Addition von Linearer Hülle < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Zeigen sie:
span [mm] \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm] +span [mm] \left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0\\ 1 \\ 0} \right)= \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) \oplus \left(\vektor{0\\ 1 \\ 0} \right) [/mm] |
N'abend,
ich hab da ein Verständnisproblem mit der Aufgabe.
Ich muss obige Beziehung zeigen, also das ausrechnen?
Der Span bzw. die lineare Hülle ist die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A [mm] (A\subsetV).
[/mm]
D.h. für die linke Seite wären das Ergebnis die lineare Hülle aus den Vektoren, die von den 4 Vektoren linear unabhänig zueinander sind?
Da es ja offensichtlich der [mm] \IR^3 [/mm] ist muss zwangsläufig einer linear abhänig sein. (Wenn ich die Matrix hinschreibe krieg ich nach Umformungen eine Nullspalte)
Dann müsste ich jetzt jede einzelne Kombination der Vektoren auf Abhänigkeit prüfen.
Schreibe ich die Vektoren [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] als Matrix und rechne die Determinante aus kommt 0 raus. Also ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] einme linearkombination aus den anderen beiden
Das Ergebnis auf der linken Seite wäre dann span [mm] \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right) [/mm]
Rechts bin ich mir nich ganz sicher was [mm] "\oplus" [/mm] bedeutet bzw. ich ich das anders ausdrücken kann, um damit zu rechnen.
Gruß,
sup
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> Zeigen sie:
> span [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right)[/mm] +span [mm]\left(\vektor{0 \\
0 \\
1}, \vektor{0\\
1 \\
0} \right)= \left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right) \oplus \left(\vektor{0\\
1 \\
0} \right)[/mm]
>
> N'abend,
>
> ich hab da ein Verständnisproblem mit der Aufgabe.
> Ich muss obige Beziehung zeigen, also das ausrechnen?
Hallo,
Du mußt zeigen, daß die Mengen rechts und links von Gleicheitszeichen gleich sind,
und daß die rechte Summe direkt ist. (Was bedeutet das? Schlag in Deinen Unterlagen nach!)
>
> Der Span bzw. die lineare Hülle ist die Menge aller
> Linearkombinationen mit Vektoren aus A [mm](A\subset V).[/mm]
> D.h. für die linke Seite wären das Ergebnis die lineare
> Hülle aus den Vektoren, die von den 4 Vektoren linear
> unabhänig zueinander sind?
Zur Mengengleichheit:
die Menge links ist die Menge [mm] \{(a\vektor{2 \\
2 \\
1}+b \vektor{1 \\
1 \\
1})+(c\vektor{0 \\
0 \\
1}+d\vektor{0\\
1 \\
0})|a,b,c,d\in \IR\},
[/mm]
rechts ensprechend.
Zeigen mußt Du, daß Du jedes Element der linken Menge als Linearkombination v. $ [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ schreiben kannst und umgekehrt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Du mußt zeigen, daß die Mengen rechts und links von
> Gleicheitszeichen gleich sind,
>
> und daß die rechte Summe direkt ist. (Was bedeutet das?
> Schlag in Deinen Unterlagen nach!)
Wenn ich das richtig verstanden habe bedeutet das dann:
span [mm] \left( \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) \oplus span\left( \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] span [mm] \left( \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm] + [mm] span\left( \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right) [/mm] = V [mm] \wedge span\left( \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) \cap span\left( \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right) [/mm] = {0}
Damits übersichtlicher ist sei mal [mm] U_1:=span \left( \vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm] und [mm] U_2:=pan\left( \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right) [/mm]
Wörtlich heißt, dass dann [mm] U_1+U_2 [/mm] bilden wieder den gesamten Vektorraum und haben nur die Nullmenge gemeinsam.
> > Der Span bzw. die lineare Hülle ist die Menge aller
> > Linearkombinationen mit Vektoren aus A [mm](A\subset V).[/mm]
> >
> D.h. für die linke Seite wären das Ergebnis die lineare
> > Hülle aus den Vektoren, die von den 4 Vektoren linear
> > unabhänig zueinander sind?
>
> Zur Mengengleichheit:
>
> die Menge links ist die Menge [mm]\{(a\vektor{2 \\
2 \\
1}+b \vektor{1 \\
1 \\
1})+(c\vektor{0 \\
0 \\
1}+d\vektor{0\\
1 \\
0})|a,b,c,d\in \IR\},[/mm]
>
> rechts ensprechend.
>
> Zeigen mußt Du, daß Du jedes Element der linken Menge als
> Linearkombination v. [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] schreiben kannst und umgekehrt.
>
Der dritte Vektor muss [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] heißen oder?
Zeigen, dass die 4 Vektoren auf der linken Seite Linearkombinationen von den 3 Vektoren sind ist kein Problem.
Nur warum das jetzt so ist kapier ich aber (in Zusammenhand der direkten Summe) nicht
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> > Du mußt zeigen, daß die Mengen rechts und links von
> > Gleicheitszeichen gleich sind,
> >
> > und daß die rechte Summe direkt ist. (Was bedeutet das?
> > Schlag in Deinen Unterlagen nach!)
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe bedeutet das dann:
> span [mm]\left( \vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right) \oplus span\left( \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] span [mm]\left( \vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right)[/mm]
> + [mm]span\left( \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm] = V [mm]\wedge span\left( \vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right) \cap span\left( \vektor{0 \\
0 \\
1}\right)[/mm]
> = {0}
>
> Damits übersichtlicher ist sei mal [mm]U_1:=span \left( \vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right)[/mm]
> und [mm]U_2:=pan\left( \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm]
> Wörtlich heißt, dass dann [mm]U_1+U_2[/mm] bilden wieder den
> gesamten Vektorraum und haben nur die Nullmenge gemeinsam.
Hallo,
Du hast jetzt [mm] V=U_1\oplus U_2 [/mm] richtig erklärt.
[mm] U_1\oplus U_2 [/mm] sagt nur, daß man hier einen Raum U hat, der die Summe von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] ist, und daß der Schnitt von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] nur die Null enthält.
Das mit dem Schnitt kannst Du in Deiner Aufgabe leicht zeigen, und da die drei Vektoren rechts linear unabhängig sind, hast Du in der Tat den [mm] \IR^3 [/mm] rechts, wie Du bereits erkannt hast.
> > > Der Span bzw. die lineare Hülle ist die Menge aller
> > > Linearkombinationen mit Vektoren aus A [mm](A\subset V).[/mm]
> >
> >
> > D.h. für die linke Seite wären das Ergebnis die lineare
> > > Hülle aus den Vektoren, die von den 4 Vektoren linear
> > > unabhänig zueinander sind?
> >
> > Zur Mengengleichheit:
> >
> > die Menge links ist die Menge [mm]\{(a\vektor{2 \\
2 \\
1}+b \vektor{1 \\
1 \\
1})+(c\vektor{0 \\
0 \\
1}+d\vektor{0\\
1 \\
0})|a,b,c,d\in \IR\},[/mm]
>
> >
> > rechts ensprechend.
> >
> > Zeigen mußt Du, daß Du jedes Element der linken Menge als
> > Linearkombination v. [mm]\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm]
> > und [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] schreiben kannst und umgekehrt.
> >
> Der dritte Vektor muss [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] heißen oder?
Ja, da hatte ich eine falsche zeile kopiert.
> Zeigen, dass die 4 Vektoren auf der linken Seite
> Linearkombinationen von den 3 Vektoren sind ist kein
> Problem.
>
> Nur warum das jetzt so ist kapier ich aber (in Zusammenhand
> der direkten Summe) nicht
Ich weiß jetzt nicht genau, wo das Problem ist.
Dafür, daß man jedes Element von links als Linearkombination der drei Vektoren rechts schreiben kannst, braucht man nicht unbedingt die direkte Summe zu verwenden.
Ich greife nochmal Deine eingangs genannte Idee auf:
Du kannst auch zeigen, daß die Räume links und rechts beide der [mm] \IR^3 [/mm] sind. Dann sind beide Seiten natürlich gleich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Di 24.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
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> Du hast jetzt [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] richtig erklärt.
>
> [mm]U_1\oplus U_2[/mm] sagt nur, daß man hier einen Raum U hat, der
> die Summe von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ist, und daß der Schnitt von [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2[/mm] nur die Null enthält.
>
> Das mit dem Schnitt kannst Du in Deiner Aufgabe leicht
> zeigen, und da die drei Vektoren rechts linear unabhängig
> sind, hast Du in der Tat den [mm]\IR^3[/mm] rechts, wie Du bereits
> erkannt hast.
>
Warum muss ich das zeigen? Die direkte Summe ist doch schon vorrausgesetzt, oder?
Aber trotzdem:
Wenn die 3 Vektoren linear unabhänig sind, dann kann keine Elemet aus [mm] U_1 [/mm] durch [mm] U_2 [/mm] ausgedrückt werden. Außer eben der Nullraum, indem man die Vektoren mit 0 multipliziert.
Somit ist [mm] U_1 \cap U_2 ={\vec{0}}
[/mm]
> Ich weiß jetzt nicht genau, wo das Problem ist.
> Dafür, daß man jedes Element von links als
> Linearkombination der drei Vektoren rechts schreiben
> kannst, braucht man nicht unbedingt die direkte Summe zu
> verwenden.
Schon gut. Mein Problem war allg. die direkte Summe, da wir in der Vorlesung das ertsmal nur kurz am Rande gehört haben und der Begriff direkte Summe nicht in den Unterlagen war. Deswegen wusste ich nicht sorecht wonach ich suchen sollte :)
> Ich greife nochmal Deine eingangs genannte Idee auf:
> Du kannst auch zeigen, daß die Räume links und rechts
> beide der [mm]\IR^3[/mm] sind. Dann sind beide Seiten natürlich
> gleich.
>
> Gruß v. Angela
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> >
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> > Hallo,
> >
> > Du hast jetzt [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] richtig erklärt.
> >
> > [mm]U_1\oplus U_2[/mm] sagt nur, daß man hier einen Raum U hat, der
> > die Summe von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ist, und daß der Schnitt von [mm]U_1[/mm]
> > und [mm]U_2[/mm] nur die Null enthält.
>
>
> >
> > Das mit dem Schnitt kannst Du in Deiner Aufgabe leicht
> > zeigen, und da die drei Vektoren rechts linear unabhängig
> > sind, hast Du in der Tat den [mm]\IR^3[/mm] rechts, wie Du bereits
> > erkannt hast.
Hallo!
> >
> Warum muss ich das zeigen?
Weil da steht: "Zeigen Sie" ...
> Die direkte Summe ist doch schon
> vorrausgesetzt, oder?
Die könnten Dich ja anlügen.
Du sollst prüfen, ob die Aussage stimmt.
Diese Überprüfung beinhaltet zweierlei:
1. Stehen rechts und links des Gleichheitszeichens dieselben Mengen?
2. Ist die Summe rechts wirklich direkt.
(Wenn links ein [mm] \oplus [/mm] stünde, wär's ja falsch.)
> Aber trotzdem:
> Wenn die 3 Vektoren linear unabhänig sind, dann kann
> keine Elemet aus [mm]U_1[/mm] durch [mm]U_2[/mm] ausgedrückt werden. Außer
> eben der Nullraum, indem man die Vektoren mit 0
> multipliziert.
> Somit ist [mm]U_1 \cap U_2 ={\vec{0}}[/mm]
Ja, das stimmt.
Kannst Du trotzdem mal (ganz für Dich) versuchen vorzurechnen, daß die Summe direkt ist?
So: sei [mm] x\in U_1\cap U_2.
[/mm]
Dann kann man x schreiben als x=... und als x=...
Also ist ...=... .
==> 0= ... ==> ... ==> x=0.
Gruß v. Angela
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> Zeigen sie:
> span [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right)[/mm] +span [mm]\left(\vektor{0 \\
0 \\
1}, \vektor{0\\
1 \\
0} \right)= \left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1} \right) \oplus \left(\vektor{0\\
1 \\
0} \right)[/mm]
>
> N'abend,
>
> ich hab da ein Verständnisproblem mit der Aufgabe.
> Ich muss obige Beziehung zeigen, also das ausrechnen?
>
> Der Span bzw. die lineare Hülle ist die Menge aller
> Linearkombinationen mit Vektoren aus A [mm](A\subsetV).[/mm]
> D.h. für die linke Seite wären das Ergebnis die lineare
> Hülle aus den Vektoren, die von den 4 Vektoren linear
> unabhänig zueinander sind?
Heute früh haben offenbar die Nullen und Einsen in meinem Kopf Ringelreihen getanzt, so daß egrober Unfug entstanden ist.
Ich editiere komplett.
EDIT:
Hallo,
ich hatte Dir ja in meiner anderen Antwort die Menge aufgeschrieben, die wir links haben. Sie enthält alle Linearkombinationen der 4 Vektoren, ist also gleich dem span der 4 Vektoren.
> Da es ja offensichtlich der [mm]\IR^3[/mm] ist muss zwangsläufig
> einer linear abhänig sein. (Wenn ich die Matrix
> hinschreibe krieg ich nach Umformungen eine Nullspalte)
> Dann müsste ich jetzt jede einzelne Kombination der
> Vektoren auf Abhänigkeit prüfen.
> Schreibe ich die Vektoren [mm]\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] als Matrix und rechne die
> Determinante aus kommt 0 raus.
Ja.
> Also ist [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm]
> einme linearkombination aus den anderen beiden
Dieser Schluß ist nicht ganz richtig.
Wenn die det =0 ist, sind die Vektoren linear abhängig,
aber welchen Vektor man durch welchen darstellen kann, kann man der Determinante allein nicht entnehmen.
Mit etwas Hingucken sieht man's.
>
> Das Ergebnis auf der linken Seite wäre dann span
> [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm]
Wenn Du damit den span der Vektoren meinst, stimmt es.
Und weil sie linear unabhängig sind, ist es der [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Di 24.05.2011 | | Autor: | Sup |
Stimmt hab mich vertan,
Also wenn det [mm] \not= [/mm] 0 sind die Vektoren linear unabhänig.
Das wäre für die rechte Seite der Fall.
Nun überprüfe ich links die Vektoren auf lin. Unabhänigkeit, indem ich ein hoimogenes LGS aufstelle.
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 & |0\\ 2 & 1 & 0 & |0 \\ 1 & 1 & 1 & |0}
[/mm]
Da sehe ich schon, das bei der umformung die 2. Zeile zur Nullzeile wird.
Also ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] eine Linearkombination der beiden anderen.
Das links [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] linear unabhänig zu den beidne anderen ist habe ich ja oben schon für die Rechte Seite gezeigt.
Also spannen beide Seiten den [mm] \IR^3 [/mm] auf
Und wenn ich jetzt links zeige, dass der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] eine Linearkombination aus den anderen 3 sind, dann habe ich gezeigt, dass die beiden seiten gleich sind?
> >
> > Das Ergebnis auf der linken Seite wäre dann span
> > [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm]
>
> Wenn Du damit den span der Vektoren meinst, stimmt es.
> Und weil sie linear unabhängig sind, ist es der [mm]\IR^3.[/mm]
Je meinte ich, aber ich habe gerade gesehen, dass da ein Tippfehler drin ist.
Da müsste für die linke Seite dann span [mm] \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \right) [/mm] stehen
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> Stimmt hab mich vertan,
> Also wenn det [mm]\not=[/mm] 0 sind die Vektoren linear
> unabhänig.
> Das wäre für die rechte Seite der Fall.
Hallo,
ja.
>
> Nun überprüfe ich links die Vektoren auf lin.
> Unabhänigkeit, indem ich ein hoimogenes LGS aufstelle.
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 & |0\\
2 & 1 & 0 & |0 \\
1 & 1 & 1 & |0}[/mm]
>
> Da sehe ich schon, das bei der umformung die 2. Zeile zur
> Nullzeile wird.
> Also ist [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1}[/mm] eine Linearkombination der
> beiden anderen.
Das stimmt zwar, aber das "also" will mir zu diesem Stadium der Umformungsüberlegung nicht ganz schmecken.
(Man sieht natürlich sofort, daß [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] eine Linearkombination der beiden anderen ist.)
> Das links [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm] linear unabhänig zu den
> beidne anderen ist habe ich ja oben schon für die Rechte
> Seite gezeigt.
> Also spannen beide Seiten den [mm]\IR^3[/mm] auf
Ja.
>
> Und wenn ich jetzt links zeige, dass der Vektor [mm]\vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
> eine Linearkombination aus den anderen 3 sind,
Ich fürchte, das wird Dir nicht gelingen...
Du redest doch von den anderen dreien auf der linken Seiter, oder?
> dann habe
> ich gezeigt, dass die beiden seiten gleich sind?
Aufgepaßt:
links hast Du span [mm] \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \right) [/mm] +span [mm] \left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0\\ 1 \\ 0} \right).
[/mm]
Mach Dir klar, daß dies dasselbe ist wie span [mm] \left(\vektor{2 \\ 2 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0\\ 1 \\ 0} \right).
[/mm]
Die vier Vektoren sind ein Erzeugendensystem des Spans.
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis (=max. linear unabhängiges Erzeugendensystem). Du hast bereits eine Basis gefunden und weißt, daß die Dimension des obigen Spans =3 ist.
Also muß der Span, welcher ein UVR des [mm] \IR^3 [/mm] ist, gleich dem [mm] \IR^3 [/mm] sein.
> > >
> > > Das Ergebnis auf der linken Seite wäre dann span
> > > [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
0 \\
1} \right)[/mm]
> >
> > Wenn Du damit den span der Vektoren meinst, stimmt es.
> > Und weil sie linear unabhängig sind, ist es der
> [mm]\IR^3.[/mm]
> Je meinte ich, aber ich habe gerade gesehen, dass da ein
> Tippfehler drin ist.
> Da müsste für die linke Seite dann span [mm]\left(\vektor{2 \\
2 \\
1}, \vektor{1 \\
1 \\
1}, \vektor{0 \\
1 \\
0} \right)[/mm]
> stehen
Ja, genau. So meinte ich das auch.
Diese beiden Einheitsvektoren verwirren mir heute die Sinne.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Di 24.05.2011 | | Autor: | Sup |
> Ich fürchte, das wird Dir nicht gelingen...
> Du redest doch von den anderen dreien auf der linken
> Seiter, oder?
Vergiss das wieder. Ich habs jetzt zumindest sauber auf dem Zettel stehen.
Hab da die beiden Einheitsvektoren verwechselt. So viele Nullen und "1"'en :)
Jedenfalls danke
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