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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 02.11.2004 | | Autor: | gat20bln |
Hallo liebes "matheraum"-team!,
ich komme dank euer Hilfe erheblich weiter.
Habe sogar geschafft -glaube ich- eine Lösung zu finden.
Könntet ihr das überprüfen?
Also die Aufgabe:
Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und A,B [mm] \subset [/mm] X sowie U,V [mm] \subset [/mm] Y.
Beweisen Sie:
a) f [A [mm] \cap [/mm] B] [mm] \subset [/mm] f [A] [mm] \cap [/mm] f[B]
es gilt: x [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] ( x [mm] \subset [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \subset [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f[A] [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] f[B]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (f [A] [mm] \cap [/mm] f[B] )
[mm] \Rightarrow [/mm] f [A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] ( f [A] [mm] \cap [/mm] f [B] )
und????
Daneben ist meine Frage noch, ob ich bei der nächsten Frage nicht genauso verfahre, kommt mir irgendwie zu einfach vor, oder ist es anders?
b) f (hoch -1) [ U [mm] \cap [/mm] V] = f (hoch -1) [U] [mm] \cap [/mm] f (hoch -1) [V]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Also die Aufgabe:
> Sei f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung und A,B [mm]\subset[/mm] X sowie
> U,V [mm]\subset[/mm] Y.
> Beweisen Sie:
>
> a) f [A [mm]\cap[/mm] B] [mm]\subset[/mm] f [A] [mm]\cap[/mm] f[B]
>
> es gilt: x [mm]\subset[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ( x [mm]\subset[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (x [mm]\subset[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] f[A] [mm]\cap[/mm] x [mm]\in[/mm] f[B]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (f [A] [mm]\cap[/mm] f[B] )
> [mm]\Rightarrow[/mm] f [A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subset[/mm] ( f [A] [mm]\cap[/mm] f [B]
> )
>
Nicht so gut, da zum Beispiel x keine Teilmenge von A geschnitten B ist, sondern lediglich ein Element.
Überlege Dir mal, wann etwas eine TeilMENGE ist, und wann es ein ELEMENT ist. Die Namen sprechen für sich!
Deine Folgerungen sind auch etwas heikel.
Ich mache Dir mal einen Vorschalg:
Also:
A ist teilmenge von X, B ist Teilmenge von X, also auch der Schnitt von A und B.
A geschnitten B ist aber auch Teilmenge von A, sowie
A geschnitten B ist aber auch Teilmenge von B. Klar?(Durschnitte "verkleinern Mengen"!)
Daraus folgt:
f(A geschnitten B) ist Teilmenge von f(A) als auch von f(B).
Also ist f(A geschnitten B) Teilmenge von f(A) geschnitten f(B).
Fertig.
Alles klar?
Sorry, dass ich nicht die Formel-Schreibweise verwendet habe.
Bin ziemlich müde und will schnellst möglich ins Bett  !
> b) f (hoch -1) [ U [mm]\cap[/mm] V] = f (hoch -1) [U] [mm]\cap[/mm] f
> (hoch -1) [V]
>
Wähle hier ein x aus der Menge,die auf der rechten Seite der Gleichung steht.
Dann ist f(x) Element von U und f(x) Element von V.
D.h.: f(x) ist Element aus dem Schnitt von U und V.
Also ist x Element aus f^(-1)(U geschnitten V).
Fertig ist.
Nochmals Sorry für die schlechte Schreibweise!
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