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Additionstheorem: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

Aufgabe
Beweisen sie: sin(3x) = 3 sin (x) - 4 sin³ (x)! Verwenden sie dazu das Additionstheorem sin (x+y) = sin (x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)

Könnt ihr mir wieterhelfen? Bitte mit Erklärungen! ;-)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Additionstheorem: schrittweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 20.05.2008
Autor: Loddar

Hallo mathe.fr,

[willkommenmr] !!


Du musst hier schrittweise vorgehen. Zerlege zunächst: [mm] $\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x+2x)$ [/mm] .

Und den Term [mm] $\sin(2x)$ [/mm] kannst du widerum durch anwendung des genannten Theorems ermitteln mit: [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x+x)$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Additionstheorem: so weit war ich auch schon
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:51 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

hm... ja das hab ich mir gedacht. find das forum jetzt schon klasse. danke für die schnelle antwort. :-) kann mir jemand die teilschritte genauer darstellen, denn ich hab nicht so viel ahnung davon aber irgendwie muss ich ja mal anfagen zu lernen... danke !!!

Bezug
                        
Bezug
Additionstheorem: du zuerst
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Di 20.05.2008
Autor: Herby

Hallo mathe.fr,


wie weit warst du auch schon [haee]

> hm... ja das hab ich mir gedacht. find das forum jetzt
> schon klasse. danke für die schnelle antwort. :-) kann mir
> jemand die teilschritte genauer darstellen, denn ich hab
> nicht so viel ahnung davon aber irgendwie muss ich ja mal
> anfagen zu lernen... danke !!!

dann schreib doch mal was du schon hast und wir kontrollieren, berichtigen, geben Kommentare, helfen, erklären, verbessern, .... :-)

na los

Lg
Herby

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Bezug
Additionstheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

oh wei, ob das was wird... :-) also
ich war soweit das man es umschreiben kann. muss ich jetzt die zu beweisende formel umschreiben???
ich hatte ein bsp: sin(x) +sin(y) = 2sin (x+y)/2 * cos(x-y)/2
--> a+b= x, a-b= y und dann sin(x) = sin(a+b) ... aber das kann man ja hier so nicht machen... bin verwirrt

Bezug
                                        
Bezug
Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Di 20.05.2008
Autor: Herby

Hallo [hand]

> oh wei, ob das was wird... :-) also
> ich war soweit das man es umschreiben kann. muss ich jetzt
> die zu beweisende formel umschreiben???

ja, die Ausgangsformel sin(3x)=...

> ich hatte ein bsp: sin(x) +sin(y) = 2sin (x+y)/2 *
> cos(x-y)/2
> --> a+b= x, a-b= y und dann sin(x) = sin(a+b) ... aber das
> kann man ja hier so nicht machen... bin verwirrt

nein, hier muss du nach dem Tipp von Loddar vorgehen:

[guckstduhier] --> Loddars Antwort


lg
Herby

Bezug
                                                
Bezug
Additionstheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

sin (x+x) = sin (x+y) ? :-(

Bezug
                                                        
Bezug
Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Di 20.05.2008
Autor: Herby

Hallo,


warum fängst du in der Mitte an [kopfkratz3]

> sin (x+x) = sin (x+y) ? :-(

sin(3x)=sin(x+2x)

darauf wendest du nun dein Additionstheorem an:

sin(x+2x)=....


das klappt schon :-)


Lg
Herby

Bezug
                                                                
Bezug
Additionstheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

sin (x +2x) =sin (x) * cos (2x) + cos(c) * sin (2x) ? :-)

Bezug
                                                                        
Bezug
Additionstheorem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

sorry c=x

Bezug
                                                                        
Bezug
Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 20.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo mathe.fr,

> sin (x +2x) =sin (x) * cos (2x) + [mm] cos(\red{x}) [/mm] * sin (2x) ? :-)

[ok] ganz genau !

Nun nochmal die Additionstheoreme auf den Ausdruck [mm] $\sin(x)\cdot{}\cos(2x)+\cos(x)\cdot{}\sin(2x)$ [/mm] anwenden

[mm] $=\sin(x)\cdot{}\cos(\blue{x+x})+\cos(x)\cdot{}\sin(\blue{x+x})=...$ [/mm]

Schließlich denke an die Beziehnung [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm]


LG

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Additionstheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

= sin(x) *cos²x + cos (x) * sin²x  = ?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Di 20.05.2008
Autor: Herby

Hallo und nein,

schau dir den Lösungsvorschlag von Schachuzipus noch einmal genau an und schreib dir den einen Teil mit sin(x)*cos(x+x) und den anderen Teil mit cos(x)*sin(x+x) [mm] \red{gesondert} [/mm] auf einen Zettel und wende dann auch [mm] \red{gesondert} [/mm] die Additionstheoreme an.

Lg
Herby

Bezug
                                                                                                
Bezug
Additionstheorem: hilfe zur aufgabe/ analysis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Di 20.05.2008
Autor: mathe.fr

ich bin leider immer noch überfragt. ich weiß leider den nächsten schritt nicht... wenn ich mir beide extra aufschreibe komme ich auch nicht weiter... hat jemand eine hilfestellung/ lösung? vielleicht hat ja jemand weitere übungsaufgaben, die er mir zuschicken kann... oder buchvorschläge auch zum thema grenzwerte, differenzieren, stetigkeit etc..??

vielen dank

neste grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Additionstheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Di 20.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ich bin leider immer noch überfragt. ich weiß leider den
> nächsten schritt nicht [haee]

Wieso nicht, du hast doch hinreichend viele Tipps bekommen, der Rest ist nur stumpfes Rechnen (Distributivgesetze...)

> ... wenn ich mir beide extra
> aufschreibe komme ich auch nicht weiter... hat jemand eine
> hilfestellung/ lösung? vielleicht hat ja jemand weitere
> übungsaufgaben, die er mir zuschicken kann... oder
> buchvorschläge auch zum thema grenzwerte, differenzieren,
> stetigkeit etc..??

Es gibt ne Reihe Ana I-Bücher, zB. von (a) Königsberger, (b) Heuser, (c) Fischer oder (d) Kaballo

Das sind so die, die mir einfallen und in die ich auch mal geschaut habe


Zur Aufgabe zurück:

Ausgehend von der ersten Anwendung des Additionstheorems für den Sinus und der Gleichung in meinem anderen post, sind wir hier angelangt:

[mm] $\sin(x)\cdot{}\cos(2x)+\cos(x)\cdot{}\sin(2x)$ [/mm]

Nun nochmal die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus anwenden --> nachschlagen oder bei wikipedia schauen, wenn du sie nicht auswendig weißt

[mm] $=\sin(x)\cdot{}\blue{\cos(x+x)}+\cos(x)\cdot{}\red{\sin(x+x)}$ [/mm]

[mm] $=\sin(x)\cdot{}\blue{\left[\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)\right]}+\cos(x)\cdot{}\red{\left[\sin(x)\cos(x)+\sin(x)\cos(x)\right]}$ [/mm]

[mm] $=\sin(x)\cdot{}\left[\cos^2(x)-\sin^2(x)\right]+\cos(x)\cdot{}\left[2\sin(x)\cos(x)\right]$ [/mm]

Und das kannst du doch wohl zusammenfassen.

Bedenke nachher noch, dass [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] ist, also [mm] $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ [/mm]


>  
> vielen dank
>
> neste grüße


Gruß zurück


schachuzipus

Bezug
                                                                        
Bezug
Additionstheorem: Additionstheorem für cos
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Di 20.05.2008
Autor: Herby

Hi,

und falls du das passende A-Theorem nicht haben solltest:

[mm] cos(x_1+x_2)=cos(x_1)*cos(x_2)-sin(x_1)*sin(x_2) [/mm]

bzw.

[mm] cos(x_1-x_2)=cos(x_1)*cos(x_2)+sin(x_1)*sin(x_2) [/mm]


Lg
Herby

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