> -2r=0
> r=0
>
> 2+0r-4s=b
> b=2-4s
> b=2
>
> 0+1r+2s=0
> 1r=-2s
> s=-0,5r
> s=0
>
> und für c:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ c}= \vektor{0 \\ 0 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}[/mm]
>
Und hier:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ c}= \vektor{\red{1} \\ \red{2} \\ 3}+r\cdot{}\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{0 \\ -4 \\ 2}[/mm]
> 0-2r+0s=0
> -2r=0
> r=0
>
> 0+0r-4s=0
> -4s=0
> s=0
>
> 3+1r+2s=c
> c=1r+2s+3
> c=3
>
> Und das war jetzt schon alles zu dieser Aufgabe?
>
>
> Aufgabe b) war ja: Skizzieren Sie die Lage der Ebene. Dazu
> muss ich doch nur die geg. Punkte ins Koordinatensystem
> einzeichnen oder nicht?
>
Ja, einzeichnen und dann verbinden.
> Aufgabe c) lautete ja: Bestimmen Sie den Abstand dieser
> Ebene vom Koordinatenursprung.
>
> Wie funktioniert das?
>
Siehe Hesse'sche Normalenform
> Danke im voraus! =)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hallo MathePower
Danke für die Verbesserung. Nun komme ich aber bei Aufgabe a) zu folgenden anderen Ergebnissen
a=9
b=9
c=4,5
Kann das jemand bestätigen?
Zu der Aufgabe c) und dem gesendeten Link kann ich nur eins sagen: Ich verstehe echt nur Bahnhof =(
Ich tu mich eh sehr schwer solche Aussagen wirklich zu kapieren. Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben wie ich anfangen muss?
Vielen Dank und Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MathePower
>
> Danke für die Verbesserung. Nun komme ich aber bei Aufgabe
> a) zu folgenden anderen Ergebnissen
>
> a=9
> b=9
> c=4,5
>
> Kann das jemand bestätigen?
Ja, ich !
>
> Zu der Aufgabe c) und dem gesendeten Link kann ich nur eins
> sagen: Ich verstehe echt nur Bahnhof =(
> Ich tu mich eh sehr schwer solche Aussagen wirklich zu
> kapieren. Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben wie
> ich anfangen muss?
c) kann man auch so formulieren:
Bestomme den Abstand des Punktes (0|0|0) von der Ebene.
Dafür gibts ne Formel:
http://www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/abstaende/abstand-punkt-ebene/
FRED
>
> Vielen Dank und Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hmmm, ist bestimmt ne saudämliche Frage von mir, aber wie komme ich auf die Ebenengleichung bzw. bestimme sie? O.o
LG
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Hallo,
> Hmmm, ist bestimmt ne saudämliche Frage von mir, aber wie
> komme ich auf die Ebenengleichung bzw. bestimme sie? O.o
welche Form der Ebenengleichung meinst du denn? Vielleicht hilft es dir ja schoin weiter, dass oben mit Achsenabschittsgleichung eine ganz gewöhnliche Koordinatenform gemeint ist, die jedoch noch geeignet multipliziert wird, so dass die Konstante auf der rechten Seite gleich 1 ist.
Am einfachsten bekommt man die Koordianten- aus der Parameterform, indem man per Kreuzprodukt den Normalenvektor berechnet und selbige Konstante durch Einsetzen eines Ebenenpunktes bestimmt.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hmmm, ist bestimmt ne saudämliche Frage von mir, aber wie
> komme ich auf die Ebenengleichung bzw. bestimme sie? O.o
Ist das zu fassen ?
Du solltest doch die Ebenengleichung in der Form
[mm] \bruch{x}{a}+ \bruch{y}{b}+ \bruch{z}{c}=1
[/mm]
aufstellen. a, b und c hattest Du richtig berechnet.
Wenn Du dann fragst : "wie komme ich auf die Ebenengleichung ?", fühle ich mich verarscht.
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ich möchte niemanden verarschen.
In dem Link steht folgendes:
"Aus der Ebenengleichung kann man den Normalenvektor n entnehmen."
Ich hatte ja folgende Gleichung aufgestellt für a:
[mm] \vektor{a \\ 0 \\ 0}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
Dann steht im Link weiter:
"E: [mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+...+n_{m}x_{m}=y"
[/mm]
Da verstehe ich nicht, was aus meiner Formel [mm] n_{1}, n_{2} [/mm] etc ist.
Entschuldigt, wenn das für alle anderen klar ist. Ich tu mich schwer mit Mathe, deshalb will ich es verstehen.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte niemanden verarschen.
>
> In dem Link steht folgendes:
>
> "Aus der Ebenengleichung kann man den Normalenvektor n
> entnehmen."
>
> Ich hatte ja folgende Gleichung aufgestellt für a:
>
> [mm]\vektor{a \\ 0 \\ 0}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3}+r*\vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+s*\vektor{0 \\ -4 \\ 2}[/mm]
>
> Dann steht im Link weiter:
>
> "E: [mm]n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+...+n_{m}x_{m}=y"[/mm]
>
> Da verstehe ich nicht, was aus meiner Formel [mm]n_{1}, n_{2}[/mm]
> etc ist.
>
> Entschuldigt, wenn das für alle anderen klar ist. Ich tu
> mich schwer mit Mathe, deshalb will ich es verstehen.
Wir hatten :
$ [mm] \bruch{x}{a}+ \bruch{y}{b}+ \bruch{z}{c}=1 [/mm] $
mit a=b=9 und c=4,5.
Wenn Du das oben einträgst und mit 9 durchmultiplizierst bekommst Du:
x+y+2z=9
Manche schreiben statt x,y,z auch [mm] x_1,x_2,x_3.
[/mm]
Jedenfalls hast Du nun die Ebene in der Form
[mm] x_1+x_2+2x_3=9.
[/mm]
Dann ist [mm] n_1=n_2=1 [/mm] und [mm] n_3=2.
[/mm]
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Ah jetzt verstehe ich. Aber warum multiplizieren Sie jetzt mit 9? Wegen dem gleichen Hauptnenner?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 02.04.2013 | | Autor: | IronMike |
Hat sich erledigt, habe es nun begriffen.
Keine Ahnung wie ich die Frage selber schließen kann.
Ich danke allen Helfern vielmals für die Geduld, welche sie mit mir hatten.
LG
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Hallo,
> Ah jetzt verstehe ich. Aber warum multiplizieren Sie
Du kannst hier getrost alle duzen.
> jetzt mit 9? Wegen dem gleichen Hauptnenner?
Ja, einfach nur, damit man "glatte" Zahlen hat. Die wirst Du aber sowieso gleich wieder los, jedenfalls wenn Du den Normalenvektor normierst, also auf die Länge 1 bringst.
Grüße
reverend
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht ganz. Die Ebenengleichung auf der rechten Seite bleibt unverändert:
