Additionstheorem Cosinus < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist der Betrag der Kraft H :
[mm] \summe F_{ix} [/mm] = 0: [mm] F_{1}\*sin\alpha [/mm] + [mm] F_{2}\*sin\beta [/mm] - [mm] H\*cos\gamma [/mm] = 0
[mm] \to H\*cos\gamma [/mm] = [mm] F_{1}\*sin\alpha [/mm] + [mm] F_{2}\*sin\beta [/mm]
[mm] \summe F_{iy} [/mm] = 0: [mm] -F_{1}\*cos\alpha [/mm] + [mm] F_{2}\*cos\beta [/mm] - [mm] H\*sin\gamma [/mm] = 0
[mm] \to H\*sin\gamma [/mm] = [mm] -F_{1}\*cos\alpha [/mm] + [mm] F_{2}\*cos\beta [/mm]
Lösung:
Damit stehen zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten H und [mm] \gamma [/mm] zur Verfügung. Zur Bestimmung von H quadrieren und addieren wir die beiden Gleichungen und erhalten so unter Anwendung des Additionstheorems [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = [mm] cos\alpha\*cos\beta [/mm] - [mm] sin\alpha\*sin\beta [/mm] das Ergebnis
[mm] H^{2} [/mm] = [mm] F_{1}^{2} [/mm] + [mm] F_{2}^{2} [/mm] - [mm] 2F_{1}F_{2}cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] H = [mm] \wurzel{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2F_{1}F_{2}cos(\alpha + \beta)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Oben genannte Aufgabe habe ich aus einem Lehrbuch der technischen Mechanik. Mein Problem bei der Aufgabe ist die Anwendung des Additionstheorems, bzw das nachvollziehen, wie man durch quadrieren, addieren und eben Anwenden des Additionstheorems den Sprung von den zwei Gleichungen zu der Gleichung beginnend mit [mm] H^{2} [/mm] = ... hinkriegt.
Wenn ich die Vorgehensweise aus dem Lehrbuch befolge, bekomme ich folgendes:
1. Schritt : Quadrieren der beiden Gleichungen liefert mir folgendes:
(Ich nenne die Gleichungen der Einfachkeit halber mal I und II)
I: [mm] H^{2}cos^{2}\gamma [/mm] = [mm] F_{1}^{2}sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] F_{2}^{2}sin^{2}\beta
[/mm]
II: [mm] H^{2}sin^{2}\gamma [/mm] = [mm] F_{1}^{2}cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] F_{2}^{2}cos^{2}\beta
[/mm]
2. Schritt : Addieren der Gleichungen:
I + II: [mm] H^{2}cos^{2}\gamma [/mm] + [mm] H^{2}sin^{2}\gamma [/mm] = [mm] F_{1}^{2}sin^{2}\alpha [/mm] + [mm] F_{1}^{2}cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] F_{2}^{2}sin^{2}\beta [/mm] + [mm] F_{2}^{2}cos^{2}\beta
[/mm]
Beim nächsten Schritt komm ich nicht weiter:
"Anwendung des Additionstheorems [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = [mm] cos\alpha\*cos\beta [/mm] - [mm] sin\alpha\*sin\beta" [/mm]
Wie geht das? Ich komm da einfach nicht drauf, wie ich das in diesem Fall anwenden kann...
Ich hab als Zwischenschritt das hier raus:
[mm] H^{2}\*(cos^{2}\gamma [/mm] + [mm] sin^{2}\gamma) [/mm] = [mm] F_{1}^{2}\*(cos^{2}\alpha [/mm] + [mm] sin^{2}\alpha) [/mm] + [mm] F_{2}\*(cos^{2}\beta [/mm] + [mm] sin^{2}\beta)
[/mm]
Und soweit ich weiß, ist [mm] cos^{2} [/mm] + [mm] sin^{2} [/mm] = 1, oder?
Damit erhalte ich, anders als in der Aufgabenstellung
[mm] H^{2} [/mm] = [mm] F_{1}^{2} [/mm] + [mm] F_{2}^{2}
[/mm]
Wobei das Dreieck nicht rechtwinklig ist und mein letzter Schritt damit hinfällig, richtig? Das führt mich dann wohl wieder zur Anwendung des Additionstheorems, aber die kriege ich nicht hin...
Kann mir jemand die Zwischenschritte von den Gleichungen in der Aufgabenstellung zur Lösung erklären?
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| Aufgabe | Gesucht ist der Betrag der Kraft H :
$ [mm] \summe F_{ix} [/mm] $ = 0: $ [mm] F_{1}*sin\alpha [/mm] $ + $ [mm] F_{2}*sin\beta [/mm] $ - $ [mm] H*cos\gamma [/mm] $ = 0
$ [mm] \to H*cos\gamma [/mm] $ = $ [mm] F_{1}*sin\alpha [/mm] $ + $ [mm] F_{2}*sin\beta [/mm] $
$ [mm] \summe F_{iy} [/mm] $ = 0: $ [mm] -F_{1}*cos\alpha [/mm] $ + $ [mm] F_{2}*cos\beta [/mm] $ - $ [mm] H*sin\gamma [/mm] $ = 0
$ [mm] \to H*sin\gamma [/mm] $ = $ [mm] -F_{1}*cos\alpha [/mm] $ + $ [mm] F_{2}*cos\beta [/mm] $
Lösung:
Damit stehen zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten H und $ [mm] \gamma [/mm] $ zur Verfügung. Zur Bestimmung von H quadrieren und addieren wir die beiden Gleichungen und erhalten so unter Anwendung des Additionstheorems $ [mm] cos(\alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta) [/mm] $ = $ [mm] cos\alpha*cos\beta [/mm] $ - $ [mm] sin\alpha*sin\beta [/mm] $ das Ergebnis
$ [mm] H^{2} [/mm] $ = $ [mm] F_{1}^{2} [/mm] $ + $ [mm] F_{2}^{2} [/mm] $ - $ [mm] 2F_{1}F_{2}cos(\alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ H = $ [mm] \wurzel{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2F_{1}F_{2}cos(\alpha + \beta)} [/mm] $ |
Wie kommt man vom quadrierten und addierten : $ [mm] H^{2}\cos^{2}\left(\gamma\right) [/mm] = [mm] \left(F_{1}\sin\left(\alpha\right) + F_{2}\sin\left(\beta\right)\right)^{2}=F_{1}^{2}\sin^{2}\left(\alpha\right)+\red{2 F_{1}\cdot{}F_{2}\cdot{}\sin\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\beta\right)}+F_{2}^{2}\sin^{2}\left(\beta\right) [/mm] $
$ [mm] H^{2}\sin^{2}\left(\gamma\right) [/mm] = [mm] \left(-F_{1}\cos\left(\alpha\right) + F_{2}\cos\left(\beta\right)\right)^{2}=F_{1}^{2}\cos^{2}\left(\alpha\right)\red{-2 F_{1}\cdot{}F_{2}\cdot{}\cos\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\beta\right)}+F_{2}^{2}\cos^{2}\left(\beta\right) [/mm] $
auf die zusammenfassung : $ [mm] H^{2} [/mm] $ = $ [mm] F_{1}^{2} [/mm] $ + $ [mm] F_{2}^{2} [/mm] $ - $ [mm] 2F_{1}F_{2}cos(\alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta) [/mm] $
ich weiß dass durch [mm] sin^2 [/mm] + [mm] cosinus^2 [/mm] = 1 ist aber die roten zahlen krieg ich nicht unter einem hut mit dem additionstheorem.
entschuldigt bitte dass ich das frage aber sitze echt lange schon dran und komme einfach nicht selbst weiter .
btw. ich habe das gleiche buch und es ist die gleiche aufgabe die ich lösen muss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Do 20.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo elgreco,
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !!
Hier verbirgt sich wirklich nur schlicht und ergreifend:
[mm]\cos(\alpha+\beta) \ = \ \cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\alpha)*\sin(\beta)[/mm]
Nach Addition der beiden Gleichungen verbleibt für den unklaren (= rotgefärbten) Bereich:
[mm]\red{2* F_{1}\cdot{}F_{2}\cdot{}\sin\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\beta\right)-2 *F_{1}\cdot{}F_{2}\cdot{}\cos\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\beta\right)}[/mm]
[mm]= \ 2* F_{1}*F_{2}*\left[ \ \sin\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\beta\right)-\cos\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\beta\right) \ \right][/mm]
[mm]= \ 2* F_{1}*F_{2}*(-1)*\left[ \ -\sin\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\beta\right)+\cos\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\beta\right) \ \right][/mm]
[mm]= \ -2* F_{1}*F_{2}*\left[ \ \blue{\cos\left(\alpha\right)\cdot{}\cos\left(\beta\right)-\sin\left(\alpha\right)\cdot{}\sin\left(\beta\right)} \ \right][/mm]
[mm]= \ -2* F_{1}*F_{2}*\left[ \ \blue{\cos\left(\alpha+\beta\right)} \ \right][/mm]
[mm]= \ -2* F_{1}*F_{2}*\cos\left(\alpha+\beta\right)[/mm]
Gruß
Loddar
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Tausend Dank für die sehr schnelle Antwort und für die Lösung!
Ich glaube trotz dessen wie trivial es ist hätte ich mindestens noch ne Woche dran gesessen bis ich das gerafft hätte min den Vorzeichen.
Gruß elgreco
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Hallo AndrThadk,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gesucht ist der Betrag der Kraft H :
>
> [mm]\summe F_{ix}[/mm] = 0: [mm]F_{1}\*sin\alpha[/mm] + [mm]F_{2}\*sin\beta[/mm] -
> [mm]H\*cos\gamma[/mm] = 0
> [mm]\to H\*cos\gamma[/mm] = [mm]F_{1}\*sin\alpha[/mm] + [mm]F_{2}\*sin\beta[/mm]
>
> [mm]\summe F_{iy}[/mm] = 0: [mm]-F_{1}\*cos\alpha[/mm] + [mm]F_{2}\*cos\beta[/mm] -
> [mm]H\*sin\gamma[/mm] = 0
> [mm]\to H\*sin\gamma[/mm] = [mm]-F_{1}\*cos\alpha[/mm] + [mm]F_{2}\*cos\beta[/mm]
>
> Lösung:
> Damit stehen zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten H
> und [mm]\gamma[/mm] zur Verfügung. Zur Bestimmung von H quadrieren
> und addieren wir die beiden Gleichungen und erhalten so
> unter Anwendung des Additionstheorems [mm]cos(\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] =
> [mm]cos\alpha\*cos\beta[/mm] - [mm]sin\alpha\*sin\beta[/mm] das Ergebnis
>
> [mm]H^{2}[/mm] = [mm]F_{1}^{2}[/mm] + [mm]F_{2}^{2}[/mm] - [mm]2F_{1}F_{2}cos(\alpha[/mm] +
> [mm]\beta)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] H = [mm]\wurzel{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} - 2F_{1}F_{2}cos(\alpha + \beta)}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Oben genannte Aufgabe habe ich aus einem Lehrbuch der
> technischen Mechanik. Mein Problem bei der Aufgabe ist die
> Anwendung des Additionstheorems, bzw das nachvollziehen,
> wie man durch quadrieren, addieren und eben Anwenden des
> Additionstheorems den Sprung von den zwei Gleichungen zu
> der Gleichung beginnend mit [mm]H^{2}[/mm] = ... hinkriegt.
>
> Wenn ich die Vorgehensweise aus dem Lehrbuch befolge,
> bekomme ich folgendes:
>
> 1. Schritt : Quadrieren der beiden Gleichungen liefert mir
> folgendes:
> (Ich nenne die Gleichungen der Einfachkeit halber mal I
> und II)
>
> I: [mm]H^{2}cos^{2}\gamma[/mm] = [mm]F_{1}^{2}sin^{2}\alpha[/mm] +
> [mm]F_{2}^{2}sin^{2}\beta[/mm]
>
> II: [mm]H^{2}sin^{2}\gamma[/mm] = [mm]F_{1}^{2}cos^{2}\alpha[/mm] +
> [mm]F_{2}^{2}cos^{2}\beta[/mm]
>
Auf der rechten Seite der Gleichungen ist das
Quadrat der Summe nicht richtig gebildet worden:
[mm]H^{2}\cos^{2}\left(\gamma\right) = \left(F_{1}\sin\left(\alpha\right) + F_{2}\sin\left(\beta\right)\right)^{2}=F_{1}^{2}\sin^{2}\left(\alpha\right)+\red{2
F_{1}*F_{2}*\sin\left(\alpha\right)*\sin\left(\beta\right)}+F_{2}^{2}\sin^{2}\left(\beta\right)[/mm]
[mm]H^{2}\sin^{2}\left(\gamma\right) = \left(-F_{1}\cos\left(\alpha\right) + F_{2}\cos\left(\beta\right)\right)^{2}=F_{1}^{2}\cos^{2}\left(\alpha\right)\red{-2
F_{1}*F_{2}*\cos\left(\alpha\right)*\cos\left(\beta\right)}+F_{2}^{2}\cos^{2}\left(\beta\right)[/mm]
Damit solltest Du weiterkommen.
> 2. Schritt : Addieren der Gleichungen:
>
> I + II: [mm]H^{2}cos^{2}\gamma[/mm] + [mm]H^{2}sin^{2}\gamma[/mm] =
> [mm]F_{1}^{2}sin^{2}\alpha[/mm] + [mm]F_{1}^{2}cos^{2}\alpha[/mm] +
> [mm]F_{2}^{2}sin^{2}\beta[/mm] + [mm]F_{2}^{2}cos^{2}\beta[/mm]
>
> Beim nächsten Schritt komm ich nicht weiter:
>
> "Anwendung des Additionstheorems [mm]cos(\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] =
> [mm]cos\alpha\*cos\beta[/mm] - [mm]sin\alpha\*sin\beta"[/mm]
>
> Wie geht das? Ich komm da einfach nicht drauf, wie ich das
> in diesem Fall anwenden kann...
>
> Ich hab als Zwischenschritt das hier raus:
>
> [mm]H^{2}\*(cos^{2}\gamma[/mm] + [mm]sin^{2}\gamma)[/mm] =
> [mm]F_{1}^{2}\*(cos^{2}\alpha[/mm] + [mm]sin^{2}\alpha)[/mm] +
> [mm]F_{2}\*(cos^{2}\beta[/mm] + [mm]sin^{2}\beta)[/mm]
>
> Und soweit ich weiß, ist [mm]cos^{2}[/mm] + [mm]sin^{2}[/mm] = 1, oder?
>
> Damit erhalte ich, anders als in der Aufgabenstellung
>
> [mm]H^{2}[/mm] = [mm]F_{1}^{2}[/mm] + [mm]F_{2}^{2}[/mm]
>
> Wobei das Dreieck nicht rechtwinklig ist und mein letzter
> Schritt damit hinfällig, richtig? Das führt mich dann
> wohl wieder zur Anwendung des Additionstheorems, aber die
> kriege ich nicht hin...
>
> Kann mir jemand die Zwischenschritte von den Gleichungen in
> der Aufgabenstellung zur Lösung erklären?
Gruss
MathePower
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Ok danke dafür schonmal. Binomische Formel quasi, einfach nicht gesehn. Ich bin in letzter Zeit sehr blind...
Wenn ich das jetzt weiterrechne erhalte ich als Zwischenschritt:
[mm] H^{2} \*(\sin^{2} \gamma \* \cos^{2} \gamma) [/mm] = [mm] F_{1}^{2} \*(\sin^{2} \alpha \* \cos^{2} \alpha) [/mm] + [mm] F_{2}^{2} \*(\sin^{2} \beta \* \cos^{2} \beta) [/mm] + [mm] 2F_{1}F_{2} \sin \alpha \sin \beta [/mm] - [mm] 2F_{1}F_{2} \cos \alpha \cos \beta [/mm]
So, da [mm] sin^{2} \* \cos^{2} [/mm] = 1 wegfällt bleibt dann:
[mm] H^{2} [/mm] = [mm] F_{1}^{2} [/mm] + [mm] F_{2}^{2} [/mm] + [mm] 2F_{1}F_{2} \sin \alpha \sin \beta [/mm] - [mm] 2F_{1}F_{2} \cos \alpha \cos \beta [/mm]
So. Und hier hab ich nochmal ein Problem.
Das Additionstheorem sagt ja [mm] \cos (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = [mm] \cos \alpha \* \cos \beta [/mm] - [mm] \sin \alpha \* \sin \beta
[/mm]
Ich hab hier aber:
[mm] (2F_{1}F_{2}) \sin \alpha \* \sin \beta [/mm] - [mm] (2F_{1}F_{2}) \cos \alpha \* \cos \beta
[/mm]
Oder halt - [mm] (2F_{1}F_{2}) \cos \alpha \* \cos \beta [/mm] + [mm] (2F_{1}F_{2}) \sin \alpha \* \sin \beta
[/mm]
Da sind ja die Vorzeichen umgedreht, kann ich das trotzdem einfach anwenden?
Ich krieg das da nicht zusammengefasst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Sa 16.03.2013 | | Autor: | AndrThadk |
Ach da hat sich ein Fehler eingeschlichen...
Es sollte eigentlich so lauten:
[mm]H^{2} \*(\sin^{2} \gamma + \cos^{2} \gamma)[/mm] = [mm]F_{1}^{2} \*(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)[/mm] + [mm]F_{2}^{2} \*(\sin^{2} \beta + \cos^{2} \beta)[/mm] + [mm]2F_{1}F_{2} \sin \alpha \sin \beta[/mm] - [mm]2F_{1}F_{2} \cos \alpha \cos \beta[/mm]
Ein Schreibefehler meinerseits...
Okey ich glaub ich habs jetzt nachvollzogen.
[mm] H^{2} [/mm] = [mm] F_{1}^{2} [/mm] + [mm] F_{2}^{2} [/mm] - [mm] 2F_{1}F_{2} \* (\cos \alpha \* \cos \beta [/mm] - [mm] \sin \alpha \* \sin \beta)
[/mm]
Und der nächste Schritt wäre dann die korrekte Lösung:
[mm] H^{2} [/mm] = [mm] F_{1}^{2} [/mm] + [mm] F_{2}^{2} [/mm] - [mm] 2F_{1}F_{2} \* \cos (\alpha [/mm] + [mm] \beta)
[/mm]
Damit hat sich das dann wohl erledigt. Ich danke!
Hm wie schließe ich das denn jetzt hier?
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie kommst Du dahin?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Es gilt: [mm]\sin^2\alpha \ \red{+} \ \cos^2\alpha \ = \ 1[/mm] !
