Affine Überdeckung von P^n < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aus Hartshorne, Algebraic Geometry, Kapitel 1, Korollar 2.3:
Ist Y eine quasi-projektie Varietät. dann wird Y überdeckt von den offenen Mengen [mm] Y\capU_{i}, [/mm] i=0,...,n, welche homöomorph zu affinen Varietäten sind via der Abbildung [mm] \varphi: U_i\to A^n, [a_0,...,a_n]\mapsto (a_0/a_i,...,a_n/a_i), [/mm] wobei [mm] a_i/a_i [/mm] ausgelassen wird.
Die Mengen [mm] U_i [/mm] sind definiert als [mm] U_i:=\{[a_0,...,a_n]\in P^n~|~a_i\neq 0\}. [/mm] |
Mir ist klar, dass [mm] \varphi [/mm] ein Homöomorphismus ist, und dass die offenen [mm] Y_i [/mm] Y überdecken.
Meine erste Frage ist nun, wie man, z.B. für i=0, den Schnitt [mm] Y\cap U_0 [/mm] überhaupt ausrechnet? Ich stelle mir das erstmal so vor, [mm] Y:=\{[a_0,...,a_n]\} \cap U_0= \{[1,a_1,...,a_n]\in Y\}.
[/mm]
Ist das richtig so, und falls ja: Warum ist diese Menge jetzt wieder affin? [mm] Y_i [/mm] ist ja echt kleiner als [mm] U_i, [/mm] wie kann ich dann die Homöomorphie zu [mm] A^n [/mm] anwenden? Und warum ist [mm] Y\cap\varphi(U_i)= Y\cap A^n [/mm] wieder irreduzibel und wie ist der Schnitt hier definiert? Die Mengen [mm] A^n [/mm] und Y enthalten ja völlig unterschiedliche Elemente.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://math.stackexchange.com/questions/1181061/affine-cover-of-pn aber bekomme keine Antwort.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Di 10.03.2015 | | Autor: | felixf |
Hallo Varietaet!
> Aus Hartshorne, Algebraic Geometry, Kapitel 1, Korollar
> 2.3:
> Ist Y eine quasi-projektie Varietät. dann wird Y
> überdeckt von den offenen Mengen [mm]Y\cap U_{i},[/mm] i=0,...,n,
> welche homöomorph zu affinen Varietäten sind via der
> Abbildung [mm]\varphi: U_i\to A^n, [a_0,...,a_n]\mapsto (a_0/a_i,...,a_n/a_i),[/mm]
> wobei [mm]a_i/a_i[/mm] ausgelassen wird.
Die Aussage hast du falsch zitiert: für quasi-projektive Varietäten steht da, dass der Schnitt quasi-affin ist. Nur für projektive Varietäten ist der Schnitt i.A. affin.
> Die Mengen [mm]U_i[/mm] sind definiert als [mm]U_i:=\{[a_0,...,a_n]\in P^n~|~a_i\neq 0\}.[/mm]
Apropos, anstelle von ~|~ kannst du auch \mid schreiben.
> Mir ist klar, dass [mm]\varphi[/mm] ein Homöomorphismus ist, und
> dass die offenen [mm]Y_i[/mm] Y überdecken.
>
> Meine erste Frage ist nun, wie man, z.B. für i=0, den
> Schnitt [mm]Y\cap U_0[/mm] überhaupt ausrechnet? Ich stelle mir das
> erstmal so vor, [mm]Y:=\{[a_0,...,a_n]\} \cap U_0= \{[1,a_1,...,a_n]\in Y\}.[/mm]
Nenn das lieber [mm] $Y_0$ [/mm] und nicht wieder $Y$.
> Ist das richtig so, und falls ja: Warum ist diese Menge
> jetzt wieder affin? [mm]Y_i[/mm] ist ja echt kleiner als [mm]U_i,[/mm] wie
> kann ich dann die Homöomorphie zu [mm]A^n[/mm] anwenden? Und warum
> ist [mm]Y\cap\varphi(U_i)= Y\cap A^n[/mm] wieder irreduzibel und wie
> ist der Schnitt hier definiert? Die Mengen [mm]A^n[/mm] und Y
> enthalten ja völlig unterschiedliche Elemente.
Also rein Notationstechnisch hast du hier ein ziemliches Chaos. $Y$ lebt im [mm] $\mathbb{P}^n$, [/mm] also macht $Y [mm] \cap \varphi(U_i) [/mm] = Y [mm] \cap A^n$ [/mm] erstmal keinen Sinn. Du meinst wohl eher [mm] $\varphi(Y \cap U_i) \subseteq \mathbb{A}^n$.
[/mm]
Nehmen wir mal an, dass $Y$ projektiv ist. Dann müssen wir zeigen, dass [mm] $Y_i [/mm] := [mm] \varphi(Y \cap U_i) \subseteq \mathbb{A}^n$ [/mm] affin ist. Quasi-projektiv geht so ähnlich, und [mm] $Y_0$ [/mm] muss dann quasi-affin sein.
Homöomorphismen übertragen abgeschlossene auf abgeschlossene und offene auf offene Mengen (es sind ja Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume). Daraus folgt schonmal, dass [mm] $Y_0$ [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] $\mathbb{A}^n$ [/mm] ist.
Sei [mm] $Y_0 [/mm] = [mm] A_1 \cup A_2$ [/mm] mit [mm] $A_1, A_2$ [/mm] zwei abgeschlossenen Teilmengen von [mm] $Y_0$ [/mm] (und somit von [mm] $\mathbb{A}^n$, [/mm] da [mm] $Y_0$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $\mathbb{A}^n$ [/mm] ist). Da [mm] $\varphi_i$ [/mm] eine Bijektion ist, ist somit auch $Y [mm] \cap U_i [/mm] = [mm] \varphi^{-1}(A_1) \cup \varphi^{-1}(A_2)$, [/mm] und beides sind abgeschlossene Mengen in [mm] $\varphi^{-1}(\mathbb{A}^n) [/mm] = [mm] U_i$, [/mm] mit [mm] $U_i \subseteq \mathbb{P}^n$ [/mm] offen. Damit hast du $Y = [mm] (\mathbb{P}^n \setminus U_i) \cup \varphi^{-1}(A_1) \cup \varphi^{-1}(A_2)$ [/mm] als Vereinigung von drei abgeschlossenen Mengen. Da $Y$ irreduzibel ist nach Voraussetzung, muss also eine davon gleich $Y$ sein.
Wenn $Y [mm] \cap U_i [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, ist es klar welche Menge es sein muss. Andernfalls folgt $Y [mm] \subseteq U_i$ [/mm] und $Y = [mm] \varphi^{-1}(A_j)$ [/mm] fuer $j [mm] \in \{ 1, 2 \}$, [/mm] und somit [mm] $A_i [/mm] = [mm] Y_0$. [/mm] Also ist [mm] $Y_0$ [/mm] irreduzibel.
Daraus folgt: [mm] $Y_0$ [/mm] ist affin.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:35 Mi 11.03.2015 | | Autor: | Varietaet |
Sorry, Doppelposting da die Seite nicht richtig geladen hat. Gerne löschen.
|
|
|
| |
|
Moin Felix,
mit deiner Antwort hast du mir sehr weitergeholfen und meinen Kopf geordnet :) Vielen Dank schon einmal! Ein paar Nachfragen:
> Die Aussage hast du falsch zitiert: für quasi-projektive
> Varietäten steht da, dass der Schnitt quasi-affin ist. Nur
> für projektive Varietäten ist der Schnitt i.A. affin.
Ich wollte die Aussage auf den projektiven Fall reduzieren, war dann aber beim Abtippen unaufmerksam ;)
> Apropos, anstelle von ~|~ kannst du auch
> [mm][code]\mid[/code][/mm] schreiben.
Danke für den Tip!
> Also rein Notationstechnisch hast du hier ein ziemliches
> Chaos. [mm]Y[/mm] lebt im [mm]\mathbb{P}^n[/mm], also macht [mm]Y \cap \varphi(U_i) = Y \cap A^n[/mm]
> erstmal keinen Sinn. Du meinst wohl eher [mm]\varphi(Y \cap U_i) \subseteq \mathbb{A}^n[/mm].
Ja, das war natürlich nicht sinnvoll und mein größtes Verständnisproblem. Ich hatte nicht dran gedacht, [mm] \varphi [/mm] auf den Schnitt anzuwenden. Hier nutzen wir [mm] Y\cap U_i \subset U_i, [/mm] womit [mm] Y\cap U_i [/mm] auch im Definitionsbereich von [mm] \varphi [/mm] liegt?
> Nehmen wir mal an, dass [mm]Y[/mm] projektiv ist. Dann müssen wir
> zeigen, dass [mm]Y_i := \varphi(Y \cap U_i) \subseteq \mathbb{A}^n[/mm]
> affin ist. Quasi-projektiv geht so ähnlich, und [mm]Y_0[/mm] muss
> dann quasi-affin sein.
Es ist dann [mm] Y\cap U_i [/mm] abgeschlossen in [mm] U_i, [/mm] richtig?
> Sei [mm]Y_0 = A_1 \cup A_2[/mm] mit [mm]A_1, A_2[/mm] zwei abgeschlossenen
> Teilmengen von [mm]Y_0[/mm] (und somit von [mm]\mathbb{A}^n[/mm], da [mm]Y_0[/mm]
> abgeschlossen in [mm]\mathbb{A}^n[/mm] ist). Da [mm]\varphi_i[/mm] eine
> Bijektion ist, ist somit auch [mm]Y \cap U_i = \varphi^{-1}(A_1) \cup \varphi^{-1}(A_2)[/mm],
> und beides sind abgeschlossene Mengen in
> [mm]\varphi^{-1}(\mathbb{A}^n) = U_i[/mm], mit [mm]U_i \subseteq \mathbb{P}^n[/mm]
> offen.
Bis hierhin habe ich alles verstanden, ganz toll erklärt!
>Damit hast du [mm]Y = (\mathbb{P}^n \setminus U_i) \cup \varphi^{-1}(A_1) \cup \varphi^{-1}(A_2)[/mm]
> als Vereinigung von drei abgeschlossenen Mengen.
Hier geht bereits [mm] Y\subset U_i [/mm] ein, damit in [mm] U_i [/mm] abgeschlossene Mengen auch abgeschlossen in Y sind, oder? Das müsste man dann vorher voraussetzen, aber warum das im Fall [mm] Y\cap U_i\neq\emptyset [/mm] gehen soll, ist mir nicht klar, s.u.
> Wenn [mm]Y \cap U_i = \emptyset[/mm] ist, ist es klar welche Menge
> es sein muss. Andernfalls folgt [mm]Y \subseteq U_i[/mm] und [mm]Y = \varphi^{-1}(A_j)[/mm]
> fuer [mm]j \in \{ 1, 2 \}[/mm], und somit [mm]A_i = Y_0[/mm]. Also ist [mm]Y_0[/mm]
> irreduzibel.
Wie behandelt man den Fall [mm] Y\cap U_0=\emptyset? [/mm] In Hartshorne wird die leere Menge als nicht irreduzibel bezeichnet. Also wäre [mm] Y\cap U_0 [/mm] in diesem Ball weder eine projektive noch (unter [mm] \varphi) [/mm] eine algebraische Varietät...?
Und zur oben angekündigten Frage:
Was ist zum Beispiel, wenn [mm] Y:=\{[0,a_1,...,a_n], [1,a_1,...,a_n]\}? [/mm] Dann müsste [mm] Y\cap U_0=\{[1,a_1,...,a_n]\}, [/mm] aber dann gilt nicht [mm] Y\subset U_0.
[/mm]
> Daraus folgt: [mm]Y_0[/mm] ist affin.
Unter affin verstehst du eine (irreduzible) affine Varietät. Kannst du mir vielleicht nochmal in eigenen Worten erklären, was der Unterschied zwischen einer affinen und algebraischen Varietät ist? Sicherlich ist mein [mm] Y:=\{[0,a_1,...,a_n], [1,a_1,...,a_n]\} [/mm] eine projektive Varietät. Und [mm] Y\cap U_0 [/mm] ja (nach dem Korollar, über das wir hier reden) eine affine Varietät. Ist eine affine Varietät immer auch eine projektive Varietät? Schließlich lebt [mm] Y\cap U_0 [/mm] in [mm] P^n. [/mm] Und falls das gilt, kann man sagen, dass eine projektive Varietät Y' genau dann eine affine Varietät ist, wenn [mm] Y'=Y'\cap U_i [/mm] für ein geeignetes i?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Fr 13.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
