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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:01 Fr 25.01.2008 | | Autor: | trouff |
Hallo liebe Matheraumgemeide
Ich würde gerne wissen, ob es irgenwelche Tricks gibt um eine Funktion bestehend aus Kreisfunktionen mittels Additionstheoremen und ähnlichem in eine bestimmte Form zu brigen.
Ich versuche mal genauer zu werden. Ich brauche das ganze um per Induktion zu beweisen, dass eine Formel gleich einer anderen ist.
Ich hoffe ich war zu verstehen ansonsten poste ich später mal eine konkrete Aufgabe obwohl es mir eher um grundsätzliche Lösungsideen geht.
mfg trouff
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo trouff!
Ich denke mal, dass Deine Beschreibung doch etas zu abstrakt ist. Poste doch bitte eine konkrete Aufgabenstellung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Fr 25.01.2008 | | Autor: | trouff |
[mm] \bruch{1}{2}+\summe_{i=1}^{n}cos(kx)=\bruch{sin(\bruch{2n+1}{2})}{2sin(\bruch{x}{2})}
[/mm]
Für die Induktion muss ich ja jetzt erst mal zeigen, dass die linke Seite der Gleichung gleich der rechten ist. Für k setze ich da 1 ein. Und jetzt müsste man die rechte Seite soweit umformen, dass sie gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + cos(x) ist.
Wie gesagt möchte ich aber keine Lösung für die spezielle Aufgabe sondern hoffe, dass es irendwelche Tricks gibt mit denen man mithilfe der Additionstheoreme an die Lösung kommt.
Mfg trouff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Fr 25.01.2008 | | Autor: | weduwe |
schau doch
hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Fr 25.01.2008 | | Autor: | trouff |
Ja danke für den link. Hatte gehofft, dass es einen Trick gibt, wie man sehen kann welche additionstheoreme man am besten benutzt.
Danke
Mfg trouff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Fr 25.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ja danke für den link. Hatte gehofft, dass es einen Trick
> gibt, wie man sehen kann welche additionstheoreme man am
> besten benutzt.
>
> Danke
>
> Mfg trouff
ja, die habe ich eh hingemalt.
eben die, die man braucht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo trouff,
>
> [mm]\bruch{1}{2}+\summe_{i=1}^{n}cos(kx)=\bruch{sin(\bruch{2n+1}{2})}{2sin(\bruch{x}{2})}[/mm]
>
> Für die Induktion muss ich ja jetzt erst mal zeigen, dass
> die linke Seite der Gleichung gleich der rechten ist. Für k
> setze ich da 1 ein. Und jetzt müsste man die rechte Seite
> soweit umformen, dass sie gleich [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + cos(x)
> ist.
>
> Wie gesagt möchte ich aber keine Lösung für die spezielle
> Aufgabe sondern hoffe, dass es irendwelche Tricks gibt mit
> denen man mithilfe der Additionstheoreme an die Lösung
> kommt.
also derartige Gleichungen wird man im allgemeinen mittels geeigneten Additionstheoremen lösen müssen. Man kann zwar natürlich auch versuchen, den Beweis zu erbringen, indem man die komplexe Exponentialfunktion ins Spiel bringt. Aber das kommt im Prinzip auf's gleiche raus...
Ein weiterer Ansatz wäre es, zu versuchen, den Beweis zu erbringen, indem man alles auf eine Seite bringt, dann die dort stehende Funktion $f(x)$ nennt und dann zeigt, dass $f'(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ (daraus folgt dann, dass $f(x)=const$ auf [mm] $\IR$) [/mm] und es ein [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] gibt.
(D.h. hier bspw.:
Man versucht, für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $f_n(x):=\sin\left(\frac{x}{2}\right)+\sum_{k=1}^n 2\sin(\frac{x}{2})\cos(kx)-\sin\left(\frac{2n+1}{2}\right)$
[/mm]
indirekt durch. Man zeigt, dass [mm] $f_n'(x)=0$ [/mm] für alle $x > 0$ und alle $x < 0$ gilt usw., ich denke, Du kannst Dir denken, wie man das am Ende dann zusammenbasteln kann/muss/darf..., genaugenommen muss man mit zusammenhängenden Mengen argumentieren...)
Aber ich denke nicht, dass Du drumherum kommen wirst, "geeignete" Additionstheoreme ins Spiel zu bringen.
So kann man die obige Gleichheit wie folgt herleiten:
[mm] $1+2*\sum_{k=1}^n \cos(kx)=1+\sum_{k=1}^n 2*\cos(kx)$
[/mm]
Und nun nutze aus, dass wegen des Additionstheorems [mm] $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$ [/mm] folgt:
(i) [mm] $\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right)=\sin(kx)\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\cos(kx)$ [/mm]
(ii) [mm] $\sin\left(\left(-k+\frac{1}{2}\right)x\right)=-\sin(kx)\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\cos(kx)$ [/mm]
Rechne mal (i)+(ii), und es folgt:
[mm] $2*\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\cos(kx)=...$
[/mm]
was Du benutzen kannst, um Deine Gleichung herzuleiten (man muss dann nur noch eine Ziehharmonikasumme erkennen).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Fr 25.01.2008 | | Autor: | trouff |
Danke für deine ausführliche Antwort, aber ich glaube du hast mich falsch verstanden. Ich will den Additionstheremen nicht aus dem weg gehen. Suche nur irgendwie nach nem Trick, mit dem ich sehen kann welches Additionstherem ich zu welchem Zeitpunkt benutzen kann. Irgendwie fehlt mir da noch die Routine oder der richtige Blick.
Mfg trouff
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo trouff,
okay. Dann rechne den Beweis doch so mal durch. Ich denke, man erlernt durch genügend vieles Rechnen mit den Additionstheoremen einen gewissen Blick, zumal man dadurch auch die Formeln besser verinnerlicht.
Ich denke, dass man bei der Aufgabe hier eigentlich nur wirklich sehen könnte, welches Additionstheorem wie eingeht, indem man den Beweis rückwärts rechnet, also anfängt mit:
$\sin\left(\frac{2n+1}{2}\right)=\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left[\sum_{k=1}^n \left(\sin\left(\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right)-\sin\left(\left((k-1)+\frac{1}{2}\right)x\right)\right]+\sin\left(\frac{x}{2}\right)=...$
Also da wird Dir nicht viel anderes übrigbleiben, als versuchen, mit derartigen Tricks irgendwie die Additionstheorem ins Spiel zu bringen...
Gruß,
Marcel
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