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Hallo,
ich soll mit Hilfe der Determinantenfunktion zeigen dass die Menge der invertierbaren Matrizen offen ist.
Die einzige Definition die ich habe ist:
[mm] (X,\mathfrak{X}),(Y,\mathfrak{Y}) [/mm] topologische Räume,
f: X [mm] \to [/mm] Y stetig [mm] \gdw \forall [/mm] V [mm] \in\mathfrak{Y} \Rightarrow f^{-1}(V)\in\mathfrak{X}
[/mm]
Wenn ich das also richtig sehe, muss ich zeigen das [mm] \IR^{nxn} [/mm] ein topologischer Raum ist. Dann zeigen das die Determinantenfunktion stetig ist und dann mit der Definition folgern das [mm] f^{-1}(\IR\setminus{0}) [/mm] offen ist. Soweit richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Do 22.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich soll mit Hilfe der Determinantenfunktion zeigen dass
> die Menge der invertierbaren Matrizen offen ist.
>
> Die einzige Definition die ich habe ist:
> [mm](X,\mathfrak{X}),(Y,\mathfrak{Y})[/mm] topologische Räume,
> f: X [mm]\to[/mm] Y stetig [mm]\gdw \forall[/mm] V [mm]\in\mathfrak{Y} \Rightarrow f^{-1}(V)\in\mathfrak{X}[/mm]
>
> Wenn ich das also richtig sehe, muss ich zeigen das
> [mm]\IR^{nxn}[/mm] ein topologischer Raum ist.
Nein, das mußt Du nicht zeigen. In der Aufgabenstellung ist ja schon von offen die Rede, also habt Ihr schon eine Topologie auf dem Raum der Matrizen. Ich rate mal: diese Topologie ist durch eine Norm gegeben. Stimmts ?
> Dann zeigen das die
> Determinantenfunktion stetig ist und dann mit der
> Definition folgern das [mm]f^{-1}(\IR\setminus{0})[/mm] offen ist.
> Soweit richtig?
Ja
FRED
>
> Gruß
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Ja, der Vektorraum ist mit einer Norm und durch diese induzierten Metrik ausgestattet :
[mm] \parallel(a_{ij})_{i,j}\parallel_{2} [/mm] := [mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}}
[/mm]
Nur mit dem Begriff der topologischen Räume komme ich bisher nicht ganz klar, könnte ich argumentieren dass die Metrik eine Topologie induziert? Denn wir haben auch schon Aufgaben gehabt wo gezeigt wurde das eben nicht jede Metrik auch eine Topologie induziert.
Weiterhin ist mir nicht ganz klar warum die determinantenfunktion stetig sein muss.
Ich habe auch die Suche benutzt und es wird damit argumentiert das diese ein Polynom vom grad [mm] n^2 [/mm] ist und Polynome stetig sind. Das leuchtet mir leider nicht ein denn in einer Matrix kann so ziemlich alles drinstehen, nicht nur Zahlen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Denn wir haben auch schon
> Aufgaben gehabt wo gezeigt wurde das eben nicht jede Metrik
> auch eine Topologie induziert.
das ist Unsinn: Ist $(M,d)$ ein metrischer Raum, d.h. $d: M [mm] \times [/mm] M [mm] \to \IR$
[/mm]
ist eine Metrik auf [mm] $M\,,$ [/mm] so gilt:
Mit
[mm] $$T_d:=\{O \in 2^M:\;\; O \text{ ist }d\text{-offen}\}$$
[/mm]
ist [mm] $(M,T_d)\,$ [/mm] ein topologischer Raum. [mm] $T_d\,$ [/mm] heißt dabei die durch [mm] $d\,$
[/mm]
induzierte Topologie auf [mm] $M\,.$
[/mm]
Weiterhin heißt $O [mm] \in 2^M$ $d\,$-offen [/mm] genau dann, wenn gilt:
Zu jedem $o [mm] \in [/mm] O$ existiert ein [mm] $\epsilon=\epsilon(o) [/mm] > 0$ so, dass
für
[mm] $$U_\epsilon(o):=\{x \in M:\;\;d(x,o) < \epsilon\}$$
[/mm]
dann
[mm] $$U_\epsilon(o) \subseteq [/mm] O$$
erfüllt ist.
Damit gilt: Jede Metrik induizert eine Topologie.
Was ihr vielleicht gezeigt habt: Es gibt Topologien, die eben nicht durch
eine Metrik induziert worden sind.
Gruß,
Marcel
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Ups, ja du hast Recht. Wir haben gezeigt das nicht jede Topologie von einer Metrik induziert wird.
Also brauche ich nicht mehr zu zeigen das es Topologische Räume sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ups, ja du hast Recht. Wir haben gezeigt das nicht jede
> Topologie von einer Metrik induziert wird.
>
> Also brauche ich nicht mehr zu zeigen das es Topologische
> Räume sind?
was sind denn "es"?
Was Fred Dir sagen wollte: Jede Norm induziert eine Metrik. Jede Metrik
induziert eine Topologie. Bzgl. der durch diese Metrik induzierten Topologie
ist die Offenheit zu zeigen. Und genau die Elemente, die in der Topologie
liegen, sind die offenen Mengen in dem topologischen Raum. Das ist alles
rein per Definitionem so! (Wobei man natürlich bei der durch die Norm
induzierten Metrik nachzuweisen hat, dass diese "durch die Norm
induizierte Metrik" den Namen "Metrik" auch zu recht trägt - Analoges gilt
bzgl. "der durch die Metrik induzierte Topologie". Vielleicht verkürzen aber
manche Autoren das auch und reden direkt "von der durch die Norm
induzierte Topologie"...)
Du hast also zu zeigen: Die Menge der invertierbaren Matrizen ist ein
Element der durch - ich nenne das nun einfach kurz so - die obige Norm
induzierten Topologie!
Gruß,
Marcel
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Die Metrikaxiome sollen laut der Aufgabenstellung nicht nachgerechnet werden.
Von den Topologieaxiomen steht jedoch nichts drin. Muss ich also nachrechnen
das die Metrik auch tatsächlich eine Topologie induziert oder genügt es die stetigkeit der Determinante zu zeigen, denn dann wäre das Urbild offen und damit Element der Topologie.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Metrikaxiome sollen laut der Aufgabenstellung nicht
> nachgerechnet werden.
natürlich nicht: Denn wenn man eine Norm vorliegen hat, dann induziert
diese eine Metrik. Das ist ein bekannter Satz, der sicher in der Vorlesung
bewiesen worden ist (der Beweis ist aber so einfach, dass man ihn
jederzeit selbst führen können sollte). Das einzige, was man in der
Aufgabe nachzurechnen hätte, wäre, dass mit
$$ [mm] \parallel(a_{ij})_{i,j}\parallel_{2}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}}$$
[/mm]
eine Norm auf der Menge der - wie es mit dieser Definition eigentlich nur
gemeint sein kann - Menge der quadratischen $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen
gegeben ist. Vermutlich wurde aber selbst das schon getan.
> Von den Topologieaxiomen steht jedoch nichts drin.
Auch der Satz "Jede Metrik induziert eine Topologie, die 'von der Metrik
induzierte Topologie'" ist sicher in der Vorlesung bewiesen worden. (Auch
hier: Der Beweis ist so einfach, dass ...).
Du wendest nun - nachdem Du irgendwoher weißt, dass mit
[mm] $$\parallel(a_{ij})_{i,j}\parallel_{2}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}a_{ij}^{2}}$$
[/mm]
für eine (quadratische $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix [mm] $A=(a_{ij})_{i,j}$) [/mm] eine Norm
auf der Menge der quadratischen Matrizen gegeben ist, diese beiden
Sätze an und weißt dann, bzgl. welcher Topologie Du zu beweisen hast,
dass die Menge der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen in dieser
Topologie liegt.
> Muss
> ich also nachrechnen
> das die Metrik auch tatsächlich eine Topologie induziert
> oder genügt es die stetigkeit der Determinante zu zeigen,
> denn dann wäre das Urbild offen und damit Element der
> Topologie.
Die Frage mit der "stetigen Determinante" hatte Fred doch schon bejaht.
Aber nochmal, nur, damit Dir das ganze mal klar wird:
Sei [mm] $(X,n)\,$ [/mm] ein normierter Raum. Setze
[mm] $$d_n: [/mm] X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$$
[/mm]
fest durch
[mm] $$d_n(x,y):=n(x-y)=\|x-y\|\,,$$
[/mm]
wobei wir [mm] $\|v\|:=n(v)\,$ [/mm] für $v [mm] \in [/mm] X$ schreiben (halt wie üblich).
Dann ist [mm] $(X,d_n)$ [/mm] ein metrischer Raum (d.h. [mm] $d_n:X \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] ist
eine Metrik auf [mm] $X\,.$)
[/mm]
Mit der Norm [mm] $n\,$ [/mm] haben wir nun eine Metrik [mm] $d_n$ [/mm] auf [mm] $X\,$ [/mm] gefunden:
Diese heißt die durch die Norm [mm] $n\,$ [/mm] induzierte Metrik. Und wie man bzgl.
einer Metrik [mm] $d\,$ [/mm] nun die induzierte Topologie [mm] $T_d$ [/mm] bildet, habe ich
schonmal geschrieben. Hier wäre also [mm] $T_{d_n}$ [/mm] die durch die Metrik [mm] $d_n$ [/mm]
induzierte Topologie. Und kurz hatte ich halt gesagt, dass [mm] $T_{d_n}$ [/mm] die
durch die Norm auf [mm] $X\,$ [/mm] induzierte Topologie auf [mm] $X\,$ [/mm] heißen soll.
Und rein gemäß diesen Definitionen ergibt sich nun die folgende Aufgabe,
eine reine Umformulierung der Dir gestellten Aufgabe:
Sei [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] die Menge der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen. Sei
[mm] $\text{O} \in \mathcal{O}\,,$ [/mm] d.h. [mm] $\text{O}$ [/mm] ist eine invertierbare $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix.
Zu zeigen ist dann: Zu diesem [mm] $\text{O} \in \mathcal{O}$ [/mm] gibt es ein [mm] $\epsilon=\epsilon(\text{O}) [/mm] > 0$
so, dass gilt:
Ist [mm] $\text{O}'$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix so, dass
[mm] $$\wurzel{\sum_{i,j=1}^n (\text{o}_{i,j}-\text{o}'_{i,j})^2\;} [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
gilt, so folgt schon, dass [mm] $\text{O}'=(\text{o}'_{ij})_{i,j}$ [/mm] selbst
invertierbar sein muss.
Mach' Dir das klar - das ist die Aufgabe, die zu lösen ist. Dass sich diese
Aufgabe mit "stetiger Determinante" vielleicht schneller lösen läßt, mag
sein. Aber auch dann ist das die Quintessenz der Aufgabe.
P.S. Was ich hier natürlich auch benutzt habe, ist, dass sich die Differenz
$A-B$ zweier (dimensionspassender) Matrizen berechnet durch die
eintragsweisen Differenzenbildung:
Für [mm] $A=(a_{ij})_{i,j}$ [/mm] und [mm] $B=(b_{ij})_{i,j}$ [/mm] gilt also
[mm] $$A-B=((A-B)_{ij})_{i,j}:=(a_{ij}-b_{ij})_{i,j}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Was die Topologie auf dem Raum [mm]X = \mathbb{R}^{n \times n}[/mm] der [mm]n[/mm]-reihigen Matrizen angeht, kannst du [mm]X[/mm] einfach mit [mm]X' = \mathbb{R}^{n^2}[/mm], dem reellen Standardvektorraum der Dimension [mm]n^2[/mm], identifizieren (siehe das Beispiel unten) und von dort die natürliche Topologie übernehmen. Und die Determinante einer Matrix ist dann nichts anderes als ein spezielles Polynom in [mm]n^2[/mm] Variablen, nämlich den Matrixelementen.
Ein Homöomorphismus bei [mm]n=3[/mm] etwa ist durch
[mm]\begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} \end{pmatrix} \mapsto \left( t_{11},t_{12},t_{13},t_{21},t_{22},t_{23},t_{31},t_{32},t_{33} \right)[/mm]
gegeben. Und die in deinem zweiten Beitrag gegebene Norm entspricht ja genau der euklidischen Norm des [mm]\mathbb{R}^{n^2}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Fr 23.11.2012 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
vielen Dank an alle,
ich habe die Aufgabe mit Hilfe der Stetigkeit der Determinantenfunktion gezeigt.
Ob das richtig war sehe ich dann nächste Woche.
Gruß
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