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| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] U\subsetV [/mm] ein UVR Wir def. die folgende Relation auf V: es seien v1, v2 [mm] \in [/mm] V,
v1 [mm] \sim [/mm] v2 genau dann, wenn v1-v2 [mm] \in [/mm] U
a) zeigen sie: v/ [mm] \sim= [/mm] V/U:={v+U| v [mm] \in [/mm] V}, wobei v+U:={v+U| u [mm] \in [/mm] U} |
Hi,
Hier geht es ja scheinbar um Affine Unterräum, die wir bisher aber nicht besprochen haben in der Vorlesung...
1)was genau soll V/ bedeuten und was soll das gleich Zeichen hinter dem Relationszeichen hinter V/ ist das ein Fehler vom Assistent oder kennt jemand diese Notation und kann mir da weiterhelfen?
lg Richard
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 18.11.2007 | | Autor: | mrp |
Ist V/~ einfach nur die Relation auf den Vektorraum V? Und diese dann eben gleichzusetzen mit V(durch)U? Oder gibt es das Zeichn "~=" (ich glaub das war auch die Frage oben)?
Kann man:
[mm] V/U:=\{v+U|v\in V\}, v+U:=\{v+u|u\in U\}
[/mm]
auch so schreiben:
[mm] V/U:=\{v+u|v\in V|u\in U\}
[/mm]
???
...ich versteh auch nicht ganz worauf man da hinaus soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ist V/~ einfach nur die Relation auf den Vektorraum V? Und
> diese dann eben gleichzusetzen mit V(durch)U? Oder gibt es
> das Zeichn "~=" (ich glaub das war auch die Frage oben)?
siehe dort.
> Kann man:
> [mm]V/U:=\{v+U|v\in V\}, v+U:=\{v+u|u\in U\}[/mm]
> auch so
> schreiben:
> [mm]V/U:=\{v+u|v\in V|u\in U\}[/mm]
> ???
nein. die elemente, wie sie oben beschrieben werden ($v + U$) sind doch mengen von vektoren. unten ($v + u$) stehen einfach nur vektoren da - es werden ja zwei vektoren addiert und da kommt nun mal auch wieder ein vektor raus.
wenn dir völlig unklar ist, was $V/U$ ist, probiere dir das mal an einem beispiel klar zu machen: $V = [mm] \mathbb{R}^2$ [/mm] und $U$ die ursprungsgerade, die durch $(1, [mm] 1)^t \in \mathbb{R}^2$ [/mm] geht (überlege dir, dass das ein untervektorraum ist). dann ist $V/U$ die menge der geraden, die parallel zu $U$ verlaufen. überlege dir mal, warum das so ist!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 18.11.2007 | | Autor: | mrp |
Danke, das hilft sehr!
Nur nochmal zur Sicherheit, ich habe also eine Grade U, dies ist ein UVR von [mm] V=\IR^{2}, [/mm] wenn ich diese Grade mit einem v [mm] \in [/mm] V addiere, verschiebt sich diese ja um v, da jeder Punkt auf U mit v addiert wird.
Bedeutet V/U ist eine Menge von Repräsentanten (der parallelen Graden), kann man das so sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Nur nochmal zur Sicherheit, ich habe also eine Grade U,
> dies ist ein UVR von [mm]V=\IR^{2},[/mm] wenn ich diese Grade mit
> einem v [mm]\in[/mm] V addiere, verschiebt sich diese ja um v, da
> jeder Punkt auf U mit v addiert wird.
genau.
> Bedeutet V/U ist eine Menge von Repräsentanten (der
> parallelen Graden), kann man das so sagen?
nein. die elemente von $V/U$ sind tatsächlich die geraden, die elemente haben doch die form $v + U$. du kannst dir zwar noch eine repräsentantensystem auszeichnen (etwa die punkte einer nicht zu $U$ parallelen geraden), aber davon ist in dieser aufgabe keine rede (und das brauchst du auch nicht unbedingt).
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Hier geht es ja scheinbar um Affine Unterräum, die wir
> bisher aber nicht besprochen haben in der Vorlesung...
nein. $U$ soll ein ganz gewöhnlicher untervektorraum sein (die menge $v + U$ ist dann zwar ein affiner unterraum, aber das braucht dich bei dieser aufgabe gar nicht zu interessieren).
> 1)was genau soll V/ bedeuten und was soll das gleich
> Zeichen hinter dem Relationszeichen hinter V/ ist das ein
> Fehler vom Assistent oder kennt jemand diese Notation und
> kann mir da weiterhelfen?
bei [mm] $V/\sim$ [/mm] handelt es sich um die faktormenge beziehungsweise einfach die menge der äquivalenzklassen, siehe zum beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier. nun sollst du eben zeigen, dass [mm] $(V/\sim) [/mm] = (V/U)$, wobei der ausdruck auf der rechten seite direkt dahinter definiert wird. das heißt du sollst etwa zeigen, dass $[v] = v + U$ für jedes $v [mm] \in [/mm] V$, wenn $[v] = [mm] \{w \in V : v \sim w \}$ [/mm] die äquivalenzklasse von $v$ bezeichnet.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 18.11.2007 | | Autor: | mrp |
Ganz dumme Frage, v war bei uns bisher immer ein Punkt (also Ortsvektor), du schreibst jetzt v in eckige Klammern als Grade, ist dies so definiert oder bedeuten diese eckigen Klammern einfach "mit den def. Eigenschaften, was auch immer es sein kann", in diesem Fall der Form v+U...?
So nun hab ich anhand einiger Beispiele auch erkannt, dass wenn ich v1-v2 [mm] (\in [/mm] V) rechne, diese Differenz auch dann in U liegt, wenn beide auf der Graden liegen (def. rechte Seite), richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ganz dumme Frage, v war bei uns bisher immer ein Punkt
> (also Ortsvektor), du schreibst jetzt v in eckige Klammern
> als Grade, ist dies so definiert oder bedeuten diese
> eckigen Klammern einfach "mit den def. Eigenschaften, was
> auch immer es sein kann", in diesem Fall der Form v+U...?
$[v]$ soll einfach die äquivalenzklasse von $v$ bezeichnen. das habe ich in meinem letzten post ja erklärt. lies dir den oder den dort verlinkten wikipedia artikel nochmals durch. [mm] $V/\sim$ [/mm] enthält ja als elemente gerade die äquivalenzklassen und da ich nicht weiß, wie ihr äquivalenzklassen bezeichnet, habe ich einfach mal eine recht weit verbreitete bezeichnung verwendet ($v + U$ ist im allgemeinen keine "gerade", das war nur in dem von mir angegeben beispiel der fall um dir das mal zu veranschaulichen).
$[v] = v + U$ steht da, weil das im prinzip das ist, was man zeigen will. es ist doch die aufgabe zu zeigen, dass [mm] $V/\sim [/mm] = V/U$. das heißt jedes element der linken liegt auch in der rechten menge und umgekehrt. die elemente der linken menge sind ja gerade die äquivalenzklassen $[v]$, die elemente der rechten menge gerade die $v + U$.
> So nun hab ich anhand einiger Beispiele auch erkannt, dass
> wenn ich v1-v2 [mm](\in[/mm] V) rechne, diese Differenz auch dann in
> U liegt, wenn beide auf der Graden liegen (def. rechte
> Seite), richtig?
mir ist nicht ganz klar, was du damit sagen willst.
grüße
andreas
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