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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 08.08.2008 | | Autor: | seson |
Wenn ich eine bestimmte Anzahl von Ungleichungen habe für zwei bzw. auch drei Variablen, suche ich nach einem Weg, dieses Ungleichungssystem automatisch zu lösen.
Wir sollen einen Lösealgorithmus implementieren, nach Möglichkeit ohne Matlab, sondern komplett selbst schreiben. Dabei wurde uns aber auf den Weg gegeben, uns über bestehende Algorithmen zu informieren und falls diese passen, sie zu nutzen.
Bisher habe ich aber nur ganz wenig Beispiele gefunden, die auch nicht gepasst haben. Meist waren es nur Lösungen für wenige Ungleichungen zum Lösen von einer Variablen.
"Erleichternd" kann ich hinzufügen, dass die Ungleichungen jeweils immer das gleiche Format haben. Allerdings sind sie quadratisch, d.h. [mm] v_1^{2} [/mm] , [mm] v_1*v_2 [/mm] und [mm] v_2^{2} [/mm] kommt darin vor.
Da ich sicherlich nicht der erste bin, der ein Ungleichungssystem automatisiert lösen will, frage ich hier um Hilfe.
Ich habe es bisher in Analogie zum Lösen eines LGS mit einer Matrix versucht, was mich allerdings beim quadratischen Problem nicht weiterbringt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Sebastian
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> Wenn ich eine bestimmte Anzahl von Ungleichungen habe für
> zwei bzw. auch drei Variablen, suche ich nach einem Weg,
> dieses Ungleichungssystem automatisch zu lösen.
> Wir sollen einen Lösealgorithmus implementieren, nach
> Möglichkeit ohne Matlab, sondern komplett selbst schreiben.
> "Erleichternd" kann ich hinzufügen, dass die Ungleichungen
> jeweils immer das gleiche Format haben. Allerdings sind sie
> quadratisch, d.h. [mm]v_1^{2}[/mm] , [mm]v_1*v_2[/mm] und [mm]v_2^{2}[/mm] kommt darin vor.
Hallo Sebastian,
Das "Format" deiner Ungleichungen in zwei Variablen (ich
benütze x und y anstatt [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2) [/mm] wäre also:
A [mm] x^2 [/mm] + B [mm] y^2 [/mm] + C x y + D x + E y + F > 0 (oder [mm] \ge [/mm] 0)
Die entsprechende Gleichung
A [mm] x^2 [/mm] + B [mm] y^2 [/mm] + C x y + D x + E y + F = 0
stellt einen allgemeinen Kegelschnitt in der Ebene dar (Kreis,
Ellipse, Parabel, Hyperbel oder ausgeartete Fälle wie z.B. ein
Geradenpaar).
Die Lösungen einer einzelnen solchen Ungleichung ergeben
in der Ebene dargestellt ein Gebiet wie z.B. das Äussere eines
Kreises, das Gebiet zwischen zwei Hyperbelästen, zwischen
zwei parallelen Geraden etc.
Wenn dann mehrere Ungleichungen simultan gelöst werden
sollen, ist die Lösungsmenge die Schnittmenge derartiger
Gebiete.
Jetzt ist die Frage, auf welche Weise die Lösungsmenge denn
dargestellt werden soll. Mittels rechnerischer Ausdrücke
(wieder Ungleichungen, aber mit vielfältigen Fallunter-
scheidungen) kann das schon bald sehr umständlich werden.
Mir schiene ein grafischer Zugang am sinnvollsten. Eine
etwas "primitive" Methode wäre, ein rechteckiges Gebiet
(das man mit einer Zoom-Funktion anpassen kann) zeilen-
und pixelweise durchzuscannen und für jedes Pixel zu
berechnen, ob es die Ungleichungen erfüllt oder nicht und
es dann je nachdem zu färben.
Die Farbe des Pixels könnte man zusätzlich dazu benützen,
in der Grafik die Lösungsgebiete der einzelnen Ungleichungen
anzudeuten (Rot-Anteil für erste, Grün für zweite, Blau
für dritte Ungleichung !) ...
LG al-Chwarizmi
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Hi Sebastian,
ich habe ein kleines Programm erstellt, welches
die vorher angegebene Idee realisiert.
Als Lösung des Ungleichungssystems
(1) [mm] y>\bruch{x^2}{6}-3
[/mm]
(2) [mm] x^2+y^2<49
[/mm]
(3) [mm] x^2-y^2<3x
[/mm]
liefert es folgende Grafik:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Im weissen Bereich sind alle drei Ungleichungen erfüllt.
Die Randkurven sind eine Parabel, ein Kreis und eine
Hyperbel.
LG al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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