Affine Schemata < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
leider verstehe ich nicht das folgende:
Seien A und B kommutative Ringe mit 1 und Spec B -o-> Spec A ein offenes Unterschema. Sei f aus A sodass [mm] D_A(f)=\{P \in Spec A: (f) ist keine Teilmenge von P\} [/mm] eine Teilmenge von Spec B ist.
Wieso sind die lokalisierten Ringe [mm] A_f [/mm] und [mm] B_{\phi(f)} [/mm] isomorph?
[mm] \phi [/mm] : A ---> B bezeichne die von der Inklusion durch die Strukturgarbe induzierte Abbildung.
Dankeschoen,
hallo12345
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Di 19.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo hallo12345
> leider verstehe ich nicht das folgende:
> Seien A und B kommutative Ringe mit 1 und Spec B -o-> Spec
> A ein offenes Unterschema.
Sei [mm] $\psi [/mm] : Spec B [mm] \to [/mm] Spec A$ der zugehoerige Morphismus. Dann bedeutet das ja gerade, dass [mm] $\psi(Spec [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] Spec A$ offen ist und [mm] $\psi$ [/mm] einen Isomorphismus $Spec B [mm] \cong \psi(Spec [/mm] B)$ von lokal geringten Raeumen induziert.
> Sei f aus A sodass [mm]D_A(f)=\{P \in Spec A: (f) ist keine Teilmenge von P\}[/mm]
> eine Teilmenge von Spec B ist.
Oder anders gesagt, dass [mm] $D_A(f) \subseteq \psi(Spec [/mm] B)$ ist.
> Wieso sind die lokalisierten Ringe [mm]A_f[/mm] und [mm]B_{\phi(f)}[/mm]
> isomorph?
> [mm]\phi[/mm] : A ---> B bezeichne die von der Inklusion durch die
> Strukturgarbe induzierte Abbildung.
Der Ring [mm] $A_f$ [/mm] ist ja gerade [mm] $\mathcal{O}_{Spec A}(D_A(f))$, [/mm] und [mm] $B_{\phi(f)}$ [/mm] ist gerade [mm] $\mathcal{O}_{Spec B}(D_B(\phi(f)))$. [/mm] OK so weit?
Weiter ist [mm] $\psi(D_B(\phi(f))) [/mm] = [mm] D_A(f)$.
[/mm]
Und wegen dem durch [mm] $\phi$ [/mm] induzierten Isomorphismus $Spec B [mm] \cong \psi(Spec [/mm] B)$ gibt es natuerlich auch einen Isomorphismus [mm] $\mathcal{O}_{Spec B}(D_B(\phi(f))) \cong \mathcal{O}_{\psi(Spec B)}(\psi(D_B(\phi(f)))) [/mm] = [mm] \mathcal{O}_{\psi(Spec B)}(D_A(f)) [/mm] = [mm] \mathcal{O}_{Spec A}(D_A(f))$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
