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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Fr 01.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
| Aufgabe | a.) Bestimmen Sie ein erzeugendes Element von (Z/25Z)×.
b.) Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente von (Z/25Z)×.
c.) Bestimmen Sie, falls möglich, eine Untergruppe der Ordnung 5 von (Z/25Z)×.
d.) Wieviele Elemente der Ordnung 4 gibt es in (Z/25Z)×? |
Zu a:
vorgehensweise: ich habe a*b = 1 geprüft
Somit habe ich als Einheitsgruppe herausbekommen
1 * 1 mod 25 =1
2 * 13 mod 25 = 1
3 * 17 mod 25 = 1
4 * 19 mod 25 = 1
6 * 21 mod 25 = 1
7 * 18 mod 25 = 1
8 * 22 mod 25 = 1
9 * 14 mod 25 = 1
11 * 18 mod 25 = 1
E = {1,2,3,4,6,7,8,9,11,13,14,17,19,18,21,22}
ist das Korrekt ?
so und jetzt ist meine Frage wie bekomme ich die Erzeugenden Elemente raus? Wie muss ich da Vorgehen? Kann mir das Jemand auf einem einfachen Weg erklären ?
ich habe gelesen, dass man immer schauen muss ob
1 * 1 ..... * 1= 1 ist immer 1
2 * 2 = 4 2*2*2 = 4 *2= 8 usw ich versteh allerdings nicht wann Schluss ist, und wann ich ein erzeugendes Element gefunden habe...
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a.) Bestimmen Sie ein erzeugendes Element von (Z/25Z)×.
> b.) Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente von
> (Z/25Z)×.
> c.) Bestimmen Sie, falls möglich, eine Untergruppe der
> Ordnung 5 von (Z/25Z)×.
> d.) Wieviele Elemente der Ordnung 4 gibt es in (Z/25Z)×?
> Zu a:
> vorgehensweise: ich habe a*b = 1 geprüft
> Somit habe ich als Einheitsgruppe herausbekommen
>
> 1 * 1 mod 25 =1
> 2 * 13 mod 25 = 1
> 3 * 17 mod 25 = 1
> 4 * 19 mod 25 = 1
> 6 * 21 mod 25 = 1
> 7 * 18 mod 25 = 1
> 8 * 22 mod 25 = 1
> 9 * 14 mod 25 = 1
> 11 * 18 mod 25 = 1
>
> E = {1,2,3,4,6,7,8,9,11,13,14,17,19,18,21,22}
>
> ist das Korrekt ?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nicht ganz: Du hast die 12, die 16 und die 23 vergessen.
Die rotmarkierte Zeile stimmt nicht.
>
> so und jetzt ist meine Frage wie bekomme ich die
> Erzeugenden Elemente raus?
Wenn Du wirklich noch nichts weiter gelernt hast, Dir also kein Sätzchen zur Verfügung steht, mußt Du fleißig potenzieren und schauen, ob Du per Potenzieren eines Elementes jedes Element der Einheitengruppe bekommst.
> Wie muss ich da Vorgehen? Kann
> mir das Jemand auf einem einfachen Weg erklären ?
>
> ich habe gelesen, dass man immer schauen muss ob
> 1 * 1 ..... * 1= 1 ist immer 1
> 2 * 2 = 4 2*2*2 = 4 *2= 8 usw ich versteh
> allerdings nicht wann Schluss ist, und wann ich ein
> erzeugendes Element gefunden habe...
Ein erzeugendes Element hast Du, wenn Du festgestellt hast, daß man jedes Element der Einheitengruppe als Potenz dieses Elementes schreiben kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 01.04.2011 | | Autor: | jesi0001 |
Erstmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Also, habe ich das richtig verstanden ? wenn ich jetzt den Aufgabenteil a) lösen möchte, da ist die Frage gestellt nach einem erzeugenden Element von (Z/25Z)×, dann gehe ich folgendermaßen vor:
1*1*.....*1 =1
ich habe jetzt die Zahl 2 geprüft, ob diese ein erzeugendes Element ist.
[mm] 2^{1} [/mm] = 2
[mm] 2^{2} [/mm] = 4
[mm] 2^{3} [/mm] = 8
[mm] 2^{4} [/mm] = 16
[mm] 2^{6} [/mm] = 64 mod 25 = 14
[mm] 2^{7} [/mm] = 128 mod 25 = 3
[mm] 2^{8} [/mm] = 256 mod 25 = 6
[mm] 2^{9} [/mm] = 512 mod 25 = 12
[mm] 2^{11} [/mm] = 2048 mod 25 = 23
[mm] 2^{12} [/mm] = 4096 mod 25 = 21
[mm] 2^{13} [/mm] = 8192 mod 25 = 17
[mm] 2^{14} [/mm] = 16384 mod 25 = 9
[mm] 2^{16} [/mm] = 65536 mod 25 = 11
[mm] 2^{17} [/mm] = 131072 mod 25 = 22
[mm] 2^{19} [/mm] = 524288 mod 25 = 13
[mm] 2^{21} [/mm] = 2097152 mod 25 = 2
[mm] 2^{22} [/mm] = 4194304 mod 25 = 4
[mm] 2^{23} [/mm] = 8388608 mod 25 = 8
so ok jetzt habe ich herausgefunden dass die 2 scheinbar ein erzeugendes Element von (Z/25Z)×, da jeder Wert wenn ich die Potzenz rechne immer wieder ein Wert der Einheitsgruppe ergibt. Ist das Korrekt ?
Also wenn ich das jetzt für alle Zahlen durchführen würde, dann würde ich auch alle erzeugenden Elemente (also Teilaufgabe b) herausbekommen --> richtig ?
ABER: geht das nicht einfacher??? Ich denke mal schon, kannst du mir bitte auf die Sprünge helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Fr 01.04.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Also, habe ich das richtig verstanden ? wenn ich jetzt den
> Aufgabenteil a) lösen möchte, da ist die Frage gestellt
> nach einem erzeugenden Element von (Z/25Z)×, dann gehe ich
> folgendermaßen vor:
>
> 1*1*.....*1 =1
Also ist die 1 offenbar kein erzeugendes Element.
> ich habe jetzt die Zahl 2 geprüft, ob diese ein
> erzeugendes Element ist.
>
> [mm]2^{1}[/mm] = 2
> [mm]2^{2}[/mm] = 4
> [mm]2^{3}[/mm] = 8
> [mm]2^{4}[/mm] = 16
> [mm]2^{6}[/mm] = 64 mod 25 = 14
> [mm]2^{7}[/mm] = 128 mod 25 = 3
> [mm]2^{8}[/mm] = 256 mod 25 = 6
> [mm]2^{9}[/mm] = 512 mod 25 = 12
> [mm]2^{11}[/mm] = 2048 mod 25 = 23
> [mm]2^{12}[/mm] = 4096 mod 25 = 21
> [mm]2^{13}[/mm] = 8192 mod 25 = 17
> [mm]2^{14}[/mm] = 16384 mod 25 = 9
> [mm]2^{16}[/mm] = 65536 mod 25 = 11
> [mm]2^{17}[/mm] = 131072 mod 25 = 22
> [mm]2^{19}[/mm] = 524288 mod 25 = 13
> [mm]2^{21}[/mm] = 2097152 mod 25 = 2
> [mm]2^{22}[/mm] = 4194304 mod 25 = 4
> [mm]2^{23}[/mm] = 8388608 mod 25 = 8
2 Fragen dazu:
Warum hast du [mm] $2^5$, $2^{10}$, $2^{15}$ [/mm] und [mm] $2^{20}$ [/mm] ausgelassen?
Und wozu brauchst du [mm] $2^{21}$, $2^{22}$ [/mm] und [mm] $2^{22}$?
[/mm]
> so ok jetzt habe ich herausgefunden dass die 2 scheinbar
> ein erzeugendes Element von (Z/25Z)×, da jeder Wert wenn
> ich die Potzenz rechne immer wieder ein Wert der
> Einheitsgruppe ergibt. Ist das Korrekt ?
Nicht 'scheinbar', sondern 'anscheinend'. Und die Argumentation läuft andersrum: 2 ist erzeugendes Element, weil alle Elemente der Einheitengruppe als Potenzen auftauchen.
> Also wenn ich das jetzt für alle Zahlen durchführen
> würde, dann würde ich auch alle erzeugenden Elemente
> (also Teilaufgabe b) herausbekommen --> richtig ?
>
> ABER: geht das nicht einfacher??? Ich denke mal schon,
> kannst du mir bitte auf die Sprünge helfen ?
Du hast jetzt experimentell festgestellt, daß [mm] (Z/25)^{x} [/mm] eine zyklische Gruppe der Ordnung n=? ist. Sie ist also isomorph zu (Z/n, +). Vielleicht kannst du einen Isomorphismus konstruieren und die erzeugenden Elemente letzterer Gruppe leichter finden. Deren Urbilder sind dann Erzeuger in der zu untersuchenden Gruppe.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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