Alle totale Ordnungen bei 4 El < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 30.10.2012 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe 1 | | Geben Sie alle totalen Ordnungen ≤ auf M in der Form a ≤ b ≤ c ≤ d (a, b, c, d Element M paarweise verschieden) an. |
| Aufgabe 2 | | Wie viele totale Ordnungen gibt es bei n Elemente. |
Hallo,
Wie in der Aufgaben beschreibung hab ich nur 11 totale Ordnungen gefunden aber der Tutor gab mir als Tipp, dass es 24 totale Ordnungen gibt, darauß folgere ich, dass ich die Aufgabe bzw. die "totale Ordnung" an sich nicht richtig verstanden habe.
Ich hab u.a folgende gefunden:
(1≤2) , (1≤3) , (1≤2≤3≤4) (2≤3≤4) usw. aber eben nur Elf stück.
Ich bräuchte als Tipp, wie ich die 24 totale Ordnungen finde bzw. was ich genau falsch machen, dass ich die 24 nicht finde.
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Hero991 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Wie in der Aufgaben beschreibung hab ich nur 11 totale
> Ordnungen gefunden aber der Tutor gab mir als Tipp, dass es
> 24 totale Ordnungen gibt, darauß folgere ich, dass ich die
> Aufgabe bzw. die "totale Ordnung" an sich nicht richtig
> verstanden habe.
>
> Ich hab u.a folgende gefunden:
> (1≤2) , (1≤3) , (1≤2≤3≤4) (2≤3≤4) usw. aber
> eben nur Elf stück.
Gesucht sind totale Ordnungen auf [mm] $M=\{a,b,c,d\}$. [/mm] Es sollen also nicht die Zahlen 1,2,3,4 geordnet werden, sondern die Buchstaben a,b,c,d.
Es verlangt niemand, dass die totalen Ordnungen irgendeiner "natürlichen" Reihenfolge entsprechen.
Aber es ist verlangt, dass die Ordnungen total sind, dass also alle vier Elemente von M mit allen anderen vergleichbar sind.
Ein Beispiel für eine totale Ordnung auf M kann beschrieben werden durch
[mm] $d\le a\le c\le [/mm] b$.
Hilft das weiter?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 30.10.2012 | | Autor: | Hero991 |
Wäre dann also um es nicht nicht so abstrakt zu machen:
[mm] 4\le1\le2\le3 [/mm] auch eine Relation aber ich sehe da keine totale Ordnung oder eine Relation oder müsste ich hier, es so aufschreiben: [mm] 4\ge1\le2\le3
[/mm]
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Mit den Zahlen kommst du nur durcheinander, weil das < Symbol da eine so feste Bdeutung hat.
Hier sollst du nämlich schauen, auf wie viele Arten du 4 Elemente "sortieren" kannst, für die es keine "natürliche" Reihenfolge gibt.
Eine "Sortierung" wäre mit Zahlen also tatsächlich 4<1<2<3, wobei das < dann natürlich nicht unsere Standard-Relation ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich sehe gerade, dass ich möglicherweise die Aufgabenstellung missverstanden habe. Gilt wirklich [mm] $M=\{a,b,c,d\}$ [/mm] oder wie sieht M aus?
> Wäre dann also um es nicht nicht so abstrakt zu machen:
> [mm]4\le1\le2\le3[/mm] auch eine Relation aber ich sehe da keine
> totale Ordnung oder eine Relation
Da hast du recht. [mm] "$4\le 1\le 2\le3$" [/mm] ist an sich keine Relation. Gemeint ist hier die Relation
[mm] $R=\{(4,4),(4,1),(4,2),(4,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)\}$.
[/mm]
Ausgeschrieben:
[mm] $4\le [/mm] 4$, [mm] $4\le [/mm] 1$, [mm] $4\le [/mm] 2$, [mm] $4\le [/mm] 3$, [mm] $1\le [/mm] 1$, [mm] $1\le [/mm] 2$, [mm] $1\le [/mm] 3$, [mm] $2\le [/mm] 2$, [mm] $2\le [/mm] 3$, [mm] $3\le [/mm] 3$.
Man kann zeigen, dass R die eindeutig bestimmte totale Ordnung auf der Menge [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] ist, bezüglich der [mm] $4\le 1\le 2\le [/mm] 3$ gilt.
Allgemeiner gilt:
Ist [mm] $N=\{n_1,n_2,n_3,n_4\}$ [/mm] eine vierelementige Menge so gibt es genau eine totale Ordnung auf N mit [mm] $n_1\le n_2\le n_3\le n_4$.
[/mm]
Jede totale Ordnung auf N lässt sich auf diese Weise beschreiben.
> oder müsste ich hier, es
> so aufschreiben: [mm]4\ge1\le2\le3[/mm]
Es gibt mehrere totale Ordnungen mit [mm] $4\ge 1\le2\le3$.
[/mm]
Bleibe immer beim Schema [mm] $a\le b\le c\le [/mm] d$. Dann kommt obiger allgemeiner Sachverhalt zum Tragen.
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