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Der Aufgabentext:
Die aff. Abb. [mm] \alpha [/mm] bilde das Dreieck ABC mit A(-3/2) B(1/1) C(-4/2) auf das Dreieck A'B'C' ab mit A'=B, B'=A und C'=C
a) stelle die Abbildungsgleichung von [mm] \alpha [/mm] in Matrixdarstellung auf.
c) Zeige, dass die Gerade durch A und B Fixgerade der Abbildung ist.
d) Bestimme das Urbild des Punktes P'(55/-10) unter der Abbildung [mm] \alpha.
[/mm]
e) Führe erst die Abb. [mm] \beta: \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 62,04 & -128,31 \\ -12,69 & 26,79 } [/mm] aus und dann die Abb. [mm] \alpha. [/mm] Diese zusammengesetzte Abb. heisst [mm] \gamma. [/mm] Welche Art von Abb. ist [mm] \gamma?
[/mm]
Unser Lösungsansatz bestand daraus, dass wir mit einer Matrix A mehrere Gleichungen aufgestellt hatten, die jedoch zu keinem vernünftigen Ergebnis fürten. Hier der Rechenweg für Punkt A (Das selbe haben wir auch für Punkt B und C ausprobiert.)
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * [mm] \vektor{-3 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]
So haben wir insgesamt 6 Gleichungen rausbekommen. Hier sind sie:
1. -3a+2b = 1
2. -3c+2d = 1
3. a+b = -3
4. c+d = 2
5. -4a+2b = -4
6. -4c+2d = 2
Dann haben wir versucht sie zu lösen, uns dabei aber im Kreis bewegt. Vieleicht haben wir das falsche Vertfahren benutzt, jedenfalls kommen wir hiermit nicht zu einem Ergebnis.
Wir hoffen auf schnelle Antwort und bedanken uns schon mal im Voraus.
Gruss Sascha und Ruijia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt]
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> Der Aufgabentext:
> Die aff. Abb. [mm]\alpha[/mm] bilde das Dreieck ABC mit A(-3/2)
> B(1/1) C(-4/2) auf das Dreieck A'B'C' ab mit A'=B, B'=A und
> C'=C
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> a) stelle die Abbildungsgleichung von [mm]\alpha[/mm] in
> Matrixdarstellung auf.
> c) Zeige, dass die Gerade durch A und B Fixgerade der
> Abbildung ist.
> d) Bestimme das Urbild des Punktes P'(55/-10) unter der
> Abbildung [mm]\alpha.
[/mm]
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> e) Führe erst die Abb. [mm]\beta: \vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 62,04 & -128,31 \\ -12,69 & 26,79 }[/mm]
> aus und dann die Abb. [mm]\alpha.[/mm] Diese zusammengesetzte Abb.
> heisst [mm]\gamma.[/mm] Welche Art von Abb. ist [mm]\gamma?
[/mm]
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> Unser Lösungsansatz bestand daraus, dass wir mit einer
> Matrix A mehrere Gleichungen aufgestellt hatten, die jedoch
> zu keinem vernünftigen Ergebnis fürten. Hier der Rechenweg
> für Punkt A (Das selbe haben wir auch für Punkt B und C
> ausprobiert.)
Eine affine Abbildung besteht nicht nur aus einer Matrix, sondern aus einem Punkt (Vektor) und einer Matrix!
Sei (p,q) ein Punkt der Ebene und [mm]\pmat{ a & b \\ c & d}[/mm], dann ist eine affine Abbilddung F gegeben durch
[mm]F(x,y)=\vektor{p \\ q}+\pmat{ a & b \\ c & d}\vektor{x \\ y}[/mm]
Jetzt habt ihr 6 Unbekannte und 6 Gleichungen und könnt so dass System algebraisch lösen. Man kann sich vielleicht überlegen, ob man durch eine geometrische Ueberlegung nicht schneller ans Ziel kommt.
mfG Moudi
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
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> So haben wir insgesamt 6 Gleichungen rausbekommen. Hier
> sind sie:
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> 1. -3a+2b = 1
> 2. -3c+2d = 1
> 3. a+b = -3
> 4. c+d = 2
> 5. -4a+2b = -4
> 6. -4c+2d = 2
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> Dann haben wir versucht sie zu lösen, uns dabei aber im
> Kreis bewegt. Vieleicht haben wir das falsche Vertfahren
> benutzt, jedenfalls kommen wir hiermit nicht zu einem
> Ergebnis.
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> Wir hoffen auf schnelle Antwort und bedanken uns schon mal
> im Voraus.
> Gruss Sascha und Ruijia
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