Adjungiertes Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mi 04.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Sei [mm] f=f_{A} [/mm] : [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2, [/mm] x -> Ax, die lineare Abbildung zur Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie die Matrix des zu f adjungierten Operators bezüglich des Skalarprodukts
< [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] , [mm] \pmat{ x' \\ y'} [/mm] > := xy' + x'y. |
Hallo, ich bin bis jetzt erhlich gesagt nicht viel weiter als bis zur Begriffsklärung gekommen. Ich weiß:
Skalarprodukt = nicht entartete (rang A = n = 2 ), symmetrische ( A = [mm] A^{T} [/mm] ) Bilinearform
meine funktion f bildet ein element aus dem [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] ab.
Ich glaube ich komme einfach aufgrund der Aufgabenstellung nicht weiter. Ich verstehe einfach nicht was "der zu f adjungierte Operator bzgl. des Skalarproduktes" bedeutet. Kann mir da evt. jemand nen Anstoß geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Ist $f$ ein lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion [mm] $f^\star$ [/mm] mit [mm] $\langle f(v),w\rangle=\langle v,f^\star(w)\rangle$ [/mm] für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$. Dieses [mm] $f^\star$ [/mm] heißt die Adjungierte von $f$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 04.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
> Ist [mm]f[/mm] ein lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutig
> bestimmte Funktion [mm]f^\star[/mm] mit [mm]\langle f(v),w\rangle=\langle v,f^\star(w)\rangle[/mm]
> für alle [mm]v,w\in V[/mm]. Dieses [mm]f^\star[/mm] heißt die Adjungierte von
> [mm]f[/mm].
hmm ok, also sei v = [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] und w = [mm] \pmat{ x' \\ y' }.
[/mm]
dann habe ich:
< f(v) , w > = < v , f*(w) > <=>
< A*v , w > = < v , f*(w) > <=>
< [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] , [mm] \pmat{ x' \\ y' } [/mm] = < [mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] , [mm] \pmat{ a'_{1,1} & a'_{1,2} \\ a'_{2,1} & a'_{2,2} } [/mm] * [mm] \pmat{ x' \\ y' } [/mm] >
aber was mach ich dann damit? Und wie bringe ich die definition dieses Skalarproduktes da rein?
|
|
|
| |
|
> > Ist [mm]f[/mm] ein lineare Abbildung, dann gibt es eine eindeutig
> > bestimmte Funktion [mm]f^\star[/mm] mit [mm]\langle f(v),w\rangle=\langle v,f^\star(w)\rangle[/mm]
> > für alle [mm]v,w\in V[/mm]. Dieses [mm]f^\star[/mm] heißt die Adjungierte von
> > [mm]f[/mm].
>
> hmm ok, also sei v = [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] und w = [mm]\pmat{ x' \\ y' }.[/mm]
>
> dann habe ich:
>
> < f(v) , w > = < v , f*(w) > <=>
>
> < A*v , w > = < v , f*(w) > <=>
>
> < [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] , [mm]\pmat{ x' \\ y' }[/mm] >
> = < [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] , [mm]\pmat{ a'_{1,1} & a'_{1,2} \\ a'_{2,1} & a'_{2,2} }[/mm]
> * [mm]\pmat{ x' \\ y' }[/mm] >
>
> aber was mach ich dann damit? Und wie bringe ich die
> definition dieses Skalarproduktes da rein?
Hallo,
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 }[/mm] [/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] und [mm] \pmat{ a'_{1,1} & a'_{1,2} \\ a'_{2,1} & a'_{2,2} }[/mm] [/mm]
> * [mm]\pmat{ x' \\ y' }[/mm] sind beides Spaltenvektoren.
Was hindert Dich nun am Ausrechnen der Skalarprodukte rechts und links?
(Wenn Du die darstellende Matrix des Skalarproduktes kennst und verwendest, ist es bequemer, aber erforderlich ist das nicht unbedingt.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 08.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
> Was hindert Dich nun am Ausrechnen der Skalarprodukte
> rechts und links?
>
> (Wenn Du die darstellende Matrix des Skalarproduktes kennst
> und verwendest, ist es bequemer, aber erforderlich ist das
> nicht unbedingt.)
>
> Gruß v. Angela
Hallo, mich hindert daran eigentlich nichts außer das ergebniss dieser rechnung. Wenn ich in der formel die ich oben geschrieben habe die martrizen ausmultipliziere und dann die definition das skalarproduktes aus der aufgabenstellung darauf anwende komme ich auf
xy' + 2yy' -2xx' + yx' = a'_{11}yx' + a'_{12}yy' + a'_{21}xx' + a'_{22}xy'
und daraus müsste ja dann folgen, dass
f* = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 } [/mm] = f
ich kann mir irgendwie nicht vorstelle das, das stimmt...
|
|
|
| |
|
> f* = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ -2 & 1 }[/mm] = f
Hallo,
ich hoffe, ich komme nicht zu spät mit meiner Rückmeldung: dieses Ergebnis findet sich auch noch auf meinem Zettel.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 09.06.2008 | | Autor: | maxi85 |
:) zu spät ist immer relativ, für die uni war es evt. zu spät aber für mein eigenes wissen isses das absolut nicht. danke dir.
mfg Maxi
|
|
|
|
