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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 16.11.2013 | | Autor: | lier |
| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Werte [mm] cos(\pi [/mm] / 4) und [mm] cos(\pi [/mm] / 6). Sie dürfen dabei verwenden, dass cos( [mm] \pi [/mm] / 2)=0. |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Wenn ich die Additionstheoreme benutze erhalte ich für [mm] cos(\pi /2)=sin(\pi [/mm] /2) aber keinen richtigen Wert.
Ich wäre sehr dankbar für Tipps und Hinweise, wie ich zur Lösung kommen könnte. Dankeschön und liebe Grüße, Lier.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lier,
> Berechnen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die Werte
> [mm]cos(\pi[/mm] / 4) und [mm]cos(\pi[/mm] / 6). Sie dürfen dabei verwenden,
> dass cos( [mm]\pi[/mm] / 2)=0.
> Hallo,
> ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe. Wenn ich die
> Additionstheoreme benutze erhalte ich für [mm]cos(\pi /2)=sin(\pi[/mm]
> /2) aber keinen richtigen Wert.
Die Frage, die sich mir hier stellt ist: Wie hast du sie angewendet?
Bitte rechne vor, damit wir genau sehen können, was schief läuft.
Ein guter Start wäre sicherlich
[mm] \cos\frac{\pi}{4}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
[/mm]
Und schon gehts los mit der Berechnung. Zeig uns nun bitte, wie du die Theoreme angewendet hast.
> Ich wäre sehr dankbar für Tipps und Hinweise, wie ich zur
> Lösung kommen könnte. Dankeschön und liebe Grüße,
> Lier.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 16.11.2013 | | Autor: | lier |
Erstmal danke für die Antwort.
So habe ich es berechnet:
[mm] cos(\pi /4)=cos(-\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{2})
[/mm]
[mm] =cos(-\bruch{\pi}{4})*cos(\bruch{\pi}{2})-sin(-\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{2})= 0-sin(-\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{2})= -sin(-\bruch{\pi}{4})= sin(\bruch{\pi}{4})
[/mm]
wo genau ist denn der Fehler? Danke!
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Hallo lier,
das ist doch nicht zielführend.
Welche Additionstheoreme darfst Du denn verwenden?
> Erstmal danke für die Antwort.
> So habe ich es berechnet:
> [mm]cos(\pi /4)=cos(-\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> [mm]=cos(-\bruch{\pi}{4})*cos(\bruch{\pi}{2})-sin(-\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{2})= 0-sin(-\bruch{\pi}{4})*sin(\bruch{\pi}{2})= -sin(-\bruch{\pi}{4})= sin(\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> wo genau ist denn der Fehler? Danke!
Gar kein Fehler, alles richtig gerechnet. Um jetzt zu einer Lösung zu kommen, bräuchtest Du allerdings noch den "trigonometrischen Pythagoras".
Aber wie wärs mit dem gleichen Additionstheorem, nur anders angewendet?
[mm] \cos{\left(\bruch{\pi}{2}\right)}=\cos{\left(\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4}\right)}
[/mm]
Übrigens gibts auch "Halbwinkelformeln", die gehören auch zu den Additionstheoremen (jedenfalls im weiteren Sinn).
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 16.11.2013 | | Autor: | lier |
Hi,
ich darf diese zwei Theoreme benutzen:
cos(x+y)= cosx * cosy - sinx * siny
sin(x+y)= sinx * cosy + cosx * siny
Außerdem noch für doppelte bzw. halbe Winkel:
cos2x= cos²x - sin²x
cos²(x/2)=0,5*(1+cosx)
Ich hab mal probiert mit dem anderen Ansatz zu rechnen, komme da aber auch nicht so weit:
[mm] cos(\bruch{\pi}{2})=cos(\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4})= cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi}{4} [/mm] - [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] cos²(\bruch{\pi}{4}) [/mm] - [mm] sin²(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}(1+cos2\pi)- \bruch{1}{4}(1-cos\pi)
[/mm]
und weiter weiß ich nicht, wenn es denn bis dahin stimmt?
Dankeschön.
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Hallo lier,
vorab: verwende nicht die ² und ³ auf Deiner Tastatur. Zum einen sind die sowieso kaum lesbar, zum anderen gibts ja noch andere Exponenten, die man so haben will: [mm] 2^{n-1}, e^x, p^5, \cos^4{(\pi-0,5^k)} [/mm] etc.
Exponenten werden so geschrieben: x^{2} ergibt [mm] x^2. [/mm] Der Exponent gehört in geschweifte Klammern. Die können wegfallen, wenn der Exponent aus genau einem Zeichen besteht, sonst nicht.
Vor allem aber werden die beiden ASCII-Zeichen ²,³ innerhalb des Formeleditors gar nicht angezeigt, so dass manche Gleichung komplett unsinnig aussieht, solange man nicht in den "Quelltext" schaut - so auch hier.
> ich darf diese zwei Theoreme benutzen:
> cos(x+y)= cosx * cosy - sinx * siny
> sin(x+y)= sinx * cosy + cosx * siny
>
> Außerdem noch für doppelte bzw. halbe Winkel:
> cos2x= cos²x - sin²x
> cos²(x/2)=0,5*(1+cosx)
Ok, da wäre natürlich das Halbwinkeltheorem das naheliegendste.
> Ich hab mal probiert mit dem anderen Ansatz zu rechnen,
> komme da aber auch nicht so weit:
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2})=cos(\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{4})= cos(\bruch{\pi}{4})[/mm]
> * [mm]cos(\bruch{\pi}{4}[/mm] - [mm]sin(\bruch{\pi}{4})[/mm] *
> [mm]sin(\bruch{\pi}{4})[/mm] = [mm]cos^2(\bruch{\pi}{4})[/mm] -
> [mm]sin^2(\bruch{\pi}{4})[/mm]
Bis hierhin ist alles gut. Es zeigt sich, dass Du auch hier nur mit dem trigonometrischen Pythagoras (also [mm] $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$) [/mm] weiterkommst.
= [mm]\bruch{1}{4}(1+cos2\pi)- \bruch{1}{4}(1-cos\pi)[/mm]
...und dieser Schritt ist wieder nicht zielführend, außerdem nicht ganz richtig. Behalte immer im Auge, was Du eigentlich erreichen willst, und forme nicht planlos alles um, bloß weil Du es kannst.
> und weiter weiß ich nicht, wenn es denn bis dahin stimmt?
> Dankeschön.
Naja, Du musst das letzte [mm] \sin^2 [/mm] durch ein [mm] \cos^2 [/mm] darstellen. Wie, habe ich oben schon geschrieben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:10 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Klausss |
Bei [mm] sin(\pi/4) [/mm] kommt man dann auf [mm] \wurzel{1-(0,5*(1+cos(\pi/2)))} [/mm] , wo der cosinus wegfällt und man das Ergebnis hat.
Diesen Weg kann man aber nicht einschlagen für den zweiten Teil der Aufgabe, also für die Berechnung von [mm] cos(\pi/6). [/mm] Wie löst man das?
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Hallo Klausss, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bei [mm]sin(\pi/4)[/mm] kommt man dann auf
> [mm]\wurzel{1-(0,5*(1+cos(\pi/2)))}[/mm] , wo der cosinus wegfällt
> und man das Ergebnis hat.
Richtig. Der gleiche Wert ergibt sich für [mm] \cos{(\pi/4)}.
[/mm]
> Diesen Weg kann man aber nicht einschlagen für den zweiten
> Teil der Aufgabe, also für die Berechnung von [mm]cos(\pi/6).[/mm]
> Wie löst man das?
Im Prinzip genauso, aber der Aufwand ist höher. Auch hier braucht man außer den Additionstheoremen noch den trigonometrischen Pythagoras.
[mm] \cos{\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{2\pi}{6}\right)}=\cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\cos{\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{\pi}{6}\right)}-\sin{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\sin{\left(\bruch{\pi}{6}+\bruch{\pi}{6}\right)}=\quad\cdots\quad=\cos{\left(\bruch{\pi}{2}\right)}
[/mm]
An die Stelle der Punkte tritt dann die nochmalige Anwendung der ersten beiden vorliegenden Additionstheoreme. Dann scheint es unübersichtlich zu werden, aber glücklicherweise lässt sich doch manches zusammenfassen.
Immerhin ist das erwartete Ergebnis ja [mm] \cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Man muss "nur noch" zeigen, wieso. 
Viel Erfolg!
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 21.11.2013 | | Autor: | chadr |
Hi,
Ist das denn Sinnvoll?
Lange rumrechnen, damit man bei [mm] sin(\pi/4)=\wurzel{(1-0)/2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] rauskommt,
Obwohl man die Halbwinkelform gleich zu Anfang benutzen könnte:
[mm] cos(\pi/4) [/mm] = [mm] \wurzel{(1+0)/2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}/2
[/mm]
Damit wäre auch die Aufgabenstellung, die Additionstheoreme zu benutzen überflüssig.
Liege ich da falsch? ich habe leider selbst auch keine Lösung gefunden...
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