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| Aufgabe | Es sei F ein Automorphismus eine n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, und F* sei die Adjungierte zu F.
Zeigen Sie:
Die Abbildungen F [mm] \circ [/mm] F* ist selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte. |
Könnt ihr mir bitte helfen.
Ich komm leider auf keine Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:52 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei F ein Automorphismus eine n-dimensionalen
> euklidischen Vektorraums V, und F* sei die Adjungierte zu
> F.
> Zeigen Sie:
> Die Abbildungen F [mm]\circ[/mm] F* ist selbstadjungiert und haben
> nur positive Eigenwerte.
>
> Könnt ihr mir bitte helfen.
> Ich komm leider auf keine Lösung.
Was hast du denn bisher probiert? Schreib doch erstmal auf was du ueberhaupt zeigen musst, damit $F [mm] \circ F^\ast$ [/mm] selbstadjungiert ist.
Zu den Eigenwerten: nimm einen Eigenvektor $v$ und rechne [mm] $\langle [/mm] (F [mm] \circ F^\ast)(v), [/mm] v [mm] \rangle$ [/mm] auf zwei verschiedene Arten aus.
LG Felix
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< f o f* (x) , x > = < f*(x) , f*(x) > = < x, f o f*(x)>
Es ist Selbstadjungiert.
Positive Eigenwerte:
< f o f*(x), x> = < kx, x> = k < x, x>
Ich denke es liegt an der Positive Definitheit. Ich komme aber nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Do 27.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> < f o f* (x) , x > = < f*(x) , f*(x) > = < x, f o f*(x)>
> Es ist Selbstadjungiert.
Nein, dazu muesstest du zeigen, dass [mm] $\langle [/mm] f [mm] \circ f^\ast(x), [/mm] y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, f [mm] \circ f^\ast(y) \rangle$ [/mm] fuer alle $x, y [mm] \in [/mm] V$ gilt. Du hast nur den Spezialfall $y = x$ betrachtet.
> Positive Eigenwerte:
> < f o f*(x), x> = < kx, x> = k < x, x>
Was ist $k$ und was ist $x$? Sowas musst du sagen, bevor du damit rumhantierst.
> Ich denke es liegt an der Positive Definitheit. Ich komme
> aber nicht weiter.
Im Fall $x = 0$ ist [mm] $\langle [/mm] x, x [mm] \rangle [/mm] = 0$, also bringt dir das ganze gar nichts. Du solltest also $x [mm] \neq [/mm] 0$ nehmen.
Und dann kannst du [mm] $\langle [/mm] f [mm] \circ f^\ast(x), [/mm] x [mm] \rangle$ [/mm] noch auf eine andere Art und Weise ausrechnen. Und ja, du brauchst, dass das Skalarprodukt selbstadjungiert ist.
LG Felix
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Ist das richtig?
K ist E. W. von f.
0 < < f*(x), f*(x)> = < f( f*(x) , x > = [mm] k^2 [/mm] < x,x > > 0
< x, x > > 0 => k > 0
Wegen der Positiv Definitheit.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ist das richtig?
>
> K ist E. W. von f.
Du meinst $k$ und nicht $K$. Und was ist $x$?
> 0 < < f*(x), f*(x)> = < f( f*(x) , x > = [mm]k^2[/mm] < x,x > > 0
> < x, x > > 0 => k > 0
> Wegen der Positiv Definitheit.
Warum ist [mm] $\langle [/mm] x, x [mm] \rangle [/mm] > 0$? Weil $x [mm] \neq [/mm] 0$ ist?
Und warum kann nicht [mm] $\langle f^\ast(x), f^\ast(x) \rangle [/mm] = 0$ sein?
LG Felix
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x ist Eigenvektor. Wegen der Definition von Eigenvektoren x [mm] \not= [/mm] 0.
F* ist Automorphismus. Wegen der Injektivität f* (x) [mm] \not= [/mm] 0 weil x [mm] \not= [/mm] 0.
Falls f* (x) [mm] \not= [/mm] 0 ist dann 0 < < f*(x), f*(x)> .
jetzt ist es richtig.
Noch zu zeigen:
f* ist Automorphismus.
Meine Vorschlag:
A ist die Abbildungsmatrix von F also [mm] A^T [/mm] ist die Abbildungsmatrix von f* im Euklidischen Vektorraum.
f ist Automorphismus also RangA ist voll. Rang [mm] A^T [/mm] ist auch voll. Also f* ist auch Automorphismus.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> x ist Eigenvektor. Wegen der Definition von Eigenvektoren x
> [mm]\not=[/mm] 0.
> F* ist Automorphismus. Wegen der Injektivität f* (x) [mm]\not=[/mm]
> 0 weil x [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Falls f* (x) [mm]\not=[/mm] 0 ist dann 0 < < f*(x), f*(x)> .
>
>
> jetzt ist es richtig.
Ja.
> Noch zu zeigen:
> f* ist Automorphismus.
>
> Meine Vorschlag:
> A ist die Abbildungsmatrix von F also [mm]A^T[/mm] ist die
> Abbildungsmatrix von f* im Euklidischen Vektorraum.
> f ist Automorphismus also RangA ist voll. Rang [mm]A^T[/mm] ist
> auch voll. Also f* ist auch Automorphismus.
Das kann man so machen, wenn man eine Orthonormalbasis hat.
Alternativ geht's auch so. Erstmal braucht man ja nur, dass [mm] $f^\ast$ [/mm] injektiv ist. Sei $x [mm] \in [/mm] V$, $x [mm] \neq [/mm] 0$. Es reicht also zu zeigen, dass es ein $y [mm] \in [/mm] V$ gibt mit [mm] $\langle f^\ast(x), [/mm] y [mm] \rangle \neq [/mm] 0$, um [mm] $f^\ast(x) \neq [/mm] 0$ zu bekommen. Aber [mm] $\langle f^\ast(x), [/mm] y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, f(y) [mm] \rangle$, [/mm] und mit $y := [mm] f^{-1}(x)$ [/mm] erhaelt man [mm] $\langle f^\ast(x), [/mm] y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x, x [mm] \rangle [/mm] > 0$.
LG Felix
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