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| Aufgabe | Gegeben sei die quadratische Matrix [mm] (a_{ij})_{ij} [/mm] mit:
[mm] a_{i,i+1}=1 [/mm] und sonst nur nullen.
Bestimme alle invarianten Unterräume. |
Hallo,
wenn ich alle invarianten Unterräume berechnen muss, muss ich doch nichts anderes machen, als die Eigenräume zu bestimmen, oder?
Für einen invarianten Unterraum U gilt ja [mm] f(U)\subseteq [/mm] U. Dann ist doch [mm] f(x)=\lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] U für [mm] x\in [/mm] U und damit müsste das Verfahren richtig sein?
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Wenn ich bei der Matrix mit [mm] a_{i,i+1}=1 [/mm] die Eigenwerte ausrechne, komme ich immer auf [mm] \lambda=0. [/mm] Letztenendes ist dann doch jeder Vektor zu der Matrix ein Eigenvektor (außer der Nullvektor).
Aber was sind dann genau alle invarianten Unterräume des [mm] K^n? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich bei der Matrix mit [mm]a_{i,i+1}=1[/mm] die Eigenwerte
> ausrechne, komme ich immer auf [mm]\lambda=0.[/mm] Letztenendes ist
> dann doch jeder Vektor zu der Matrix ein Eigenvektor (außer
> der Nullvektor).
Nein, es gibt nur einen EV! Die Matrix hat auf der Nebendiagonale nur 1er - es gibt viel mehr ein v mit [m]\{v,A*v,\ldots,A^{n-1}*v\}[/m] ist eine Basis von V! Weiter sind dann aber [m]
SEcki
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> Nein, es gibt nur einen EV! Die Matrix hat auf der
> Nebendiagonale nur 1er - es gibt viel mehr ein v mit
> [m]\{v,A*v,\ldots,A^{n-1}*v\}[/m] ist eine Basis von V! Weiter
> sind dann aber [m]
> invariante Unterräume.
Okay verstanden. Aber wie genau ist diese Notation zu verstehen [m]
> Jetzt musst du zeigen, dass es nur
> diese geben kann. Wenn U also ein bel. invarianter UR ist,
> dann nehme eine Basis von U und stelle sie mit
> Lin.kombinationen der erstgenannten Basis dar
Sei U also bel. invarianter Unterraum von V. Sei [mm] {u_1,...,u_l} [/mm] eine Basis von U.
> - dann gibt
> es in dieser Darstellung sicher ein minales k, so dass
> [m]A^k*v[/m] in irgendeiner Darstellung mit einem Faktor ungleich
> 0 vorkommt.
Den Rest deiner Aussagen kriege ich formal nicht hin.
> Jetzt muss man iterieren und zeigen, dass dann
> [m]
> diesem.
>
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 11.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Okay verstanden. Aber wie genau ist diese Notation zu
> verstehen [m]
> sie?
Ich meinte [m][/m], also den von diesen Vektoren aufgespannten Raum.
> > - dann gibt
> > es in dieser Darstellung sicher ein minales k, so dass
> > [m]A^k*v[/m] in irgendeiner Darstellung mit einem Faktor ungleich
> > 0 vorkommt.
>
> Den Rest deiner Aussagen kriege ich formal nicht hin.
Kriegst du sie auch nicht formal hin? Es geht hier erstmal darum, die Sachen zu verstehen. Für das Formale: Es gilt ja [m]u_j=\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_{j,i} A^i*v[/m].
SEcki
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ging mir vielmehr darum, diesen Teil:
>>dann gibt es in dieser Darstellung sicher ein minales k, so dass $ >>A^k\cdot{}v $ in irgendeiner Darstellung mit einem Faktor ungleich 0 >>vorkommt. Jetzt muss man iterieren und zeigen, dass dann $ >><A^k\cdot{}v,\ldots,A^{n-1}\cdot{}v\} $ in U ist, also U schon gleich >>diesem.
formal zu zeigen. Verstanden habe ich schon, dass U dann auch in dem aufgespannten Raum von <A^k\cdot{}v,\ldots,A^{n-1}\cdot{}v\> drin ist, also kein noch zusätzlicher invarianter Unterraum ist.
Muss ich das denn wirklich noch ausführlich formalisieren, oder reicht es, wenn ich einfach folgere, dass U schon da drin ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 11.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Es ging mir vielmehr darum, diesen Teil:
Bitte zitiere ordentlicher, das ist ja ein Chaos!
> formal zu zeigen. Verstanden habe ich schon, dass U dann
> auch in dem aufgespannten Raum von
> [mm][/mm] drin ist, also kein
> noch zusätzlicher invarianter Unterraum ist.
Ja - und warum? Wenn du es nicht formal zeigst, okay. Aber warum gilt es denn? Da braucht man Argumente!
> Muss ich das denn wirklich noch ausführlich formalisieren,
> oder reicht es, wenn ich einfach folgere, dass U schon da
> drin ist?
Das reicht, aber man muss die Argumente schon hinschreiben.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> wenn ich alle invarianten Unterräume berechnen muss, muss
> ich doch nichts anderes machen, als die Eigenräume zu
> bestimmen, oder?
Du musst viel mehr machen! Eigenräume sind invariant, aber es gibt mehr invariante Unterräume als es ER gibt - zB ist jeder Unterraum eines ER ja wieder ein invarianter UR!
> Für einen invarianten Unterraum U gilt ja [mm]f(U)\subseteq[/mm] U.
Ja.
> Dann ist doch [mm]f(x)=\lambda[/mm] x [mm]\in[/mm] U für [mm]x\in[/mm] U
Nein, auf keine Fall! zB ist der gnaze Raum V ja immer f invariant, für beliebiges f. Aber f ist nicht immer diagonalisierbar.
SEcki
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