Affine Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
| Aufgabe | Folgende Aussage ist gegeben:
f: X --> X affine Abbildung und G C X eine Gerade, so ist auch f(G) eine Gerade.
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Hi.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/
Warum ist diese Aussage falsch?
Ist es vllt. so, dass f(G) auch nur ein Punkt sein könnte oder die leere Menge, so dass f(G) nicht zwangsweise wieder eine Gerade sein muss?
Wär die Aussage richtig, wenn f bijektiv wäre? Warum?
Ich habe diese Frage auch in Matroids Matheplanet gestellt.
http://www.matheplanet.com/
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Fr 17.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ex. [mm] x_0 \in [/mm] X und eine lineare Abbildung g: X [mm] \to [/mm] X mit
$f(x) = [mm] x_0+g(x)$
[/mm]
Die Gerade G sei gegeben durch G = { [mm] z_0+tu [/mm] : t [mm] \in \IR [/mm] } [mm] (z_0, [/mm] u [mm] \in [/mm] X).
Mit [mm] $y_0:= x_0+g(z_0), [/mm] v :=g(u)$ erhält man:
f(G) = { [mm] y_0+tv [/mm] : t [mm] \in \IR [/mm] }.
Ist also g die Nullabb. , so ist f(G) eine einpunktige Menge, anderenfalls ist f(G) eine Gerade.
Edit: der letzte Satz ist nicht richtig. Besser:
Ist g(u) = 0, so ist f(G) eine einpunktige Menge, anderenfalls ist f(G) eine Gerade.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
Sorry, aber versteh eigentlich überhaupt nicht, was Du mir damit sagen möchtest.
Bitte vllt. um andere Antworten.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Fr 17.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, aber versteh eigentlich überhaupt nicht, was Du mir
> damit sagen möchtest.
Was versteht man unter einer affinen Abb. ?
Was versteht man unter einer Geraden ?
FRED
>
> Bitte vllt. um andere Antworten.
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
f: X --> Y heißt aff. Abb. genau dann, wenn
es eine lineare Abb. F: T(X) --> T(Y) derart gibt, dass für alle Pkt.e p,q E X gilt:
f(q) - f(p) = F(q) - F(p).
Eine Gerade ist ein affiner Unterraum, der aus einem Auhängepunkt und einem UVR besteht.
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> f: X --> Y heißt aff. Abb. genau dann, wenn
>
> es eine lineare Abb. F: T(X) --> T(Y) derart gibt, dass
> für alle Pkt.e p,q E X gilt:
>
> f(q) - f(p) = F(q) - F(p).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
und: aha.
Das ist doch dem, was Fred Dir erzählt hat gar icht so unähnlich.
Wenn ich jetzt ein festes [mm] p_0 [/mm] aus X nheme, dann gilt für jedes [mm] x\in [/mm] X
f(x)= F(x)- [mm] F(p_0)+f(p_0),
[/mm]
und wenn wir nun Dein F(x) umtaufen in g(x) , und Dein - [mm] F(p_0)+f(p_0) [/mm] umbenennen in [mm] x_0, [/mm] sind wir verflixt nah an dem, was Fred schrieb.
Ich könnte mir übrigens auch gut vorstellen, daß in der VL bereits dran war, daß man eine affine Abildung als Summe einer linearen Abb. und einer Translation schreiben kann.
> Eine Gerade ist ein affiner Unterraum, der aus einem
> Auhängepunkt und einem UVR besteht.
Da ist nicht die ganze Wahrheit, der Unterraum muß nämlich die Dimension 1 haben, dh. eine Gerade ist sowas : p+<r>. (Die spitzen Klammern stehen für lineare Hülle)
Somit hat jeder Punkt der Geraden die Gestalt [mm] x=p+\lambda [/mm] r.
Nun wendet man darauf die Abbildung an (mach mal!) und guckt nach, ob die Punkte, die man erhält alle auf einer Geraden liegen, ob man also [mm] f(p+\lambda r)\in [/mm] p' + <r'> bekommt für passende p', r'.
Falls nicht alles klar ist, stell Deine Rückfragen bitte sehr konkret.
Zeig wie weit Du gekommen bist und formuliere genau, was Du nicht verstehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
Hi Angela.
Erst einmal Danke für Deine Hilfe.
Der erste Teil ist mir ja noch einsichtig was Du schreibst.
Aber ab dem "mach mal" muss ich echt passen. Ich blicks einfach nicht was ich da machen soll!!! Sorry. Es ist nicht so das ich nicht will, aber ich hab einfach keinen Peil.
Du hast mir geschrieben, dass wir eine Gerade $ [mm] x=p+\lambda [/mm] $ r haben.
Soo, wenn ich jetzt davon das Bild f(x) mache, was soll ich da denn tun? Und wieso liegen dann wieder alle Pkte. auf einer Geraden?
Würde mich freuen, wenn Du mir nochmal helfen würdest.
Danke.
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> Hi Angela.
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> Erst einmal Danke für Deine Hilfe.
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> Der erste Teil ist mir ja noch einsichtig was Du
> schreibst.
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> Aber ab dem "mach mal" muss ich echt passen. Ich blicks
> einfach nicht was ich da machen soll!!! Sorry. Es ist nicht
> so das ich nicht will, aber ich hab einfach keinen Peil.
>
> Du hast mir geschrieben, dass wir eine Gerade [mm]x=p+\lambda[/mm] r
> haben.
Moment! So sehen die Punkte aus, die auf der Geraden liegen.
> Soo, wenn ich jetzt davon das Bild f(x) mache, was soll
> ich da denn tun?
Du guckst jetzt, wie die Punkte gemacht sind, auf die die Punkte der Geraden abgebildet werden.
[mm] f(x)=f(p+\lambda [/mm] r ) =...
Zur Erinnerung: wir hatten [mm] f(x)=F(x)+x_0, [/mm] wobei F eine lineare Abbildung ist.
Du setzt nun oben statt x erstmal [mm] p+\lambda [/mm] r ein, und dann nutze die Linearität von F.
> Und wieso liegen dann wieder alle Pkte.
> auf einer Geraden?
Wenn f(x) dasteht, zupfen wir's ein bißchen zurecht, und dann sieht man's.
Erstmal brauchn wir f(x).
Gruß v. Angela
>
> Würde mich freuen, wenn Du mir nochmal helfen würdest.
>
> Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
f (x) = f (p+ [mm] \lambda [/mm] r) = F (p) + [mm] \lambda [/mm] F (r) + [mm] x_{0}
[/mm]
Kann ich jetzt F(p) und [mm] x_{0} [/mm] zusammenfassen zu einem Aufhängepunkt und [mm] \lambda [/mm] F (r) als Richtungsvektor benutzen, sodass ich dann eine Gerade habe?
Ok. Aber warum gilt dies dann nur, wenn f bijektiv ist?
Und: Heißt, dass wenn f bijektiv ist, dass auch F bijektiv ist?
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> f (x) = f (p+ [mm]\lambda[/mm] r) = F (p) + [mm]\lambda[/mm] F (r) + [mm]x_{0}[/mm]
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> Kann ich jetzt F(p) und [mm]x_{0}[/mm] zusammenfassen zu einem
> Aufhängepunkt
Ja, genau.
und [mm]\lambda[/mm] F (r) als Richtungsvektor
> benutzen,
Ja, F(r) ist der Richtungsvektor.
> sodass ich dann eine Gerade habe?
Genau.
> Ok. Aber warum gilt dies dann nur, wenn f bijektiv ist?
Das stimmt auch, wenn f bloß injektiv ist.
Es kommt darauf an, daß sichergestellt ist, daß nicht die gerade bloß auf einen Punkt abgebildet wird.
>
> Und: Heißt, dass wenn f bijektiv ist, dass auch F bijektiv
> ist?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 17.07.2009 | | Autor: | FrediB |
Was wäre jetzt, wenn f nicht bijektiv wäre?
Was würde sich dann an folgender Gleichung ändern bzw. was würde dazu führen, dass es keine Gerade mehr wäre?
f (x) = f (p+ $ [mm] \lambda [/mm] $ r) = F (p) + $ [mm] \lambda [/mm] $ F (r) + $ [mm] x_{0} [/mm] $
Danke.
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> Was wäre jetzt, wenn f nicht bijektiv wäre?
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> Was würde sich dann an folgender Gleichung ändern bzw.
> was würde dazu führen, dass es keine Gerade mehr wäre?
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> f (x) = f (p+ [mm]\lambda[/mm] r) = F (p) + [mm]\lambda[/mm] F (r) + [mm]x_{0}[/mm]
Hallo,
wenn F(r)=0 wäre, ware es keine Gerade mehr.
Gruß v. Angela
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