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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 07.03.2010 | | Autor: | Georg321 |
| Aufgabe | | Ein Hahn kostet 3 Goldstücke, Huhn 2 Goldstücke und 3 Kücken kosten 1 Goldstück. Berechnen Sie alle Möglichen Kaufkombinationen, wenn Gesamtsumme für die Gekauft werden soll 100 Goldstücke betragen soll. Es soll nur mit ganzen Goldstückbeträgen gerechnet werden. |
Hallo, die Aufgabe ist ziemlich einfach, eigentlich...Es ist mir klar, dass es da sehr viele Kombinationen gibt. Aber ich habe keine Ahnung wie man die Aufgabe lösen soll. Ich habe es erst mit einer Matrixgleichung zu lösen versucht, aber da ist nichts Sinnvolles rausgekommen.
Was muss nochmal bei der Matrix rauskommen, damit wir interpretieren können, dass es unendlich viele Lösungen gibt?! Vielleicht habe ich da auch nur nen Denkfehler, jedenfalls ich weiß auch nicht genau was ich will gebt mir bitte ein paar einfache Lösungsansätze. Danke.
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> Ein Hahn kostet 3 Goldstücke, Huhn 2 Goldstücke und 3
> Kücken kosten 1 Goldstück. Berechnen Sie alle Möglichen
> Kaufkombinationen, wenn Gesamtsumme für die Gekauft werden
> soll 100 Goldstücke betragen soll. Es soll nur mit ganzen
> Goldstückbeträgen gerechnet werden.
> Hallo, die Aufgabe ist ziemlich einfach, eigentlich...Es
> ist mir klar, dass es da sehr viele Kombinationen gibt.
> Aber ich habe keine Ahnung wie man die Aufgabe lösen soll.
> Ich habe es erst mit einer Matrixgleichung zu lösen
> versucht, aber da ist nichts Sinnvolles rausgekommen.
> Was muss nochmal bei der Matrix rauskommen, damit wir
> interpretieren können, dass es unendlich viele Lösungen
> gibt?! Vielleicht habe ich da auch nur nen Denkfehler,
> jedenfalls ich weiß auch nicht genau was ich will gebt mir
> bitte ein paar einfache Lösungsansätze. Danke.
Guten Abend Georg,
es geht hier um eine sogenannte "diophantische Gleichung",
also eine Gleichung, bei der man nur an ganzzahligen Lösun-
gen interessiert ist. Bezeichnen wir die Anzahl der zu kaufen-
den Hähne mit x , die Anzahl der Hennen mit y und die Anzahl
der Küken mit 3 z , so muss die Gleichung
$\ [mm] 3\,x+2\,y+z\ [/mm] =\ 100$
erfüllt werden, und zwar mit nichtnegativen ganzzahligen
Werten von x, y und z . Man kann sich auch noch leicht
klar machen, dass es für jede der drei Unbekannten auch
einen Maximalwert gibt, z.B. [mm] x\le33 [/mm] . Anstatt eine große
Theorie aufzufahren, lohnt es sich vielleicht, mittels einer
Tabelle die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln.
Überleg dir vielleicht zuerst einmal die Fälle x=0, x=1, x=2
mit den jeweiligen Unter-Fällen y=0, y=1, ..... [mm] y=y_{max}.
[/mm]
Das zugehörige z ist durch x und y stets eindeutig bestimmt.
Anstatt mit einer solchen Tabelle zu arbeiten, könnte man
natürlich auch ein kleines Computerprogramm aufsetzen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 07.03.2010 | | Autor: | Georg321 |
Ok so gesehen, das jetzt in einer Tabelle aufzuschreiben ist ja eig die einfachste Lösung. Aber geht das nicht auch rechnerisch?! Wenn du die Kücken mit 3 z bezeichnest muss die Gleichung dann nicht so lauten:
3x+2y+3z= 100
Wenn du die 3 Kücken nur als z bezeichnen würdest, dann müsste deine Gleichung gelten:
3x+2y+z=100
Wenn ich mich irre, korrigiert mich bitte.
Übrigens der Punkt ist folgender, ich habe diese Aufgabe irgendwann mal irgendwo im Netz gefunden. Sie war auf einem Arbeitsblatt auf dem man lineare Gleichungen mit 3 unbekannte lösen musste. Alle andere Aufgaben waren auf einen Blick direkt klar zu lösen. Nur eben an dieser habe ich mich praktisch versucht. Deshalb gehe ich davon aus, dass diese Aufgabe eig mit einem linearen Gleichungssystem gelöst werden sollte.
Darum frage ich auch wie es gerade so gehen soll. Danke ochmal.
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> Ok so gesehen, das jetzt in einer Tabelle aufzuschreiben
> ist ja eig die einfachste Lösung. Aber geht das nicht auch
> rechnerisch?! Wenn du die Kücken mit 3 z bezeichnest muss
> die Gleichung dann nicht so lauten:
>
> 3x+2y+3z= 100
>
> Wenn du die 3 Kücken nur als z bezeichnen würdest, dann
> müsste deine Gleichung gelten:
>
> 3x+2y+z=100
>
> Wenn ich mich irre, korrigiert mich bitte.
>
> Übrigens der Punkt ist folgender, ich habe diese Aufgabe
> irgendwann mal irgendwo im Netz gefunden. Sie war auf einem
> Arbeitsblatt auf dem man lineare Gleichungen mit 3
> unbekannte lösen musste. Alle andere Aufgaben waren auf
> einen Blick direkt klar zu lösen. Nur eben an dieser habe
> ich mich praktisch versucht. Deshalb gehe ich davon aus,
> dass diese Aufgabe eig mit einem linearen Gleichungssystem
> gelöst werden sollte.
> Darum frage ich auch wie es gerade so gehen soll. Danke
> ochmal.
Hallo Georg,
richtig wäre 3x + 2y [mm] +\bruch{1}{3}z [/mm] = 100 mit z einer durch 3 teilbaren natürlichen Zahl. Wenn du das mit einem Gleichungssystem lösen möchtest, hast du doch nur eine Gleichung für 3 Unbekannte! Damit ist klar, dass du eine Anzahl in Abhängigkeit der anderen beiden berechnen kannst, die anderen beiden aber sind frei wählbar (natürlich unter den schon genannten Nebenbedingungen...) Wenn alle Möglichkeiten gesucht sind würde ich auch eine Tabelle machen...
Gruss Christian
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> Ok so gesehen, das jetzt in einer Tabelle aufzuschreiben
> ist ja eig die einfachste Lösung. Aber geht das nicht auch
> rechnerisch?! Wenn du die Kücken mit 3 z bezeichnest muss
> die Gleichung dann nicht so lauten:
>
> 3x+2y+3z= 100
Nein, 3 Küken (übrigens ohne "ck") zusammen kosten ja eben
nur ein Goldstück !
Stell dir vor, man bindet halt die Küken je zu dreien zusammen
wie die Silberzwiebeln im Supermarkt ...
> Wenn du die 3 Kücken nur als z bezeichnen würdest,
(ich bezeichne weder ein noch drei Küken als z,
sondern ich habe die Anzahl der zu kaufenden
Küken mit 3 z bezeichnet ...)
> dann müsste deine Gleichung gelten:
>
> 3x+2y+z=100
> Übrigens der Punkt ist folgender, ich habe diese Aufgabe
> irgendwann mal irgendwo im Netz gefunden. Sie war auf einem
> Arbeitsblatt auf dem man lineare Gleichungen mit 3
> unbekannte lösen musste. Alle andere Aufgaben waren auf
> einen Blick direkt klar zu lösen. Nur eben an dieser habe
> ich mich praktisch versucht. Deshalb gehe ich davon aus,
> dass diese Aufgabe eig mit einem linearen Gleichungssystem
> gelöst werden sollte.
> Darum frage ich auch wie es gerade so gehen soll. Danke
> nochmal.
Wie Georg schon gesagt hat, handelt es sich nur um eine
lineare Gleichung.
Nebenbei: die Tabelle muss man übrigens gar nicht voll-
ständig aufschreiben ! Es reicht aus, sich ihren Anfang und
ihren Schluss klar zu machen, um die Anzahl der Lösungen
berechnen(!) zu können.
LG Al-Chw.
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