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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Es sei X=[0,1]. Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] die [mm] \sigma [/mm] Algebra, die von allen endlichen Teilmengen von X erzeugt wird. Zeigen Sie: [0,1/2] [mm] \not\in \mathcal{A}.
[/mm]
Hinweise: Zeigen sie, wenn A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] ist, dann ist entweder A oder X [mm] \backslash [/mm] A abzählbar.
Die Aussage: "Ein kompakter Hausdorffraum ohne isolierte Punkte ist überabzählbar." könnte helfen. |
Hi, bei der Aufgabe komm ich gar nicht voran. Der erste Hinweis ist klar, dass es reicht das zu zeigen. Aber was mir der zweite sagen soll, weiß ich überhaupt nicht. Hat da jemand nen Ansatztipp für mich? Kann man irgendwie rauskriegen, wie die erzeugte Algebra aussieht? Oder muss man irgendwelche Bijektionen nach [mm] \IN [/mm] konstruieren oder so?
Wäre super wenn mir da jemand helfen kann.
Viele Grüße, aly
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Huhu,
der Hausdorf-Satz ist.... nunja, nennen wir ihn mal nur "nicht notwendig".
Du kannst doch direkt durch Mengeninklusion zeigen, dass beide Sigma-Algebren gleich sind!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
Danke für die Antwort. Also sei:
N={M [mm] \subset [/mm] X | M endlich}
[mm] \mathcal{A}=\cap [/mm] {B| B ist [mm] \sigma [/mm] Algebra und N [mm] \subset [/mm] B}
[mm] \mathcal{B}=\{U \subset X | U abzählbar oder X\U abzählbar\}
[/mm]
Und ich soll zeigen [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B}?
[/mm]
Also:
Sei A [mm] \in \mathcal{B}. [/mm]
1. Fall A abzählbar, [mm] A=\{a1, a2,...\}. [/mm]
Dann kann man schreiben [mm] A=\cup \{a_i\} [/mm] und das ist eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen. Also A in [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
2. Fall [mm] X\backslash [/mm] A abzählbar.
Dann [mm] X\backslash [/mm] A in [mm] \mathcal{A} [/mm] nach Fall 1. Und somit [mm] X\backslash (X\backslash [/mm] A) =A in [mm] \mathcal{A}.
[/mm]
Wäre das die eine Richtung? Stimmt das vorgehen denn so?
Viele Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Danke für die Antwort. Also sei:
> N={M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X | M endlich}
> [mm]\mathcal{A}=\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{B| B ist [mm]\sigma[/mm] Algebra und N [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> B}
> [mm]\mathcal{B}=\{U \subset X | U abzählbar oder X\subset U abzählbar\}[/mm]
> Und ich soll zeigen [mm]\mathcal{A}=\mathcal{B}?[/mm]
> Also:
> Sei A [mm]\in \mathcal{B}.[/mm]
> 1. Fall A abzählbar, [mm]A=\{a1, a2,...\}.[/mm]
> Dann kann man schreiben [mm]A=\cup \{a_i\}[/mm] und das ist eine
> abzählbare Vereinigung endlicher Mengen. Also A in
> [mm]\mathcal{A}.[/mm]
> 2. Fall [mm]X\backslash[/mm] A abzählbar.
> Dann [mm]X\backslash[/mm] A in [mm]\mathcal{A}[/mm] nach Fall 1. Und somit
> [mm]X\backslash (X\backslash[/mm] A) =A in [mm]\mathcal{A}.[/mm]
>
> Wäre das die eine Richtung? Stimmt das vorgehen denn so?
> Viele Grüße
Genau, du hast nun gezeigt [mm] $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$
[/mm]
Nun noch die Rückrichtung 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
ok, also sei A [mm] \in \mathcal{A}. [/mm]
1. Fall A ist endlich (endliche Vereinigung, Schnitte, Differenzen sind endlich).
Dann ist A abzählbar, also in [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
2. Fall A ist abzählbare Vereinigung endlicher oder abzählbarer Mengen, dann ist A abzählbar. Also A in [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
3. Fall [mm] A=X\backslash [/mm] C, wobei C abzählbar ist. Dann ist [mm] X\backslash (X\backslash [/mm] C)=C ist abzählbar. Also ist A in [mm] \mathcal{B}. [/mm]
Aber das sind doch noch nicht alle Möglichkeiten wie die Elemente aus [mm] \mathxal{A} [/mm] aussehen oder? Zum Beispiel Ai abzählbar und dann die Vereinigung von Ai für i gerade und [mm] X\backslash [/mm] Ai für i ungerade also:
[mm] X\backslash [/mm] A1 [mm] \cup [/mm] A2 [mm] X\backslash [/mm] A3 [mm] \cup [/mm] A4 [mm] \cup [/mm] ...
wie kann ich das denn erklären?
Danke für deine Hilfe.
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Hiho,
> 1. Fall A ist endlich (endliche Vereinigung, Schnitte,
> Differenzen sind endlich).
> Dann ist A abzählbar, also in [mm]\mathcal{B}.[/mm]
der Schluß ist falsch. Das liegt aber an der fehlerhaften Aufgabenstellung.
Diese müsste lauten "höchsten abzählbar".
Denn "endlich" [mm] \not= [/mm] "abzählbar".
> Aber das sind doch noch nicht alle Möglichkeiten wie die
> Elemente aus [mm]\mathxal{A}[/mm] aussehen oder?
Genau, darum funktioniert das auch so nicht 
Aber du kennst doch den Erzeuger von [mm] \mathcal{A}, [/mm] es reicht doch, für diesen zu zeigen, dass die Elemente drinliegen (warum?).
Und das ist trivial
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
Muss ich nicht noch vorher zeigen, dass mein [mm] \mathcal{B} [/mm] auch eine [mm] \sigma [/mm] algebra ist?
Also wenn das Erzeugnis einer algebra schon in der anderen liegt, dann ist sie Teilmenge von der anderen? Das gilt immer? Dann ist es ja klar, weil endliche mengen abzählbar bzw. höchstens abzählbar sind. also liegt das erzeugnis in [mm] \mathcal{B}. [/mm]
Dann wars ja gar nicht so schwer wies aussah. :)
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Huhu,
> Muss ich nicht noch vorher zeigen, dass mein [mm]\mathcal{B}[/mm]
> auch eine [mm]\sigma[/mm] algebra ist?
genau, das müsstest du. Das geht aber fix
> Also wenn das Erzeugnis einer algebra schon in der anderen
> liegt, dann ist sie Teilmenge von der anderen? Das gilt
> immer? Dann ist es ja klar, weil endliche mengen abzählbar
> bzw. höchstens abzählbar sind. also liegt das erzeugnis
> in [mm]\mathcal{B}.[/mm]
nunja, da die von dem Erzeuger erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] die kleinste ist, die das Erzeugendensystem enthält, ist das klar, oder nicht?
> Dann wars ja gar nicht so schwer wies aussah. :)
Genau
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
super, danke.
also so fix geht es bei mir mal wieder nicht.
also leere menge und komplement ist klar. scheitern tuts bei mir mit den endlichen schnitten, vereinigungen und differenzen und den abzählbaren vereinigungen.
Also z.B. seien A und B in [mm] \mathcal{B}. [/mm]
1. Fall A und B abzählbar -> klar
2. Fall [mm] X\backslash [/mm] A und [mm] X\backslash [/mm] B abzählbar -> klar.
3. Fall [mm] X\backslash [/mm] A abzählbar und B anzählbar.
Jetzt z.B. die Differenz:
[mm] A\B [/mm] wie kann ich zeiegn dass das entweder abzählbar ist oder das komplement davon abzählbar ist.
Für die Vereinigung und den Schnitt müsste es doch so gehen oder:
[mm] A\cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] B --> [mm] A\cap [/mm] B abzählbar, also in [mm] \mathcal{B}
[/mm]
[mm] X\backslash (A\cup [/mm] B) abzählbar also [mm] A\cup [/mm] B in [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
und bei den abzählbaren Vereinigungen, wenn die Ai alle abzählbar sind ist es klar, wenn die komplemente alle abzählbar sind auch, aber wie mach ich das bei mischungen?
oder mach ich es wieder zu kompliziert?
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Huhu,
die Einzelfälle lassen wir mal, es reicht die abzählbaren Vereinigungen zu betrachten. Denn endliche Fälle kannst du darauf zurückführen.
> und bei den abzählbaren Vereinigungen, wenn die Ai alle abzählbar sind ist es klar
und ich schreib mal nicht [mm] $X\setminus [/mm] A$ sondern [mm] A^c [/mm] das ist einfacher.
Gut ok, den ersten Fall alle [mm] A_i [/mm] sind abzählbar hast du ja schon.
2. Fall: Es gibt ein [mm] A_i [/mm] NICHT abzählbar.
Betrachte dann [mm] $\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_i\right)^c$, [/mm] einmal De-Morgan anwenden.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 05.01.2011 | | Autor: | aly19 |
okay jetzt ist es klar: sei Ak nciht abzählbar, also [mm] Ak^c [/mm] abzählbar.
[mm] (\cup A_i)^c=\cap Ai^c \subset Ak^c, [/mm] also ist die Menge abzählbar, also in [mm] \mathcal{B} [/mm] und dann ist auch das Komplement drin, also [mm] \cup A_i. [/mm]
Super danke, dann hab ich jetzt wohl alles. :)
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Huhu,
genau so läuft es
MFG,
Gono
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