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Additionstheoreme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Fr 01.08.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln für:
sin(2x);sin(3x)

Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem bedient:
[mm] sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm [/mm] cos [mm] x_1*sin x_2 [/mm]

Aus
[mm] sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin [/mm] x*cos x, da [mm] x_1=x_2 [/mm]

kann ich da noch weiter vereinfachen?

Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
[mm] sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin [/mm] x*cos x , da [mm] x_1=x_2=x_3? [/mm]

Ist die Aufgabe richtig gelöst?
Danke und Gruß,
tedd
        
Bezug
Additionstheoreme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Fr 01.08.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln
> für:
>  sin(2x);sin(3x)
>  Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem
> bedient:
>  [mm]sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm[/mm] cos [mm]x_1*sin x_2[/mm]
>  
> Aus
> [mm]sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin[/mm]
> x*cos x, da [mm]x_1=x_2[/mm]
>  
> kann ich da noch weiter vereinfachen?
>  

Nein, das ist soweit okay, was du []hier auch nachlesen kannst.

> Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
>  [mm]sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin[/mm]
> x*cos x , da [mm]x_1=x_2=x_3?[/mm]
>  

Das ist so leider nicht richtig.

[]Hier kannst du erkennen, dass [mm] \sind(nx) [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] mit den []Tschebyschow-Polynomen zusammenhängen.

Aber Herleiten kannst du das auch über die eben gezeigte Formel.

[mm] \sin(3x) [/mm]
[mm] =\sin(2x+x) [/mm]
[mm] =\sin(2x)*\cos(x)+\sin(x)*\cos(2x) [/mm]
[mm] =[2*\sin(x)*\cos(x)]*\cos(x)+\sin(x)*[\cos²(x)-\sin²(x)] [/mm]
[mm] =2*\sin(x)*\cos²(x)+\sin(x)*[1-2\sin²(x)] [/mm]
[mm] =2*\sin(x)*[1-\sin²(x)]+\sin(x)*[1-2\sin²(x)] [/mm]

und wenn du das auflöst, kommst du auf das korrekte Ergebnis

Marius
Bezug
                
Bezug
Additionstheoreme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Fr 01.08.2008
Autor: tedd

Ahh klingt einleuchtend
...
$ [mm] =2\cdot{}\sin(x)\cdot{}[1-\sin²(x)]+\sin(x)\cdot{}[1-2\sin²(x)] [/mm] $
[mm] =2*sin(x)-2*sin^3(x)+sin(x)-2*sin^3(x) [/mm]
[mm] =3*sin(x)-4*sin^3(x) [/mm]

und so stehts dann ja auch in der Formelsammlung.
Vielen Dank für die Hilfe ;)
Besten Gruß,
tedd
Bezug
                
Bezug
Additionstheoreme: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 12:47 Fr 01.08.2008
Autor: abakus


> Hallo
>
> > Entwickeln Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Formeln
> > für:
>  >  sin(2x);sin(3x)
>  >  Also ich habe mich da an folgendem Additionstheorem
> > bedient:
>  >  [mm]sin(x_1\pm x_2)=sin x_1*cos x_2\pm[/mm] cos [mm]x_1*sin x_2[/mm]
>  >  
> > Aus
> > [mm]sin(2x)=sin(x_1+x_2)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2=2*sin[/mm]
> > x*cos x, da [mm]x_1=x_2[/mm]
>  >  
> > kann ich da noch weiter vereinfachen?
>  >  
>
> Nein, das ist soweit okay, was du
> []hier
> auch nachlesen kannst.
>  
> > Bei folgendem bin ich mir nicht ganz so sicher:
>  >  [mm]sin(3x)=sin(x_1+x_2+x_3)=sin x_1*cos x_2+cos x_1*sin x_2+sin x_3*cos x_1+cos x_3*sin x_1+sin x_3*cos x_2+cos x_3*sind x_2=6*sin[/mm]
> > x*cos x , da [mm]x_1=x_2=x_3?[/mm]
>  >  
>
> Das ist so leider nicht richtig.
>  
> []Hier
> kannst du erkennen, dass [mm]\sind(nx)[/mm] für [mm]n\ge3[/mm] mit den
> []Tschebyschow-Polynomen
> zusammenhängen.
>  
> Aber Herleiten kannst du das auch über die eben gezeigte
> Formel.
>  
> [mm]\sin(3x)[/mm]
>  [mm]=\sin(2x+x)[/mm]
>  [mm]=\sin(2x)*\cos(x)+\sin(x)*\cos(2x)[/mm]
>  [mm]=[2*\sin(x)*\cos(x)]*\cos(x)+\sin(x)*[\cos²(x)*\sin²(x)][/mm]

Hier hat sich in der letzten Klammer ein Schreibfehler eingeschlichen. Es heißt natürlich [mm] [\cos²(x)\red{-}\sin²(x)] [/mm]
Gruß Abakus

>  [mm]=2*\sin(x)*\cos²(x)+\sin(x)*[1-2\sin²(x)][/mm]
>  [mm]=2*\sin(x)*[1-\sin²(x)]+\sin(x)*[1-2\sin²(x)][/mm]
>  
> und wenn du das auflöst, kommst du auf das korrekte
> Ergebnis
>  
> Marius

Bezug
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