Affine Abbildungen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 So 14.03.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. f sei die Streckung mit dem Zentrum 0 und dem Streckungsfaktor 1.5.
a) Wie heisst die Abbildungsgleichung von f (Matrixschreibweise)?
b) Ermittle das Bild des Punktes P(2|6)
c) Bestimme einen Punkt Q, der auf Q'(2.1/3.3) abgebildet wird.
2. Ermittle die zu den folgenden Abbildungen gehörenden Matrizen. Bestimme ebenfalls deren Determinanten.
a) Streckung mit dem Zentrum 0 und Streckungsfaktor k
b) Drehung mit dem Zentrum 0 und dem Drehwinkel [mm] $\alpha$
[/mm]
c) Spiegelung an der Geraden g, welche durch den Nullpunkt geht und bezüglich der x-Achse den Neigungswinkel [mm] $\alpha$ [/mm] besitzt.
d) Normalprojektion auf die y-Achse.
e) Translation um den Vektor [mm] \vec{v_{1}}=\vektor{v_{1}\\v_{2}}
[/mm]
3. Bestimme in [mm] $\IR^{3}$ [/mm] mit Matrixmultiplikation das Bild von (-2/1/2) bei einer Drehung um $+30°$ um die x-Achse.
4. Bestimme die Matrix der folgenden Abbildungen [mm] $\IR^{2} \to \IR^{2}$
[/mm]
a) Drehung gefolgt von einer Spiegelung an y = x.
b) Normalprojektion auf die y-Achse mit anschliessender Streckung am Ursprung mit Faktor 3.
5. Bestimme die Matrix der folgenden Abbildungen [mm] $\IR^{3} \to \IR^{3}$
[/mm]
a)Drehung um $45°$ um die x-Achse gefolgt von Streckung am Ursprung mit Faktor [mm] $\sqrt{2}$
[/mm]
b) Spiegelung an der yz-Ebene gefolgt von Normalprojektion auf die xz-Ebene.
|
1.
a) [mm] \pmat{ 1.5 & 0 \\ 0 & 1.5 }
[/mm]
b) [mm] \vektor{3\\9}
[/mm]
c) x=1.4 y=2.2
2.
a) [mm] \pmat{k & 0 \\ 0 & k}
[/mm]
b) [mm] \pmat{cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi}
[/mm]
c) [mm] \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}
[/mm]
d) Normalprojektion (?)
e) [mm] $Einheitsmatrix\cdot \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{x}'$
[/mm]
3. Drehungen in [mm] $\IR^{3}$??
[/mm]
4.
Wie kann ich diese Abbildungen verketten? Multiplizieren? Dann muss ich aber auf die Reihenfolge achten, oder??
a) Ich würde zuerst Drehen und dann spiegeln:
[mm] \vec{x}' [/mm] = [mm] \pmat{ cos(90) & sin(90) \\ sin(90) & -cos(90) } (\pmat{ cos 90 & -sin(90) \\ sin(90) & cos(90) }\cdot \vec{x})
[/mm]
b) Normalprojektion...
5. [mm] $\IR^{3}$ [/mm] ....
Stimmen meine Ergebnisse so?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
|
|
| |
|
> 1. f sei die Streckung mit dem Zentrum 0 und dem
> Streckungsfaktor 1.5.
> a) Wie heisst die Abbildungsgleichung von f
> (Matrixschreibweise)?
> b) Ermittle das Bild des Punktes P(2|6)
> c) Bestimme einen Punkt Q, der auf Q'(2.1/3.3) abgebildet
> wird.
>
>
>
> 2. Ermittle die zu den folgenden Abbildungen gehörenden
> Matrizen. Bestimme ebenfalls deren Determinanten.
> a) Streckung mit dem Zentrum 0 und Streckungsfaktor k
> b) Drehung mit dem Zentrum 0 und dem Drehwinkel [mm]\alpha[/mm]
> c) Spiegelung an der Geraden g, welche durch den Nullpunkt
> geht und bezüglich der x-Achse den Neigungswinkel [mm]\alpha[/mm]
> besitzt.
> d) Normalprojektion auf die y-Achse.
> e) Translation um den Vektor
> [mm]\vec{v_{1}}=\vektor{v_{1}\\v_{2}}[/mm]
>
> 3. Bestimme in [mm]\IR^{3}[/mm] mit Matrixmultiplikation das Bild
> von (-2/1/2) bei einer Drehung um [mm]+30°[/mm] um die x-Achse.
>
> 4. Bestimme die Matrix der folgenden Abbildungen [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm]
>
> a) Drehung gefolgt von einer Spiegelung an y = x.
> b) Normalprojektion auf die y-Achse mit anschliessender
> Streckung am Ursprung mit Faktor 3.
>
> 5. Bestimme die Matrix der folgenden Abbildungen [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm]
>
> a)Drehung um [mm]45°[/mm] um die x-Achse gefolgt von Streckung am
> Ursprung mit Faktor [mm]\sqrt{2}[/mm]
> b) Spiegelung an der yz-Ebene gefolgt von Normalprojektion
> auf die xz-Ebene.
>
> 1.
>
> a) [mm]\pmat{ 1.5 & 0 \\ 0 & 1.5 }[/mm]
Hallo,
richtig.
> b) [mm]\vektor{3\\9}[/mm]
> c) x=1.4 y=2.2
Das rechne ich nicht nach. Kannst Du selbst.
>
> 2.
> a) [mm]\pmat{k & 0 \\ 0 & k}[/mm]
richtig
> b) [mm]\pmat{cos\phi & -sin\phi \\ sin\phi & cos\phi}[/mm]
richtig.
>
> c) [mm]\begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\
\sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix}[/mm]
richtig
>
> d) Normalprojektion (?)
Projektion auf die y_Achse: der Schatten, den Du auf der y-Achse siehst, wenn der Vektor parallel zur x-Achse beleuchtet wird.
> e) [mm]Einheitsmatrix\cdot \vec{x} + \vec{v} = \vec{x}'[/mm]
Richtig.
>
> 3. Drehungen in [mm]\IR^{3}[/mm]??
Wikipedia!
>
> 4.
> Wie kann ich diese Abbildungen verketten? Multiplizieren?
> Dann muss ich aber auf die Reihenfolge achten, oder??
Ja, genau. Das, was zuerst getan wird, kommt nach rechts.
>
> a) Ich würde zuerst Drehen und dann spiegeln:
>
> [mm]\vec{x}'[/mm] = [mm]\pmat{ cos(90) & sin(90) \\ sin(90) & -cos(90) } (\pmat{ cos 90 & -sin(90) \\ sin(90) & cos(90) }\cdot \vec{x})[/mm]
Ja. Du solltest das durchaus ausrechnen.
>
> b) Normalprojektion...
s.o.
>
> 5. [mm]\IR^{3}[/mm] ....
s.o.
Gruß v. Angela
>
>
> Stimmen meine Ergebnisse so?
>
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
>
|
|
|
|
