Algebraische Unabhängigkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 04:47 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Sind [mm] 2^\sqrt{5} [/mm] und [mm] \pi [/mm] algebraisch unabhängig?
Habt ihr irgendwelche Links, auf denen ein paar Beispiele für algebraische Unabhängigkeit stehen? Hab kaum was gefunden, was mehr sagte, als der englische Wikipediaartikel zu "Algebraic independence"...
Ciao!
Harris
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Sei gegrüßt, Harris!
> Sind [mm]2^\sqrt{5}[/mm] und [mm]\pi[/mm] algebraisch unabhängig?
Algebraisch unabhängig über welchem Körper? Das ist sehr entscheidend!
> Habt ihr irgendwelche Links, auf denen ein paar Beispiele für algebraische Unabhängigkeit stehen?
> Hab kaum was gefunden, was mehr sagte, als der englische Wikipediaartikel zu "Algebraic independence"...
Der deutsche Wikipedia-Artikel bietet sogar zwei erhellende Beispiel, mit denen man in Deiner Frage weiterkommt.
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:04 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Harris |
Hallo!
Danke für deine Antwort.
[mm] 2^{\sqrt{5}} [/mm] ist ja nach Gelfond-Schneider transzendent.
Ich suche eigentlich ein Polynom (oder noch besser die Existenz keines Polynoms) p(x,y) mit algebraischen Koeffizienten, für das
[mm] p(2^{\sqrt{5}},\pi)=0 [/mm] gilt.
Die Beispiele auf dem deutschem Wikipedia haben mit nicht weitergebracht.
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Sei gegrüßt, Harris!
> Danke für deine Antwort.
> [mm]2^{\sqrt{5}}[/mm] ist ja nach Gelfond-Schneider transzendent.
Wie man an den Wikipedia-Beispielen sieht, können zwei transzendente Zahlen algebraisch abhängig sein!
> Ich suche eigentlich ein Polynom (oder noch besser die Existenz keines Polynoms) p(x,y) mit algebraischen Koeffizienten, für das [mm]p(2^{\sqrt{5}},\pi)=0[/mm] gilt.
Gib bitte an, aus welchem Grundkörper die Koeffizienten von [mm]p(x,y)[/mm] sein müssen, sonst ist die Aufgabe trivial oder gar nicht lösbar.
Hochachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Danke für deine Antwort.
> > [mm]2^{\sqrt{5}}[/mm] ist ja nach Gelfond-Schneider
> transzendent.
>
> Wie man an den Wikipedia-Beispielen sieht, können zwei
> transzendente Zahlen algebraisch abhängig sein!
etwa [mm] $\pi$ [/mm] und [mm] $\pi [/mm] + 1$ 
> > Ich suche eigentlich ein Polynom (oder noch besser die
> > Existenz keines Polynoms) p(x,y) mit algebraischen
> > Koeffizienten, für das [mm]p(2^{\sqrt{5}},\pi)=0[/mm] gilt.
>
> Gib bitte an, aus welchem Grundkörper die Koeffizienten
> von [mm]p(x,y)[/mm] sein müssen, sonst ist die Aufgabe trivial oder
> gar nicht lösbar.
Ich denke, er meint einfach den Koerper der (ueber [mm] $\IQ$) [/mm] algebraischen Zahlen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sind [mm]2^\sqrt{5}[/mm] und [mm]\pi[/mm] algebraisch unabhängig?
warum sollten sie es sein? Oder eben nicht sein?
Ist das eine Uebungsaufgabe? Wenn ja, in welchem Kontext? Oder wie kommst du auf die Fragestellung?
> Habt ihr irgendwelche Links, auf denen ein paar Beispiele
> für algebraische Unabhängigkeit stehen? Hab kaum was
> gefunden, was mehr sagte, als der englische
> Wikipediaartikel zu "Algebraic independence"...
Im allgemeinen kann man nur sehr wenige konkrete Faelle angeben von algebraisch unabhaengigen Zahlen, sieht man mal von Resultaten wie Gelfond-Schneider oder Vermutungen wie der Schanuel-Vermutung ab.
Damit lassen sich schon viele Beispiele angeben, aber ueber die "meisten" Zahlen erlauben diese auch keine Aussage.
Bei dieser Frage wuerde es sich auch eher anbieten, einen Experten zum Thema zu befragen. Dass sich hier einer herumtreibt ist mir nicht bekannt (was aber nicht heissen muss dass es nicht der Fall ist :) ). Ein anderes Forum, wo du vermutlich Experten finden wirst, ist ![[]](/images/popup.gif) mathoverflow. Da musst du aber schon etwas mehr begruenden, warum das keine Hausaufgabe ist (und falls es eine ist, erst gar nicht fragen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Mo 10.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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