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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:30 Di 16.11.2004 | | Autor: | iver_gal |
Hallo zusammen,
ich habe die folgende Frage:
Bestimme alle Gruppen von Ordnung [mm] p^{2} [/mm] und 12 bis auf Isomorphie.
Man vergesse nicht den Nachweis, dass die gefundenen Gruppen paarweise nichtisomorph sind.
Ich habe keine Satz oder Definition in unseren Skripte gefunden, die ich benutzen kann um diese Aufgabe zu loesen. Ist die etwa mit Anzahl der Normalteiler zu tun?
Kann jemand mir bitte helfen?? Ich weiss nicht, wie ich anfangen soll!
Vielen Dank im Voraus!
MfG
iver_gal
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Hallo du,
Also erstmal kuemmern wir uns um die Gruppen der Ordnung [mm] p^2.
[/mm]
Unterscheide zwei Faelle:
1. G besitzt ein Element der Ordnung [mm] p^2. [/mm] Dann ist G ...... und isomorph zu ......
2. G besitzt kein Element der Ordnung [mm] p^2. [/mm] Dann hat jedes nichtneutrale Element von G die Ordnung ... Ausserdem ist das Zentrum einer p-Gruppe nichttrivial. (Ich hoffe, dass du diesen Satz schon hattest.) Nimm ein Element a ungleich dem neutralen Element aus dem Zentrum. Ausserdem gibt es ein Element b, welches nicht in <a> liegt. Berechne [mm] $aba^{-1}b^{-1}$ [/mm] (verwende die Zentralitaet von a). Also gilt ab = .....
Nun ist aber <a><b> eine Untergruppe von G mit mehr als ... Elementen, also ist G = .....
Daher ist die Abbildung f: G -> Z/pZ x Z/pZ, [mm] $a^i b^j$ [/mm] -> (i mod p,j mod p), ein ...................
Die andere Haelfte ueberlasse ich jemand anderes. *g*
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 16.11.2004 | | Autor: | iver_gal |
Hallo Irrlicht!
Danke fuer deine schnelle Antwort!
In deiner Antwort hast du viele ........ eingesetzt, darf ich fragen, was du damit meinst? Vielleicht bin ich dumm... Aber sollte ich erst die Normalteiler von G bestimmen??
liebe Gruesse,
iver_gal
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Hallo,
Das nennt sich "Lückentext". *g* Ich hoffe, du weisst, was ich damit meine. Ich gebe nie komplette Loesungen. Aber komplette Lösungsskizzen gern.
Über die andere Aufgabe mache ich mir morgen mal Gedanken.
Die Normalteiler von G brauchst du nicht bestimmen. Es ist im 2. Fall nur sehr sehr hilfreich, zu wissen, dass <a> ein Normalteiler ist. Denn damit kann man zeigen, dass in diesem Fall die Gruppe auch abelsch ist.
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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Hallo du,
Also dann auf zu den Gruppen mit 12 Elementen.
Da haetten wir diese drei Gruppen schonmal Z/12Z, Z/4Z x Z/3Z, Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z, Z/2Z x Z/6Z. Dann gibt es noch die [mm] A_4, [/mm] die [mm] D_6...
[/mm]
Hm, das sind jetzt mal alle, die mir spontan einfallen. Da ich aber glaube, mich erinnern zu koennen, dass es bis auf Isomorphie nur 5 Gruppen mit 12 Elementen gibt, ist oben eine doppelt aufgefuehrt.
Ich wuerde an die Sache vielleicht so rangehen:
Die Gruppe hat aufgrund der Sylowsaetze einen Normalteiler (das ist entweder die 2-Sylowuntergruppe [mm] U_2 [/mm] oder die 3-Sylowuntergruppe [mm] U_3 [/mm] oder beide).
Vielleicht kann man jetzt damit was machen... (wenn ich noch mehr herausbekomme, editiere ich das dazu).
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich versuche mich mal ein wenig, schließlich habe ich mich auf Grund der vielen Sylow-Gruppen-Fragen in der letzten Zeit dort ein wenig eingearbeitet.
Wegen $12= [mm] 2^2 \cdot [/mm] 3$ gibt es nur $2$- bzw. $3$-Sylowgruppen, und zwar entweder eine oder drei $2$-Sylowgruppen bzw. entweder eine oder vier $3$-Sylowgruppen.
Sind es vier $3$-Sylowgruppen, dann hat die Gruppe vier zyklische Untergruppen der Ordnung $3$, also schon einmal $9$ Elemente. Dann "bleibt aber nur Platz" für eine $2$-Sylowgruppe (und nicht etwa für drei).
Hat man genau eine $2$- und genau eine $3$-Sylowgruppe, so sind beides Normalteiler und die Gruppe $G$ ist als Produkt der beiden abelschen Sylowgruppen abelsch. Dafür gibt es zwei nicht-isomorphe Möglichkeiten:
[mm] $(\IZ/4\IZ) \times (\IZ/3\IZ)$ [/mm] und [mm] $(\IZ/2\IZ) \times (\IZ/2\IZ) \times (\IZ/3\IZ)$.
[/mm]
So, jetzt zu den nicht-abelschen Gruppen der Ordnung $12$.
Hat man eine $2$-Sylowgruppe und vier $3$-Sylowgruppen, so ist die Gruppe isomorph zur Tetraedergruppe [mm] $A_4$.
[/mm]
Hat man eine $3$-Sylowgruppe und drei $2$-Sylowgruppen, so können die drei Gruppen entweder alle zyklisch sein (welche Gruppe man dann erhält, weiß ich nicht) oder eben nicht (dann erhält man die Diedergruppe [mm] $D_6$).
[/mm]
Mehr Möglichkeiten gibt es nach obiger Vorüberlegung nicht.
Sorry, wenn da Fehler drin sind, aber ich habe hier noch eine Menge zu tun (über 30 offene Fragen... :-( )... Soll auch nur eine Anregung sein... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mi 17.11.2004 | | Autor: | iver_gal |
liebe Irrlicht und stefan!
Vielen Dank fuer die hilfsreichen Hinweisen! Ich arbeite weiter damit. Danke schoen! =)
liebe Gruesse,
iver_gal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 12.03.2005 | | Autor: | mstuder |
Hallo zusammen!
Der vorhergehende Artikel wurde schon vor eingiger Zeit geschrieben. Ich bin auf der Suche nach der Anwenung der Sylowsätze darauf gestossen. Leider stoppt die Erklärung genau dort, wo ich auch immer stecken bleibe.
Wie finde ich heraus dass die eine $ 2 $-Sylowgruppe und die vier $ 3 $-Sylowgruppen isomorph zur Tetraedergruppe $ [mm] A_4 [/mm] $ sind. Ich weiss, dass diese Gruppen insgesamt [mm] (1+3+4\*2) [/mm] 12 Elemente haben. $ [mm] A_n [/mm] $ hat Ordnung [mm] \bruch{n!}{2}. [/mm] Also auch 12 Elemente. Dies ist aber mit Sicherheit nicht der einzige Grund, weshalb die Gruppe isomorph zu $ [mm] A_4 [/mm] $ ist. Oder?
Schliesslich haben die eine $ 3 $-Sylowgruppe und die drei $ 2 $-Sylowgruppen auch insgesamt Ordnung 12 [mm] (1+2+3\*3). [/mm] Und die sind dann isomorph zu $ [mm] D_6 [/mm] $.
Ich wäre froh, könnte mir jemand diese Schritte erklären!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also die Isomorphie zweier Gruppen zeigt man ganz allgemein entweder dadurch, dass die Elemente dieselben Ordnungen haben, also [mm] G_1 [/mm] hat [mm] a_1 [/mm] Elemente der Ordnung [mm] k_1, a_2 [/mm] Elemente der Ordnung [mm] k_2 [/mm] usw und [mm] G_2 [/mm] hat auch [mm] a_1 [/mm] Elemente der Ordnung [mm] k_1 [/mm] usw.
Das ist sozusagen die hinreichende Verschärfung von [mm] |G_1|=|G_2|
[/mm]
Oder man zeigt es indem man "einfach" eine isomorphe Abbildung angibt, die [mm] G_1 [/mm] auf [mm] G_2 [/mm] abbildet.
So wenn du das jetzt auf deine Beispiele anwendest und nicht weiter kommst kannst du ja nochmal fragen
Liebe Grüße
Hexe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Di 15.03.2005 | | Autor: | mstuder |
Hallo Hexe
Herzlichen Dank für den Hinweis. Nun wurde mir so einiges klar. Dieses Forum ist einfach genial!! Vor allem für Personen, welche wie ich Mathe "nur" im Nebenfach studieren und durch zusätzliche Arbeitsbelastung neben dem Studium tagsüber nur wenig Kontakt zu Mitstudierenden pflegen können, hilft es, sich trotzdem stark mit der Materie auseinaderzusetzen und die Lust an Mathe zu bewahren:-D
Lieber Gruss
Tinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Christian |
Hallo Irrlicht.
Eine kleine Anmerkung: MMn: [mm] $\IZ/12\IZ \cong (\IZ/3\IZ)\times(\IZ/4\IZ)$
[/mm]
Gruß,
Christian
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