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| Aufgabe | Sin(x) + Sin(x+y) + Sin(x+2y) = 0
Für welches Argument Y ist diese Gleichung für jedes x erfüllt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi ihr lieben...
Das ist meine aller erste Frage hier im Forum, also bitte ich um Nachsicht...:)
Also das ist eine Aufgabe aus meinen Übungen zu Mathematik für Naturwissenschaftler, gemäß der Aufgabenstellung habe ich versucht die Aufgabe zu lösen und bin so weit wie folgt gekommen :
Erste Zeile:
Sin x+Sin x*Cos y+Sin y*Cos x+Sin x*Cos 2y+Sin 2y*Cos x = 0
Zweite Zeile:
Sin x *(1+Cos y + Cos 2y) + Cos x *(Sin 2y + Sin y) = 0
So bis dahin geht das eigentlich klar, nun habe ich auch eine Lösung meines Profs vorliegen, mit der ich irgendwie nicht viel anfangen kann, weil da jegliche Erklärungen fehlen...
Die Lösung von ihm ist sehr lang, deswegen schreibe ich seine letzten beiden Zeilen der Vereinfachung hin und zum Schluss dann nochmal seine Lösung :
sin(x)*( 1+ cos( y) + cos² ( y) − sin² ( y)) + cos(x)*( sin( y) + 2sin( y) * cos( y)) = 0
sin(x)*( cos( y) + 2cos² ( y) )+ cos(x)*( sin( y) + 2sin( y)* cos( y)) = 0
cos( y) + 2cos² ( y) = 0 sin( y) + 2sin( y) cos( y) = 0
beide Gleichungen lassen sich in eine Gleichung überführen:
1 + 2cos (y )= 0 Cos(y) = - 1/2
Dies ist erfüllt für 120°.
Also meine Fragen :
1. Verstehe ich nicht, wie er auf die Quadratwerte des Sinus und Cosinus kommt
2. Sagen wir mal so, ich denke, dass das mein einziges Problem ist...:)
Ich komm einfach nicht weiter wie ich das drehe und wende, ich verstehe das nicht, weil da nirgendwo die Rede ist von Sin y * Sin y
oder Cos y * Cos y...
Ich hoffe mir kann einer von euch helfen, ich denke mal ich stehe einfach nur auf dem Schlauch, brauche einen Denkanstoß...
Liebe Grüße
Danyal
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Danman293 |
Haha...Sorry ich habe meine Frage gerade selbst beantwortet, manchmal steht man eben auf dem Schlauch XD
Aber vielleicht bleibe ich ja wieder hängen :)
Liebe Grüße> Sin(x) + Sin(x+y) + Sin(x+2y) = 0
> Für welches Argument Y ist diese Gleichung für jedes x
> erfüllt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi ihr lieben...
> Das ist meine aller erste Frage hier im Forum, also bitte
> ich um Nachsicht...:)
> Also das ist eine Aufgabe aus meinen Übungen zu
> Mathematik für Naturwissenschaftler, gemäß der
> Aufgabenstellung habe ich versucht die Aufgabe zu lösen
> und bin so weit wie folgt gekommen :
>
> Erste Zeile:
>
> Sin x+Sin x*Cos y+Sin y*Cos x+Sin x*Cos 2y+Sin 2y*Cos x = 0
>
>
> Zweite Zeile:
>
> Sin x *(1+Cos y + Cos 2y) + Cos x *(Sin 2y + Sin y) = 0
>
> So bis dahin geht das eigentlich klar, nun habe ich auch
> eine Lösung meines Profs vorliegen, mit der ich irgendwie
> nicht viel anfangen kann, weil da jegliche Erklärungen
> fehlen...
> Die Lösung von ihm ist sehr lang, deswegen schreibe ich
> seine letzten beiden Zeilen der Vereinfachung hin und zum
> Schluss dann nochmal seine Lösung :
>
> sin(x)*( 1+ cos( y) + cos² ( y) − sin² ( y)) + cos(x)*(
> sin( y) + 2sin( y) * cos( y)) = 0
>
> sin(x)*( cos( y) + 2cos² ( y) )+ cos(x)*( sin( y) + 2sin(
> y)* cos( y)) = 0
>
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> cos( y) + 2cos² ( y) = 0 sin( y) +
> 2sin( y) cos( y) = 0
>
> beide Gleichungen lassen sich in eine Gleichung
> überführen:
>
> 1 + 2cos (y )= 0 Cos(y) = - 1/2
>
> Dies ist erfüllt für 120°.
>
> Also meine Fragen :
>
> 1. Verstehe ich nicht, wie er auf die Quadratwerte des
> Sinus und Cosinus kommt
>
> 2. Sagen wir mal so, ich denke, dass das mein einziges
> Problem ist...:)
> Ich komm einfach nicht weiter wie ich das drehe und wende,
> ich verstehe das nicht, weil da nirgendwo die Rede ist von
> Sin y * Sin y
> oder Cos y * Cos y...
>
> Ich hoffe mir kann einer von euch helfen, ich denke mal ich
> stehe einfach nur auf dem Schlauch, brauche einen
> Denkanstoß...
>
> Liebe Grüße
>
> Danyal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 24.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Sin(x) + Sin(x+y) + Sin(x+2y) = 0
> Für welches Argument Y ist diese Gleichung für jedes x
> erfüllt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi ihr lieben...
> Das ist meine aller erste Frage hier im Forum, also bitte
> ich um Nachsicht...:)
> Also das ist eine Aufgabe aus meinen Übungen zu
> Mathematik für Naturwissenschaftler, gemäß der
> Aufgabenstellung habe ich versucht die Aufgabe zu lösen
> und bin so weit wie folgt gekommen :
>
> Erste Zeile:
>
> Sin x+Sin x*Cos y+Sin y*Cos x+Sin x*Cos 2y+Sin 2y*Cos x = 0
>
>
> Zweite Zeile:
>
> Sin x *(1+Cos y + Cos 2y) + Cos x *(Sin 2y + Sin y) = 0
>
> So bis dahin geht das eigentlich klar, nun habe ich auch
> eine Lösung meines Profs vorliegen, mit der ich irgendwie
> nicht viel anfangen kann, weil da jegliche Erklärungen
> fehlen...
> Die Lösung von ihm ist sehr lang, deswegen schreibe ich
> seine letzten beiden Zeilen der Vereinfachung hin und zum
> Schluss dann nochmal seine Lösung :
>
> sin(x)*( 1+ cos( y) + cos² ( y) − sin² ( y)) + cos(x)*(
> sin( y) + 2sin( y) * cos( y)) = 0
>
> sin(x)*( cos( y) + 2cos² ( y) )+ cos(x)*( sin( y) + 2sin(
> y)* cos( y)) = 0
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> cos( y) + 2cos² ( y) = 0 sin( y) +
> 2sin( y) cos( y) = 0
>
> beide Gleichungen lassen sich in eine Gleichung
> überführen:
>
> 1 + 2cos (y )= 0 Cos(y) = - 1/2
>
> Dies ist erfüllt für 120°.
>
> Also meine Fragen :
>
> 1. Verstehe ich nicht, wie er auf die Quadratwerte des
> Sinus und Cosinus kommt
Hallo,
du hast die Überschrift deines Threads schon richtig gewählt: Additionstheoreme.
Es gilt allgemein cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y).
Für x=y folgt daraus die Doppelwinkelformel [mm] cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x).
[/mm]
Gruß Abakus
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> 2. Sagen wir mal so, ich denke, dass das mein einziges
> Problem ist...:)
> Ich komm einfach nicht weiter wie ich das drehe und wende,
> ich verstehe das nicht, weil da nirgendwo die Rede ist von
> Sin y * Sin y
> oder Cos y * Cos y...
>
> Ich hoffe mir kann einer von euch helfen, ich denke mal ich
> stehe einfach nur auf dem Schlauch, brauche einen
> Denkanstoß...
>
> Liebe Grüße
>
> Danyal
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Also ich habe alles verstanden, bis auf die allerletzte Umformung.
Mein Professor hat in seiner Lösung geschrieben nach der letzten Vereinfachung, die ich schon oben gepostet habe geschrieben :
Da es kein x gibt für das Sin x und Cos x gleichzeitig null sind, können nur die Klammern null ergeben
Cos y + 2Cos² y = 0 und Sin y + 2 Sin y * Cos y = 0
Ist auch klar, nun hat er aber geschrieben, diese beiden Gleichungen würden sich in eine Überführen lassen, aber wie?
Cos y + 2Cos² y = Sin y + 2 Sin y * Cos y / : Cos y
1 + 2 Cos y = Sin y + 2 Sin y
Und nun?Ich habe so das Gefühl, dass mein Ansatz falsch ist :D
Liebe Grüße
Und Abaskus, danke für deine Antwort, um darauf zu kommen habe ich eine Ewigkeit gebraucht, habe wohl nicht so die Mathebegabung :P
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 24.03.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich habe alles verstanden, bis auf die allerletzte
> Umformung.
> Mein Professor hat in seiner Lösung geschrieben nach der
> letzten Vereinfachung, die ich schon oben gepostet habe
> geschrieben :
>
> Da es kein x gibt für das Sin x und Cos x gleichzeitig
> null sind, können nur die Klammern null ergeben
>
> Cos y + 2Cos² y = 0 und Sin y + 2 Sin y * Cos y = 0
>
> Ist auch klar, nun hat er aber geschrieben, diese beiden
> Gleichungen würden sich in eine Überführen lassen, aber
> wie?
>
> Cos y + 2Cos² y = Sin y + 2 Sin y * Cos y / : Cos y
Das ist zwar richtig, aber irrelevant, da jede Seite für sich 0 ist.
[mm] \cos y +2 \cos^2 y = 0 \gdw \cos y *(1+2\cos y) = 0 [/mm]
[mm] \sin y +2\sin y \cos y = 0 \gdw \sin y *(1+2\cos y) = 0 [/mm]
Die Fälle [mm] $\cos [/mm] y=0$ und [mm] $\sin [/mm] y=0$ führen nicht zu einer Lösung, da damit nur jeweils eine der beiden Gleichungen gelöst wird. Also bleibt
[mm] 1+2\cos y = 0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Danke Rainer,
mir hat dieser Denkanstoß gefehlt :D
Aber ist dann nicht Cos y = - 1/2 und somit bei 120 ° erfüllt?
Liebe Grüße
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> Danke Rainer,
>
> mir hat dieser Denkanstoß gefehlt :D
> Aber ist dann nicht Cos y = - 1/2 und somit bei 120 °
> erfüllt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
wobei man in der analysis doch eher im bogenmaß rechnet, also [mm] 2\pi [/mm] /3.
und die lösung taucht wegen der periodizität auch mehr als einmal auf 
>
> Liebe Grüße
gruß tee
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