Adapt. Prozess und Trajekt. < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 09.12.2012 | | Autor: | ajuda |
| Aufgabe | Definieren Sie "adaptierter Prozess" (an eine Filtration [mm] \mathbb{F}=(\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}). [/mm]
Sei [mm] \tau [/mm] eine nichttriviale Stoppzeit bezüglich [mm] \mathbb{F}. [/mm]
Ist der Prozess [mm] (X_t)_{t\geq 0} [/mm] mit [mm] X_t=\max (\tau,t) [/mm] adaptiert an [mm] \mathbb{F}? [/mm] Wie sehen die Trajektorien aus? |
Hallo, Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: matheplanet.com (suche "Adaptierter Prozess und Trajektorien"), dort aber auch nach über einer Woche noch keine Antwort erhalten.
Zunächst meine Lösungsversuche:
Wenn [mm] \tau\geq [/mm] t: [mm] \max(\tau,t)=\tau, \tau [/mm] ist adaptiert an [mm] \mathbb{F}, [/mm] weil [mm] \tau [/mm] eine Stoppzeit bezüglich [mm] \mathbb{F} [/mm] ist.
Wenn [mm] \tau
{ [mm] \tau+c\leq [/mm] t }={ [mm] \tau \leq [/mm] t-c [mm] }\in \mathcal{F}_{t-c} \subset \mathcal{F}_t
[/mm]
bzw. { t [mm] \leq [/mm] t [mm] }=\Omega \in \mathcal{F}_t [/mm] für alle t
{ [mm] \max(\tau,t)\leq [/mm] t }={ [mm] \tau \leq [/mm] t } [mm] \cap [/mm] { t [mm] \leq [/mm] t } [mm] \in \mathcal{F}_t [/mm]
Weil [mm] \max(\tau,t) [/mm] Stoppzeit bezüglich [mm] \mathbb{F} [/mm] ist, ist [mm] X_t [/mm] adaptiert an [mm] \mathbb{F}.
[/mm]
Jetzt weiß ich aber, dass die Argumentation über Stoppzeit so nicht funktioniert und der Ansatz wohl falsch ist. Allerdings will mir kein Ansatz gelingen, wie ich [mm] \mathcal{F}_t [/mm] - Messbarkeit beweisen oder widerlegen soll? Ist der Prozess überhaupt adaptiert?
Bei den Trajektorien müsste ich wohl nach [mm] \tau [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \tau [/mm] = [mm] \infty [/mm] unterscheiden.
Falls [mm] \tau [/mm] < [mm] \infty [/mm] : Gerade parallel zu horizontaler Achse auf Höhe [mm] \tau [/mm] bis [mm] t=\tau, [/mm] dann Identitätsgerade.
Falls [mm] \tau [/mm] = [mm] \infty: [/mm] Trajektorien können nicht gezeichnet werden oder existieren nicht?
Ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe behilflich sein. Vielen Dank!
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Hallo,
bei der Frage ob der Prozess [mm] (X_t)_{t\ge 0} [/mm] adaptiert ist, muss du überprüfen, ob [mm] X_t [/mm] eine [mm] F_t [/mm] messbare ZV ist für alle [mm] t\ge [/mm] 0.
Dies ist nicht der Fall, da schon [mm] X_0 [/mm] nicht [mm] F_0 [/mm] m.b. ist (I steht für die Indikatorfunktion):
[mm] X_0= \tau*I_{\{\tau \ge 0\}} [/mm] + [mm] 0*I_{\{\tau \le 0\}}=\tau*I_{\{\tau \ge 0\}} [/mm] = [mm] \tau
[/mm]
und [mm] \tau [/mm] ist als nicht triviale Stoppzeit nicht [mm] F_0 [/mm] m.b.
Zu den Trajekotrien: Ich denke mal in diesem Fall ist [mm] \tau<\infty [/mm] gemeint; ansonsten ergibt die Frage keinen Sinn.
LG rafael
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