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| Aufgabe | Sei [mm] $\alpha$ [/mm] eine affine Abbildung, die durch das Gleichungssystem [mm] $\left\{
\begin{array}{l}
x'=a_1x+b_1y+c_1\\
y'=a_2x+b_2y+c_2
\end{array}\right.$ [/mm] mit [mm] $a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2\in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $a_1b_2-a_2b_1=\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }\neq0$ [/mm] beschrieben ist. Gegeben sei eine Figur F. Sei [mm] $F'=\alpha(F)$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass die Reihenfolge der Eckpunkte von $F'$ gleich der Reihenfolge der Eckpunkte von $F$ ist, nur wenn [mm] $\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }>0$ [/mm] gilt. Weiters ist zu zeigen, dass die Reihenfolge der Eckpunkte von F' verschieden von der Reihenfolge der Eckpunkte von F ist, nur wenn [mm] $\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }<0$ [/mm] gilt. |
Hallo an alle!
Habe leider keine Ahnung welche Bedingung oder welche "Formel" die Reihenfolge der Eckpunkte ausdrùckt.
Ich habe mal die Punkte O(0,0), [mm] $E_1(1,0)$ [/mm] und [mm] $E_2(0,1)$ [/mm] hergenommen. Daher [mm] $\alpha(O)=O'(c_1,c_2)$, $\alpha(E_1)=E_1'(a_1+c_1,a_2+c_2)$ [/mm] und [mm] $\alpha(E_2)=E_2'(b_1+c_1,b_2+c_2)$. [/mm] Sei T das Dreieck mit Eckpunkten O, [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] und sei T' das Dreieck mit Eckpunkten O', [mm] $E_1'$ [/mm] und [mm] $E_2'$. [/mm] Ich habe, dass die Flàche von T, [mm] $A(T)=\frac{1}{2}$ [/mm] und jene von T', [mm] $A(T')=\frac{1}{2}|\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }|$ [/mm] ist. Daher, [mm] $\frac{A(T')}{A(T)}=|\det\pmat{ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 }|$.
[/mm]
Kann mir das irgendwie weiterhelfen? Wie gesagt das ist mein einziger Anhaltspunkt.
Danke an alle die mir weiterhelfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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