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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 03.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Seien V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume von V. Seien a,b [mm] \in [/mm] V. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i) a+U=b+U
ii) U=W und b-a [mm] \in [/mm] U |
Hallo,
ich habe mir folgendes überlegt:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a+U=b+W
[mm] \gdw [/mm] {a+U: [mm] u\in [/mm] U}={b+W: [mm] w\in [/mm] U}
[mm] \gdw \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] U a-b=u-v
[mm] \gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] U a-b=x
[mm] \gdw [/mm] a-b [mm] \in [/mm] U
[mm] \gdw [/mm] b-a [mm] \in [/mm] U
stimmt das so und wie zeige ich U=W?
Danke im voraus für jede Hilfe
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 03.12.2010 | | Autor: | statler |
> Seien V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume
> von V. Seien a,b [mm]\in[/mm] V. Zeigen Sie die Äquivalenz der
> folgenden Aussagen:
>
> i) a+U=b+U
> ii) U=W und b-a [mm]\in[/mm] U
Mahlzeit!
> ich habe mir folgendes überlegt:
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] a+U=b+W
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm] $\{$ a+U: u $\in$ U $\}$ [/mm] = [mm] $\{$ b+W: w $\in$ U $\}$
[/mm]
>
> [mm]\gdw \forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] v [mm]\in[/mm] U a-b=u-v
>
> [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] U a-b=x
>
> [mm]\gdw[/mm] a-b [mm]\in[/mm] U
>
> [mm]\gdw[/mm] b-a [mm]\in[/mm] U
>
>
> stimmt das so und wie zeige ich U=W?
Naja, wenn du ein w [mm] \in [/mm] W hast, dann gibt es ein u [mm] \in [/mm] U mit a+u = b+w oder w = a-b+u [mm] \in [/mm] U, also W [mm] \subseteq [/mm] U.
Die Umkehrung gilt, weil a-b nicht nur [mm] \in [/mm] U ist, sondern auch [mm] \in [/mm] W, wie du dir oben noch zusätzlich überlegen müßtest.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 03.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo statler,
danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Ist die Aufgabe dann schon fertig?
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 03.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi,
dein eigentlicher Beweis ist auch noch nicht OK, da sind Schreibfehler, und es ist unklar, was du wo an Voraussetzungen benutzt.
Ich lasse das für den Augenblick mal offen.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 03.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
Also aus a+U = b+W folgt, da 0 [mm] \in [/mm] W, daß a+u = b eine Lösung mit u [mm] \in [/mm] U hat. Aber dann ist u = b-a [mm] \in [/mm] U. Andersherum folgt, daß a-b [mm] \in [/mm] W, wonach aber gar nicht gefragt ist.
Den Anfang von U = W habe ich dir andernorts aufgeschrieben.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:07 Sa 04.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Guten morgen,
tut mir leid das ich jetzt nochmal frage, aber ich habs noch nicht ganz verstanden.
Ist jetzt:
>
> > ich habe mir folgendes überlegt:
> >
> > [mm]"\Rightarrow"[/mm] a+U=b+W
> >
> > [mm]\gdw[/mm] [mm]\{[/mm] a+U: u [mm]\in[/mm] U [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm] b+W: w [mm]\in[/mm] U [mm]\}[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] v [mm]\in[/mm] U a-b=u-v
> >
> > [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] U a-b=x
> >
> > [mm]\gdw[/mm] a-b [mm]\in[/mm] U
> >
> > [mm]\gdw[/mm] b-a [mm]\in[/mm] U
> >
Komplet falsch oder wo liegt mein Fehler? Ich muss doch zeigen, a+U=b+W [mm] \gdw [/mm] b-a [mm] \in [/mm] U und U=W. Ist mit dem was ich gemacht habe nicht gezeigt das a+U=b+W [mm] \gdw [/mm] b-a [mm] \in [/mm] U und jetzt muss ich zeigen, dass U=W ist? Wahrscheinlich hab ich es nicht richtig gezeigt, aber ich versteh noch nicht wo mein Fehler ist.
>
> Naja, wenn du ein w [mm]\in[/mm] W hast, dann gibt es ein u [mm]\in[/mm] U
> mit a+u = b+w oder w = a-b+u [mm]\in[/mm] U, also W [mm]\subseteq[/mm] U.
Zeig ich so das U=W ist?
Tut mir leid, dass ich nochmal nach fragen muss.
Vielen dank im voraus!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Sa 04.12.2010 | | Autor: | alex42 |
Hallo Melisa,
dein Weg ist nicht komplett falsch, ich denke, du hast schon die richtigen Ideen. Nur die Umsetzung ist noch verbesserungswürdig: Du hast ein paar Tippfehler, z.B:
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] a+U=b+W
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]\{[/mm] a+U: u [mm]\in[/mm] U [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm] b+W: w [mm]\in[/mm] U [mm]\}[/mm]
Hier sollte die zweite Zeile wohl eher
[mm] \gdw [/mm] {a+u: u [mm] \in [/mm] U} = {b+w: w [mm] \in [/mm] W }
heißen.
> [mm]\gdw \forall[/mm] u [mm]\in[/mm] U [mm]\exists[/mm] v [mm]\in[/mm] U a-b=u-v
>
> [mm]\gdw \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] U a-b=x
Hier heißt es [mm] $v\in [/mm] $ W, darum brauchst du noch ein Argument für diese Folgerung. Ganz offensichtlich ist das nicht.
> >
> > Naja, wenn du ein w [mm]\in[/mm] W hast, dann gibt es ein u [mm]\in[/mm] U
> > mit a+u = b+w oder w = a-b+u [mm]\in[/mm] U, also W [mm]\subseteq[/mm] U.
>
>
> Zeig ich so das U=W ist?
Ja, das ist eine Möglichkeit.
Gruß,
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 So 05.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Hier heißt es [mm]v\in[/mm] W, darum brauchst du noch ein Argument
> für diese Folgerung. Ganz offensichtlich ist das nicht.
>
Hier verstehe ich nicht, woher wir auf einmal v [mm] \in [/mm] W haben? Und ich verstehe auch nicht, was für ein Argument mir noch fehlt :-S
> > >
> > > Naja, wenn du ein w [mm]\in[/mm] W hast, dann gibt es ein u [mm]\in[/mm] U
> > > mit a+u = b+w oder w = a-b+u [mm]\in[/mm] U, also W [mm]\subseteq[/mm] U.
> >
> >
> > Zeig ich so das U=W ist?
>
> Ja, das ist eine Möglichkeit.
>
Ist das damit auch schon gezeigt? Ich denke, dass is die Behauptung, die ich noch zeigen muss, aber ich weiß nicht wie :S
Lg Melisa
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> > Hier heißt es [mm]v\in[/mm] W, darum brauchst du noch ein Argument
> > für diese Folgerung. Ganz offensichtlich ist das nicht.
> >
>
>
> Hier verstehe ich nicht, woher wir auf einmal v [mm]\in[/mm] W
> haben?
Hallo,
vielleicht solltest Du Dich ein wenig entchaotisieren...
Die von Dir gepostete Aufgabenstellung enthält ja offensichtlich einen Fehler, der möglicherweise Deine Wirrnis klärt:
die erste Aussage heißt richtig [mm] "a+U=b+\red{W}" [/mm]
Damit sollte die Herkunft von [mm] v\in [/mm] W eigentlich klar sein...
> Und ich verstehe auch nicht, was für ein Argument
> mir noch fehlt :-S
Das Argument dafür, daß [mm] b-a\in [/mm] U liegt.
Es fehlt Dir auch nicht wirklich: Dieter hat das doch schon vorgemacht.
Vielleicht schreibst Du Deinen Beweis unter Beachtung dessen, was Dir hier bisher gesagt wurde, nochmal frisch auf.
Oft ist das einfacher, als nicht ganz Richtiges zu korrigieren.
Überlege Dir bei jedem Schritt, warum Du ihn machen darfst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 05.12.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
also von vorne 
Seien V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume
von V. Seien a,b [mm]\in[/mm] V. Zeigen Sie die Äquivalenz der
folgenden Aussagen:
i) a+U=b+W
ii) U=W und b-a [mm] \in [/mm] U
[mm] "\Rightarrow" [/mm] a+U=b+W
[mm] \gdw [/mm] {a+u: [mm] u\in [/mm] U} = { [mm] b+w:w\in [/mm] W }
[mm] \gdw [/mm] a+u=b+w
[mm] \gdw [/mm] w=a-b+u [mm] \in [/mm] U
[mm] \gdw W\subseteq [/mm] U
Da a-b auch [mm] \in [/mm] U gilt auch [mm] U\subseteq [/mm] W und somit gilt die Gleichheit U=W
ich glaube so ist es jetzt richtig oder?
Lg Melisa
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> ich glaube so ist es jetzt richtig oder?
Hallo,
es sind Dinge dabei, die richtig sind,
aber zuviel Ungenaues und zuviel Begründungsloses.
Ich sage ausdrücklich nicht, daß es so ist - aber es wirkt so, als hättest Du wenig Schimmer von dem, was Du tust...
> Seien V ein Vektorraum und U und W zwei Untervektorräume
> von V. Seien a,b [mm]\in[/mm] V. Zeigen Sie die Äquivalenz der
> folgenden Aussagen:
>
> i) a+U=b+W
> ii) U=W und b-a [mm]\in[/mm] U
Voraussetzung:
[mm] >"\Rightarrow"
[/mm]
> a+U=b+W
Zu zeigen: [mm] U\subseteq [/mm] W und [mm] W\subseteq [/mm] U und [mm] b-a\in [/mm] U.
>
> [mm] \gdw \{a+u:u\in U} [/mm] = [mm] \{b+w:w\inW \}
[/mm]
>
> [mm] \gdw [/mm] a+u=b+w
Nein. Das ist unverständlich. Du sagst überhaupt nicht, was Du mit u und w meinst, und selbst, wenn man es ahnt, bleibt es der Fantasie des Lesers überlassen, ob das "für ein" oder "für alle" oder was auch immer gelten soll.
Ausdrücken willst Du hier doch bestimmt, daß jedes Element von [mm] \{a+U: u\in U\} [/mm] auch in [mm] \{ b+w:w\in W \} [/mm] liegt, und umgekehrt, oder?
Also: für alle ... gibt es ein passendes ... mit ...
und für alle ... gibt es ein passendes ... mit ...
>
> [mm]\gdw[/mm] w=a-b+u [mm]\in[/mm] U
Diesem Schluß fehlt jegliche Spur einer Begründung.
Das geht so nicht.
Zeige zuerst, daß [mm] a-b\in [/mm] U,
Dieter hatte es Dir genau vorgemacht, wie die Argumentation hierfür funktioniert:
Wenn ... für alle [mm] w\in [/mm] W gilt, dann gilt das insbesondere auch für w=0.
Also gilt ...
In demselben Stile kannst Du Dir überlegen, daß [mm] a-b\in [/mm] W richtig ist,
und wenn Du das hast, dann bekommst Du leicht, daß für jedes [mm] w\in [/mm] W gilt: [mm] w\in [/mm] U.
So:
sei [mm] w\in [/mm] W.
Weil ... , gibt es ein [mm] U\in [/mm] U mit ...=...
==> w= ... [mm] \in [/mm] U, denn [mm] a-b\in [/mm] U.
[mm] (U\subseteq [/mm] W geht dann völlig analog.)
> [mm]\gdw W\subseteq[/mm] U
>
> Da a-b auch [mm]\in[/mm] U gilt auch [mm]U\subseteq[/mm] W und somit gilt die
> Gleichheit U=W
>
> ich glaube so ist es jetzt richtig oder?
Gewöhne Dir an, jeden Schritt, den Du gehst, zu begründen.
Nur so können Beweise richtig werden.
Abgesehen davon, daß es von Dir erwartet wird, ist es auch eine Hilfe für Dich selbst, denn Du schützt Dich so vor Schlüssen, die keine sind.
Gruß v. Angela
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