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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:31 So 13.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo an alle!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei [mm]\Phi: V\timesV: \to K[/mm] eine nicht ausgeartete Bilinearform auf dem K-VR V und f aus EndV.
Zu zeigen:
Gibt es ein g aus EndV mit [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))[/mm] für alle v,w aus V, so ist g eindeutig bestimmt und heisst Adjungierte zu f.
Meine Frage dazu:
Ich habe mit den Voraussetzungen zeigen können, dass g ein Isomorphismus ist.
Habe ich denn damit auch gezeigt, dass g eindeutig ist?
Wenn nein, was muss ich dann noch zeigen und wie gehe ich das an?
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi,
> Es sei [mm]\Phi: V\timesV: \to K[/mm] eine nicht ausgeartete Bilinearform auf dem K-VR V und f aus EndV.
> Zu zeigen:
> Gibt es ein g aus EndV mit [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))[/mm] für alle v,w aus V, so ist g eindeutig bestimmt und heisst Adjungierte zu f.
>
> Meine Frage dazu:
> Ich habe mit den Voraussetzungen zeigen können, dass g ein Isomorphismus ist.
> Habe ich denn damit auch gezeigt, dass g eindeutig ist?
Nein. Die Abbildung selbst mag vielleicht eine ein-eindeutige Zuordnung sein, damit muß die ganze Abbildung an sich aber nicht eindeutig sein (es kann eine zweite geben).
Wieso sollte eigentlich g ein Isomorphismus sein? Ich sehe noch nicht, warum das für diese Fragestellung von Interesse ist.
> Wenn nein, was muss ich dann noch zeigen und wie gehe ich das an?
Die allgemeine Vorgehensweise ist so:
Seien [mm] g_1, g_2 [/mm] zwei Objekte mit den gewünschten Eigenschaften.
Dann folgt (und diesen Teil müßtest du erbringen) [mm] $g_1=g_2$.
[/mm]
Wie die Eindeutigkeit jetzt in diesem konkreten Beispiel folgt, weiß ich noch nicht, aber vielleicht machst du dir ja erst mal Gedanken dazu, jetzt, wo du weißt, was zu zeigen ist 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 So 13.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Zunächst zum Isomorphismus:
Also, Nach Voraussetzung existiere ein g mit aus EndV mit entsprechender Voraussetzung.
Da [mm]\Phi[/mm] nicht ausgeartet ist, gilt:
[mm]\Phi(f(v),w) = \Phi(v,g(w)) = 0 [/mm]für alle v, f(v) aus V, da f aus EndV
Daraus folgt: w = 0 und g(w) = 0.
Darasu folgt: g(w) = g(0) = 0
Daraus folgt: g ist injektiv
Darasu folgt: g ist surjektiv, da g aus EndV
Somit ist g ein Isomorphismus.
Wäre g nur surjektiv, so ist meiner Meinung die Abb. nicht eindeutig, da ein Element aus dem Zielbereich mind. ein Urbild besitzt.
Somit ist der Isomorphismus eine Voraussetzung für den Beweis, oder ?
Nun zum eigentlichen Beweis:
Angenommen, h aus EndV sei ein weiterer Isomorphismus mit entsprechender Vor. wie für g.
Dann gilt:
[mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))=\Phi(v,h(w))[/mm]
Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w))-\Phi(v,h(w)) =0[/mm]
Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w)-h(w))=0 (\phi [/mm] ist Bifo) für alle v aus V
Daraus folgt: g(w)-h(w)=0, da [mm] \Phi [/mm] nicht ausgeartet
Daraus folgt: g=h
Also ist g eindeutig!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> Zunächst zum Isomorphismus:
>
> Also, Nach Voraussetzung existiere ein g mit aus EndV mit
> entsprechender Voraussetzung.
> Da [mm]\Phi[/mm] nicht ausgeartet ist, gilt:
>
> [mm]\Phi(f(v),w) = \Phi(v,g(w)) = 0 [/mm]für alle v, f(v) aus V, da f aus EndV
>
> Daraus folgt: w = 0 und g(w) = 0.
> Darasu folgt: g(w) = g(0) = 0
> Daraus folgt: g ist injektiv
> Darasu folgt: g ist surjektiv, da g aus EndV
> Somit ist g ein Isomorphismus.
> Wäre g nur surjektiv, so ist meiner Meinung die Abb. nicht eindeutig, da ein Element aus dem Zielbereich mind. ein Urbild besitzt.
Hier verstehe ich nicht, was du machst. Du willst doch zeigen, dass aus $g(w)=0$ die Beziehung $w=0$ folgt. Nun argumentierst du so: Aus $g(w)=0$ folgt:
[mm] $\Phi(v,g(w)) [/mm] = 0$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Daraus folgt:
[mm] $\Phi(f(v),w) [/mm] = 0$ für alle $v [mm] \in [/mm] V$.
Daraus folgt:
$w=0$, da [mm] $\Phi$ [/mm] nicht-ausgeartet ist ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Warum nicht? Weil man nicht weiß, dass
[mm] $\Phi(v,w) [/mm] = 0$ ist für alle $v [mm] \in [/mm] V$
gilt, da $f$ nicht surjektiv zu sein braucht.
Oder habe ich da was falsch verstanden?
> Somit ist der Isomorphismus eine Voraussetzung für den Beweis, oder ?
Ich verstehe die Frage nicht.
> Nun zum eigentlichen Beweis:
> Angenommen, h aus EndV sei ein weiterer Isomorphismus mit entsprechender Vor. wie für g.
> Dann gilt:
> [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))=\Phi(v,h(w))[/mm]
> Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w))-\Phi(v,h(w)) =0[/mm]
> Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w)-h(w))=0 (\phi [/mm] ist Bifo) für alle v aus V
> Daraus folgt: g(w)-h(w)=0, da [mm] \Phi [/mm] nicht ausgeartet
> Daraus folgt: g=h
> Also ist g eindeutig!
Sehr schön! ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich bin mittlerweile der Auffassung,dass man den ganzen Kram rund um den Isomorphismus weglassen kann und nur den folgenden Teil des Beweises für die Eindeutigkeit zeigen braucht.
> > Angenommen, h aus EndV mit entsprechender Vor. wie für g.
> > Dann gilt:
> > [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))=\Phi(v,h(w))[/mm]
> > Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w))-\Phi(v,h(w)) =0[/mm]
> > Daraus folgt: [mm]\Phi(v,g(w)-h(w))=0 (\phi [/mm] ist Bifo) für alle v aus V
> > Daraus folgt: g(w)-h(w)=0, da [mm] \Phi [/mm] nicht ausgeartet
> > Daraus folgt: g=h
> > Also ist g eindeutig!
Wie ich auf den Isomorphismus geschlossen habe, ist mir mittlerweile selber schleierhaft.
Sorry!
Mfg
Wurzelpi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Jessica |
Hallo,
zu dieser Aufgabe, gibt es auch einen b)-Teil. Bei dem komme ich aber nicht weiter. Er lautet:
Es sei [mm]V=P(\IR)[/mm] der Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen und [mm]\Phi(t,s):=\int_{-1}^1t(x)s(x)dx.[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]f\inEndV[/mm]definiert durch [mm]f:h\rightarrow h'[/mm] (Ableitung) keine Adjungierte bezüglich [mm]\Phi[/mm] besitzt.
Ich habe mir überlegt, dass man dann ja zeigen müsste, dass [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))[/mm] für alle [mm]v,w\inV[/mm]. Die erste Seite wäre ja [mm]\Phi(f(t),s)=\int_{-1}^1t'(x)*s(x)dx=t(x)*S(x)|_{-1}^1[/mm] wobei S eine Stammfunktion ist.
Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich die andere Seite , d.h. [mm]\Phi(t,g(s))[/mm], berechnen kann?! Oder ist das der falsche Ansatz?!
Danke im voraus
Bis denne
Jessica
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 15.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessica,
> Es sei [mm]V=P(\IR)[/mm] der Vektorraum aller reellen
> Polynomfunktionen und [mm]\Phi(t,s):=\int_{-1}^1t(x)s(x)dx.[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]f\inEndV[/mm]definiert durch [mm]f:h\rightarrow h'[/mm]
> (Ableitung) keine Adjungierte bezüglich [mm]\Phi[/mm] besitzt.
>
> Ich habe mir überlegt, dass man dann ja zeigen müsste, dass
> [mm]\Phi(f(v),w)=\Phi(v,g(w))[/mm] für alle [mm]v,w\inV[/mm].
> Die erste
> Seite wäre ja
> [mm]\Phi(f(t),s)=\int_{-1}^1t'(x)*s(x)dx=t(x)*S(x)|_{-1}^1[/mm]
> wobei S eine Stammfunktion ist.
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Bis auf die Stammfunktion stimmt das. Man kann natürlich nicht faktorweise integrieren, da müßte man z.B. die partielle Integrationsregel anwenden.
> Ich weiß jetzt nur nicht, wie ich die andere Seite , d.h.
> [mm]\Phi(t,g(s))[/mm], berechnen kann?! Oder ist das der falsche
> Ansatz?!
Nein, es muß irgendwie über die Definition der Adjungierten zu wieder legen sein.
Wie du ja bereits sagtest, müsste es eine Funktion $g: [mm] V\to [/mm] V$ geben, so dass für alle [mm] $s,t\in [/mm] V$ gilt:
[mm] $\integral_{-1}^{1} t'(x)*s(x)\;dx=\integral_{-1}^{1} f(t)(x)*s(x)\;dx=\blue{\Phi(f(t),s)=\Phi(t,g(s))}=\integral_{-1}^{1} t(x)*g(s)(x)\;dx$
[/mm]
Die beiden äußersten Gleichungsseiten noch mal direkt gleichgesetzt:
[mm] $\integral_{-1}^{1} t'(x)*s(x)\;dx=\integral_{-1}^{1} t(x)*g(s)(x)\;dx$ [/mm] (*)
Hier versuche ich nun, ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Ich beginne mit [mm] $t(x):=x\in [/mm] V$ und [mm] $s(x):=1\in [/mm] V$
Es ist ja dann $f(t)(x)=t'(x)=1$ und (*) lautet dann:
[mm] $\gdw\ \integral_{-1}^{1} 1*1\;dx=\integral_{-1}^{1} x*g(1)\;dx$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 2=g(1)*\integral_{-1}^{1} x\;dx$ [/mm] (g(1) ist eine Konstante)
[mm] $\gdw\ [/mm] 2=g(1)*0$
[mm] $\gdw\ [/mm] 2=0$
Das ist doch ein schöner Widerspruch 
Viele Grüße,
Marc
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