Affine Abbildung A(t) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 05.03.2006 | | Autor: | Andre |
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR [/mm] \ {-1;1} ist eine Affinität [mm] \alpha_t [/mm] gegeben durch [mm] \pmat{ 1+2t & -t \\ 3t & 1-2t }
[/mm]
a) Bestimmen Sie t so, dass [mm] \alpha_t [/mm] flächeninhaltstreu ist.
b) Bestimmen Sie alle Fixpunkte von [mm] \alpha_t
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und eigenvektoren und geben Sie den Typ der Abbildung an
d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der Umkehrabbildung von [mm] \alpha_0.5
[/mm]
e) Für welches t ist die [mm] x_1 [/mm] -Achse das bild der [mm] x_2 [/mm] -Achse? |
hallo!
so peinlich es ist, aber das erste Probelm macht mir schon das t [mm] \in \IR [/mm] \ {-1;1}
heist es, dass |t| nur [mm] \not= [/mm] 1 ist, oder dass t keine Zahl zwischen -1 und 1 ist? (ich meine letzteres, bin mir nur nicht 100% sicher)
zu a)Annahme:Es müsste entweder eine Spiegelung oder eine Drehung sein, weil Scheerung oder streckung den Flächeninhalt verändern.(mit einpaar ausnahmen)
ich habe in meiner Formelsammlung keine mögliche Abbildung gefunden, die man aus [mm] \alpha_t [/mm] bilden könnte (mit |t| [mm] \le [/mm] 1; [mm] t\in \IR)
[/mm]
zu b) nur der Ursprung ist Fixpunkt
zu c) EW= -t und t =>EV= [mm] \vektor{t\\-t} [/mm] Typ= Scheerstreckung
zu d) [mm] \bruch{4}{3} [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0.5 \\ -1,5 & 2 }
[/mm]
zu e)Ansatz: [mm] \pmat{ 1+2t & -t \\ 3t & 1-2t } \vektor{0 \\ 1}= \vektor{1 \\ 0} [/mm]
[mm] =>\IL={.} [/mm] (leere Menge, aber die klammern verschwinden immer)
ich bin mit den ergebnissen nicht zufrieden. deshalb bitte ich um Kontrolle und evtl um Lösungstipps (die richtigen Lösung kann ich mir morgen auch selber angucken, nur dabei hätte ich ja dann nicht soviel gelernt^^)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:56 So 05.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Andre
> Für jedes t [mm]\in \IR[/mm] \ {-1;1} ist eine Affinität [mm]\alpha_t[/mm]
> gegeben durch [mm]\pmat{ 1+2t & -t \\ 3t & 1-2t }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie t so, dass [mm]\alpha_t[/mm] flächeninhaltstreu
> ist.
> b) Bestimmen Sie alle Fixpunkte von [mm]\alpha_t[/mm]
> c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und eigenvektoren und
> geben Sie den Typ der Abbildung an
> d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix der Umkehrabbildung
> von [mm]\alpha_0.5[/mm]
> e) Für welches t ist die [mm]x_1[/mm] -Achse das bild der [mm]x_2[/mm]
> -Achse?
> hallo!
>
> so peinlich es ist, aber das erste Probelm macht mir schon
> das t [mm]\in \IR[/mm] \ {-1;1}
> heist es, dass |t| nur [mm]\not=[/mm] 1 ist, oder dass t keine
> Zahl zwischen -1 und 1 ist? (ich meine letzteres, bin mir
> nur nicht 100% sicher)
Das heißt, dass [mm] t\ \not= 1\ \wedge t\ \not=\ -1 [/mm]
Die Zahlen 1 und -1 werden ausgeschlossen, weil es sich bei diesen beiden Werten nicht um eine affine Abbildung handelt.
>
> zu a)Annahme:Es müsste entweder eine Spiegelung oder eine
> Drehung sein, weil Scheerung oder streckung den
> Flächeninhalt verändern.(mit einpaar ausnahmen)
>
> ich habe in meiner Formelsammlung keine mögliche Abbildung
> gefunden, die man aus [mm]\alpha_t[/mm] bilden könnte (mit |t| [mm]\le[/mm]
> 1; [mm]t\in \IR)[/mm]
Die Abbildung ist dann flächentreu, wenn die Determinante gleich 1 ist. Das ist, wenn ich richtig gerechnet habe, aber nur für [mm] t = \pm 1 [/mm] der Fall, was aber keine zulässigen Werte sind.
>
> zu b) nur der Ursprung ist Fixpunkt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu c) EW= -t und t =>EV= [mm]\vektor{t\\-t}[/mm] Typ=
> Scheerstreckung
Hier habe ich die Eigenwerte [mm] 1 \pm t [/mm].
> zu d) [mm]\bruch{4}{3}[/mm] * [mm]\pmat{ 0 & 0.5 \\ -1,5 & 2 }[/mm]
> zu
> e)Ansatz: [mm]\pmat{ 1+2t & -t \\ 3t & 1-2t } \vektor{0 \\ 1}= \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]=>\IL={.}[/mm] (leere Menge, aber die klammern verschwinden
> immer)
[mm] L = \{ \} [/mm]
Gruß
Sigrid
>
> ich bin mit den ergebnissen nicht zufrieden. deshalb bitte
> ich um Kontrolle und evtl um Lösungstipps (die richtigen
> Lösung kann ich mir morgen auch selber angucken, nur dabei
> hätte ich ja dann nicht soviel gelernt^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 05.03.2006 | | Autor: | Andre |
was ist denn hier die diskiminante? determinante ken nich ja, aber diskriminante sagt mir hier nix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 So 05.03.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Andre,
ich meinte natürlich auch Determinante. Die Diskriminante hat hier nichts zu suchen.
Gruß
Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Andre |
bei e) kommt t=0.5 raus^^
mein Ansatzt war falsch!
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] muss ja nicht genau auf [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] sondern kann auch auf [mm] \vektor{x \\ 0} (x\in \IR) [/mm] abgebildet werden
|
|
|
|
