Allg. Lösung konstante Koeffiz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen des DGLSystems
$x' = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }x$ |
Hallo Alle,
irgendwie steh ich grad total aufm Schlauch.
Ich bin so gut wie fertig mit dieser Aufgabe, mir fehlt jetzt nur noch das Fundamentalsystem und die allgemeine Lösung.
Der dreifache Eigenwert ist 1.
Der Lösungsraum ist zweidimensional mit den Vektoren
$\vec{u} = \vektor{1 \\ 0 \\ 1}$ und $\vec{v} = \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$.
Nun bestimme ich einen Hauptvektor
$\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }\vec{w} =\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
Als Ergebnis erhalte ich z.B. $\vec{w}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}$
Jetzt meine Frage, wie lautet das Fundamentalsystem und die allgemeine Lösung?
Ist es
$x(t) = A \vektor{1 \\ 0 \\ 1} e^t + B t\vektor{0 \\ 1 \\ 0}e^t + C \bruch{t^2}{2}}\vektor{0 \\ 1 \\ 1}e^t $
oder
$x(t) = A \vektor{1 \\ 0 \\ 1} e^t + B t\vektor{0 \\ 1 \\ 0}e^t + C \bruch{t^2}{2}}(t \vektor{1 \\ 0 \\ 1} + \vektor{0 \\ 1 \\ 1}) e^t $
Oder sind beide richtig oder doch ganz anders?
Irgendwie scheint mir meine vorhandene Literatur etwas widersprüchlich.
Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Grüße crümel
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> Nun bestimme ich einen Hauptvektor
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 }\vec{w} =\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> Als Ergebnis erhalte ich z.B. [mm]\vec{w}\vektor{0 \\
1 \\
1}[/mm]
Hallo,
[mm] \vec{w}=\vektor{0 \\
1 \\
1} [/mm] ist aber keine Lösung Deiner Gleichung.
Es ist aber [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 }\vec{w} =\vektor{0 \\
1 \\
0}.
[/mm]
>
> Jetzt meine Frage, wie lautet das Fundamentalsystem und die
> allgemeine Lösung?
>
> Ist es
> [mm]x(t) = A \vektor{1 \\
0 \\
1} e^t + B t\vektor{0 \\
1 \\
0}e^t + C \bruch{t^2}{2}}\vektor{0 \\
1 \\
1}e^t [/mm]
>
> oder
> [mm]x(t) = A \vektor{1 \\
0 \\
1} e^t + B t\vektor{0 \\
1 \\
0}e^t + C \bruch{t^2}{2}}(t \vektor{1 \\
0 \\
1} + \vektor{0 \\
1 \\
1}) e^t[/mm]
>
> Oder sind beide richtig oder doch ganz anders?
Ich würd' sagen: anders.
>
> Irgendwie scheint mir meine vorhandene Literatur etwas
> widersprüchlich.
Welche Literatur wollen wir nehmen, um die Sache zu besprechen und die Diskrepanzen zu klären?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Hallo, ich glaub es war im Aulbach wo etwas von polynomen als Vorfaktoren drin stand. Wie geht es nun wirklich??
Grüße
crümel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Achja, das mit dem Hauptvektor war ein Rechenfehler:
[mm] $\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }\vec{w} =\vektor{0 \\ 1 \\0 }$ [/mm]
Richtiges Ergebnis
[mm] $\vec{w}\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]
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> Hallo, ich glaub es war im Aulbach wo etwas von polynomen
> als Vorfaktoren drin stand. Wie geht es nun wirklich??
Hallo,
irgendwie hätte ich gedacht, daß Du jetzt mal hinschreibst, was in Deinem Aulbach oder sonstwo steht und wo die Diskrepanzen sind...
Du hast zur Kenntnis genommen, daß Dein Hauptvektor [mm] \vec{w} [/mm] die Gleichung [mm] A\vec{w}=\vec{u} [/mm] nicht löst?
Er löst aber die Gleichung [mm] A\vec{w}=\vec{v}, [/mm] ist insofern also doch brauchbar.
Du hast jetzt die Basis [mm] (\vec{u}, \underbrace{ \vec{v}=(A-1*E)\vec{w},\vec{w}}_{Hauptvektorkette}).
[/mm]
Du bekommst das Fundamentalsystem [mm] (y_1, y_2, y_3) [/mm] mit
[mm] y_1=e^{1*t}*\vec{u},
[/mm]
[mm] y_2=e^{1*t}*\vec{v}, \qquad y_3=e^{1*t}*(\bruch{t^1}{1!}*\vec{v}+\vec{w})=e^{1*t}*(t*\vec{v}+\vec{w}),
[/mm]
und jede Lösung von x'(t)=Ax(t) ist eine Linearkombination von [mm] (y_1, y_2, y_3).
[/mm]
Rechne nach, daß es stimmt!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Ah danke schon mal, eines ist mir aber noch unklar, ich hätte gedacht, man muss bereits bei gleichen Eigenwerten zu den Eigenvektoren noch das Polynom multiplizieren?
Also
$ [mm] y_1=e^{1\cdot{}t}\cdot{}\vec{u} [/mm] $ und bereits bei
[mm] $y_2=e^{1*t}*\bruch{t^1}{1!}*\vec{v}$ [/mm] schreiben?
Das ist doch immer so bei mehrfachen Eigenwerten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Hm, ich glaub ich hab da was verwechselt. Bei eindimensionalen Problemen (also zB [mm] $y''+a_0 [/mm] y' + [mm] a_1 [/mm] =0$) multipliziert man grundsätzlich bei Eigenwerten mit Vielfachheit größer eins ein Polynom der Form [mm] $1,x,x^2, x^3,...$
[/mm]
Bei Systemen ist ja die lineare Unabhängigkeit schon gegeben aufgrund der linear unabhängigen Vektoren, oder?
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Hallo cruemel,
> Hm, ich glaub ich hab da was verwechselt. Bei
> eindimensionalen Problemen (also zB [mm]y''+a_0 y' + a_1 =0[/mm])
> multipliziert man grundsätzlich bei Eigenwerten mit
> Vielfachheit größer eins ein Polynom der Form [mm]1,x,x^2, x^3,...[/mm]
>
> Bei Systemen ist ja die lineare Unabhängigkeit schon
> gegeben aufgrund der linear unabhängigen Vektoren, oder?
Das ist richtig, sofern es zu einem Eigenwert
mehrere Eigenvektoren gibt.
Gruss
MathePower
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> Ah danke schon mal, eines ist mir aber noch unklar, ich
> hätte gedacht, man muss bereits bei gleichen Eigenwerten
> zu den Eigenvektoren noch das Polynom multiplizieren?
>
> Also
> [mm]y_1=e^{1\cdot{}t}\cdot{}\vec{u}[/mm] und bereits bei
> [mm]y_2=e^{1*t}*\bruch{t^1}{1!}*\vec{v}[/mm] schreiben?
>
> Das ist doch immer so bei mehrfachen Eigenwerten?
Hallo,
nein.
Es wäre ganz gut zu wissen, was genau in den Unterlagen, mit denen Du arbeitest, steht. Dann könnte ich mich mit meinen Ausführungen nämlich exakt darauf beziehen.
Du hast zum dreifachen Eigenwert hier die Eigenvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v}.
[/mm]
Um eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu haben, brauchen wir einen weiteren Vektor [mm] \vec{w}, [/mm] welchen wir so bestimmen, daß [mm] (A-1*E)\vec{w}=\vec{v}.
[/mm]
Dies hast Du getan, die Basis ist komplett.
Sie besteht aus zwei Hauptvektorketten:
1. die sehr kurze Kette [mm] \vec{u}
[/mm]
2. die längere Kette [mm] \vec{v}, \vec{w}
[/mm]
Die erste Kette liefert [mm] y_1(t)=e^{1*t}*\bruch{x^0}{0!}\vec{u}=e^{t}*\vec{u},
[/mm]
von der zweiten Kette bekommen wir
[mm] y_2(t)=e^{1*t}*\bruch{x^0}{0!}\vec{v}=e^{t}\vec{v},
[/mm]
[mm] y_3(t)=e^{1*t}*(\bruch{x^1}{1!}\vec{v}+\bruch{x^0}{0!}\vec{w}).
[/mm]
Anders wäre es, wenn wir einen dreifachen Eigenwert hätten und der Eigenraum die Dimension 1 hätte.
Dann würden wir nur eine Hauptraumkette bauen, welche aus drei Vektoren besteht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Mo 22.08.2011 | | Autor: | cruemel |
Ah ok, mir war nicht klar, dass mit die Hauptvektorketten zu einem Eigenwert getrennt betrachtet.
Das mit der Literatur ist halt schwierig, ich hab hier fünf Bücher aus der Bib rumliegen, und dann nochmal ca 5 Ebooks und diverse Quellen aus dem Internet.... Daher weiß ich auch nicht mehr was ich wo gelesen hab :-D
Vielen Dank auf jedem Fall für die ausführliche Erklärung.
Grüße crümel
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