Additionstheoreme sin cos < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es soll folgende Gleichung gelöst werden:
[mm] \wurzel{3}sinx(x)-cos(x)= \wurzel{2}
[/mm]
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Hallo!
Ich habe mit Additionstheoremen probiert hin und her. Komme aber nicht weiter. Könnt Ihr bitte nachschauen?!
danke
ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=28795&hilightuser=6877]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Explorator,
so wie ich es sehe, wurde dir doch in dem anderen Forum bereits geholfen?!
[mm] $2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)}=\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}$
[/mm]
Damit lässt sich doch etwas anfangen! 
Wo genau liegt denn dein Problem?
MFG,
Yuma
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aber wie komme ich zu diesem Ausdruck?
$ [mm] 2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)}=\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x} [/mm] $
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Hallo Explorator,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wende das Additionstheorem [mm] $\sin(\alpha \pm \beta) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha)*\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)*\sin(\beta)$ [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] \ := \ x$ und [mm] $\beta [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{6}$ [/mm] an.
Dabei gilt: [mm] $\sin\left(\bruch{\pi}{6}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] sowie [mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{6}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{3}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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ich verstehe es irgendwie nicht.
also wenn:
$ [mm] \cos\left(\bruch{\pi}{6}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\wurzel{3} [/mm] $
dann kann ich auch schreiben:
[mm] 2cos\left(\bruch{\pi}{6}\right)\sin{x}-\cos{x}=\sqrt{2} [/mm]
und an welcher Stelle kann ich Additionsthorem anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Explorator,
die Formel $2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)}=\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}$ erhält man durch Anwendung des Additionstheorems für den Sinus: $\sin{(a-b)}=\sin{a}\cos{b}-\sin{b}\cos{a}$
Du musst nur $a=x$ und $b=\bruch{\pi}{6}$ einsetzen! Ich rechne es dir mal vor:
$\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)=\sin{(x)}\cdot\cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}-\sin{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\cdot\cos{(x)}=\sin{(x)}\cdot\bruch{\sqrt{3}}{2}-\bruch{1}{2}\cdot\cos{(x)}=\bruch{1}{2}\left(\sqrt{3}\sin{(x)}-\cos{(x)}\right)$
Du fragst dich wahrscheinlich, wie man dem Ausdruck $\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}$ ansehen kann, dass man ihn mit Hilfe eines Additionstheorems vereinfachen kann. Das musst du dann aber den Kollegen des anderen Forums fragen, denn ich habe das auch erst gesehen, als ich das fertige Ergebnis $2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)}=\sqrt{3}\sin{x}-\cos{x}$ präsentiert bekam.
Dass die Formel richtig ist, ist dir jetzt aber klar, oder?
Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Explorator,
vielleicht stört es dich, dass wir immer von $2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)$ nach $\sqrt{3}\sin{(x)}-\cos{(x)}$ argumentieren, obwohl wir ja eigentlich umgekehrt von $\sqrt{3}\sin{(x)}-\cos{(x)}$ nach $2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)$ kommen wollen (was natürlich mathematisch gesehen dasselbe ist, aber trotzdem!).
Ich habe es dir hier nochmal andersherum aufgeschrieben:
$\sqrt{3}\sin{(x)}-\cos{(x)}=2\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\sin{(x)}-\bruch{1}{2}\cos{(x)}\right)=2\left(\cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\cdot\sin{(x)}-\sin{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\cdot\cos{(x)}\right)=2\sin{\left(x-\bruch{\pi}{6}\right)$
NOCHMAL: Die Frage, wie man darauf kommt, die Umformungen so zu machen, dass man auf ein Additionstheorem kommt, ist berechtigt! Dafür muss man einfach ein Auge haben und über viel Erfahrung verfügen. Ich sage dir ganz ehrlich, dass ich das auch nicht selbst gesehen, sondern von dem anderen Forum adaptiert habe.
Ich hoffe dir ein bisschen geholfen zu haben!
MFG,
Yuma
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Danke Yuma,
dass
sin [mm] \bruch{ \pi}{6}= \bruch{1}{2} [/mm]
wuste ich nicht auswendig... Ich habe glaube ich das Problem, dass ich die Additionstheoreme in eine Richtung lösen kann. z.B.: sin(2x)=........
ok.
ich versuche zu Ende zu lösen:
2sin(x- [mm] \bruch{\pi}{6})= \wurzel{2}
[/mm]
sin(x- [mm] \bruch{\pi}{6})=\bruch{ \wurzel{2}}{2}
[/mm]
[mm] x=arcsin\bruch{ \wurzel{2}}{2}+\bruch{\pi}{6}= [/mm] 1,31..
diese Dezimalzahl sieht denke ich nicht so gut aus. Es gibt bestimmt schönere Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Explorator,
es gibt eine "Merkregel" für den Sinus (und damit auch für den Kosinus, denn [mm] $\cos{x}=\sin{(90°-x)}$), [/mm] die da lautet:
[mm] $\sin(0)=\bruch{\sqrt{0}}{2}$, $\sin(30°)=\bruch{\sqrt{1}}{2}$, $\sin(45°)=\bruch{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(60°)=\bruch{\sqrt{3}}{2}$ [/mm] und [mm] $\sin(90°)=\bruch{\sqrt{4}}{2}$.
[/mm]
Das beantwortet indirekt auch deine Frage nach einer schöneren Lösung:
[mm] $\sin{x}=\bruch{\sqrt{2}}{2} \gdw x=\bruch{\pi}{4}+2\pi\cdot [/mm] k$ oder [mm] $x=\bruch{3}{4}\pi+2\pi\cdot [/mm] k$, wobei [mm] $k\in\IZ$.
[/mm]
Das heißt insbesondere: Es gibt unendlich viele Lösungen, nicht nur eine!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Explorator |
Yuma, besten Dank.
Noch mal was fürs Leben gelernt...
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ist die Lösung in meinem Fall dann:
x= [mm] \bruch{5\pi}{12}+2\pi*k [/mm] für k [mm] \in \IZ
[/mm]
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Di 07.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Explorator,
> ist die Lösung in meinem Fall dann:
> [mm] $x=\bruch{5}{12}\pi+2\pi*k$, [/mm] wobei [mm] $k\in\IZ$ [/mm] ?
Das sind Lösungen der Gleichung, aber es gibt noch weitere!
Ich hatte dir ja geschrieben, dass
[mm] $\sin{z}=\bruch{\sqrt{2}}{2} \gdw z=\bruch{\pi}{4}+2\pi\cdot [/mm] k$ oder [mm] $z=\bruch{3}{4}\pi+2\pi\cdot [/mm] k$, wobei [mm] $k\in\IZ$.
[/mm]
Und das heißt, dass auch [mm] $x=\bruch{11}{12}\pi+2\pi*k$, [/mm] wobei [mm] $k\in\IZ$, [/mm] Lösungen der Gleichung sind.
Damit hätten wir dann aber wirklich alle Lösungen gefunden!
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 07.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo alle Beteiligten
Da immer wieder die Frage auftrat, woher man auf die geheimnisvolle Idee kommt hier eine allgemeine Lösung:
gegeben a*sinx+b*cosx=c Die Gleichung hat nur eine Lösung, wenn$ [mm] c^2 \le a^2+b^2$
[/mm]
falls [mm] $a^2+b^2=1$ [/mm] kann ich a und b als cos und sin desselben arguments auffassem, etwa a=cosr, b=sinr b/a=tanr daraus r bestimmen und dann cosr*sinx+sinr*cosx=sin(x+r)=c
daraus x.
falls [mm] $a^2+b^2\ne [/mm] 1$ dividiert man die Gleichung durch [mm] $\wurzel{a^2+b^2}$
[/mm]
damit erhält man mit [mm] a#=a/$\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] und [mm] b#=b/$\wurzel{a^2+b^2}$, c#=c/$\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] eine Gleichung für die meine Vors von oben gilt.
die vors $ [mm] c^2 \le a^2+b^2$ [/mm] heisst dann nur, dass [mm] |sin|\le [/mm] 1 ist.
(natürlich geht das ganze auch mit a=cosr, b=sinr, dann benutzt man das Additionstheorem für cos)
Gruss leduart
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