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| Aufgabe | | Sei [mm] $a\in \mathbb{R}_{\geq 0}$. [/mm] Zeigen Sie, dass ein $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] existiert, sodass [mm] $a^n [/mm] < n!$ für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit $n [mm] \geq [/mm] N$ gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich versuche mich nun schon seit einer Woche an dieser Aufgabe, aber sie will sich einfach nicht lösen lassen..
Was ich bereits versucht habe ist dass ich sie umgeformt habe und dann zeigen wollte dass [mm] $\frac{a^n}{n!} [/mm] < 1$ gilt. Habe gehört dass man sowas super über das Quotientenkriterium machen kann. Damit gehts auch, das problem ist nur dass ich dieses Wissen nicht einfach nutzen darf, da wir noch lange nicht so weit sind. Ne alternative wäre es natürlich, wenn ich alles nötige selbst herleite, aber das kann doch irgendwie auch nicht sein. Der Dozent hat sicher ne ganz simple Lösung im Kopf, auf die ich einfach nicht komme..
Dann habe ich es noch einmal über Induktion versucht, aber das hab ich so halbherzig hingeschrieben, dass ich es nicht wagen würde sowas reinen gewissens als "richtig" zu bezeichnen.
So sah das aus:
IA. Sei $n = 2$, dann gilt [mm] $a^2 [/mm] < 2! = 2 [mm] \Leftrightarrow [/mm] a < [mm] a^2 [/mm] < 2$ . Somit existiert eine Lösung für $a < 2$. (oder $a < n$?)
IV. Es existiert eine Lösung für [mm] $a^n [/mm] < n!$
IS. Es gilt [mm] $a^{n+1} [/mm] = [mm] a\cdot a^n [/mm] < a [mm] \cdot [/mm] n! < [mm] (n+1)\cdot [/mm] n! = (n+1)!$ für $a < (n+1)$.
Damit existiert auch eine Lösung für $n+1$ und somit für alle [mm] $n\in \mathbb{N}$.
[/mm]
Ich bin für jede Hilfe dankbar! :)
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Hallo Kletteraffe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]a\in \mathbb{R}_{\geq 0}[/mm]. Zeigen Sie, dass ein [mm]N \in \mathbb{N}[/mm]
> existiert, sodass [mm]a^n < n![/mm] für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] mit [mm]n \geq N[/mm]
> gilt.
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche mich nun schon seit einer Woche an dieser
> Aufgabe, aber sie will sich einfach nicht lösen lassen..
Kümmere dich einfach nicht darum, was die Aufgabe
will oder nicht will. Zwinge ihr notfalls deinen
eigenen Willen auf ! Allerdings: übertriebene Gewalt
wäre auch bei einem mathematischen Problem wie
diesem nicht so schön ... 
> Was ich bereits versucht habe ist dass ich sie umgeformt
> habe und dann zeigen wollte dass [mm]\frac{a^n}{n!} < 1[/mm] gilt.
> Habe gehört dass man sowas super über das
> Quotientenkriterium machen kann. Damit gehts auch, das
> problem ist nur dass ich dieses Wissen nicht einfach nutzen
> darf, da wir noch lange nicht so weit sind. Ne alternative
> wäre es natürlich, wenn ich alles nötige selbst
> herleite, aber das kann doch irgendwie auch nicht sein. Der
> Dozent hat sicher ne ganz simple Lösung im Kopf, auf die
> ich einfach nicht komme..
> Dann habe ich es noch einmal über Induktion versucht,
> aber das hab ich so halbherzig hingeschrieben, dass ich es
> nicht wagen würde sowas reinen gewissens als "richtig" zu
> bezeichnen.
>
> So sah das aus:
> IA. Sei [mm]n = 2[/mm], dann gilt [mm]a^2 < 2! = 2 \Leftrightarrow a < a^2 < 2[/mm]
> . Somit existiert eine Lösung für [mm]a < 2[/mm]. (oder [mm]a < n[/mm]?)
Das ist natürlich schon nicht gerade zielführend. Der Wert
von a ist ja fest vorgegeben. Und du willst ja nicht auch
noch eine Induktion nach a veranstalten ! Allenfalls ist
es aber nützlich, den Fall [mm] a\le1 [/mm] vorweg durch eine kleine
Überlegung separat zu erledigen.
> IV. Es existiert eine Lösung für [mm]a^n < n![/mm]
>
> IS. Es gilt [mm]a^{n+1} = a\cdot a^n < a \cdot n! < (n+1)\cdot n! = (n+1)![/mm]
> für [mm]a < (n+1)[/mm].
>
> Damit existiert auch eine Lösung für [mm]n+1[/mm] und somit für
> alle [mm]n\in \mathbb{N}[/mm].
Wie der "ultimative" Lösungstipp hier aussieht, weiß ich nicht.
Gut vorstellen kann ich mir aber z.B. eine Lösung mittels
Abschätzung von Integralen.
Nur ein erster Tipp dazu: logarithmiere die Ungleichung,
betrachte also einmal die Ungleichung
$\ [mm] ln(a^n)\ [/mm] <\ ln(n!)$
Weil die ln-Funktion streng monoton steigend ist, ist diese
neue Ungleichung äquivalent zur ursprünglichen.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizm! :)
ich danke dir vielmals für deine Antwort. Dass $a [mm] \geq [/mm] 1$ ist gerade durch $a [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] gegeben. Aber weißt du, ich studiere erst seit etwa 3 Wochen und wir haben noch nicht mal Folgen definiert, somit sind Integrale, die Zahl e, der Logarithmus (selbst zur basis 10) noch unbekannte dinge, die ich zwar nutzen, aber mühselig herleiten und beweisen müsste.
Ich kann mir so schwer vorstellen, dass mein Dozent uns dazu nötigen will das alles selbst herzuleiten, wo doch das "Thema" dieser Übung (soweit ich es überblicken kann) die vollständige Induktion ist...
Mal angenommen ich würde mich auf meine Induktion einlassen.. gäbe es da etwas was ich am lösungsweg grundlegend ändern sollte? Für mich persönlich sieht es einfach nur falsch aus, aber gut ich kenne auch noch keine Existenzbeweise á la "Es existiert ein Heuhaufen in dem eine Nadel liegt, aber ich kann dir leider nicht mal ansatzweise sagen wo.." :D
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> Hallo Al-Chwarizm! :)
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> ich danke dir vielmals für deine Antwort. Dass [mm]a \geq 1[/mm]
> ist gerade durch [mm]a \in \mathbb{N}[/mm] gegeben. Aber weißt du,
> ich studiere erst seit etwa 3 Wochen und wir haben noch
> nicht mal Folgen definiert, somit sind Integrale, die Zahl
> e, der Logarithmus (selbst zur basis 10) noch unbekannte
> dinge, die ich zwar nutzen, aber mühselig herleiten und
> beweisen müsste.
> Ich kann mir so schwer vorstellen, dass mein Dozent uns
> dazu nötigen will das alles selbst herzuleiten, wo doch
> das "Thema" dieser Übung (soweit ich es überblicken kann)
> die vollständige Induktion ist...
>
> Mal angenommen ich würde mich auf meine Induktion
> einlassen.. gäbe es da etwas was ich am lösungsweg
> grundlegend ändern sollte? Für mich persönlich sieht es
> einfach nur falsch aus, aber gut ich kenne auch noch keine
> Existenzbeweise á la "Es existiert ein Heuhaufen in dem
> eine Nadel liegt, aber ich kann dir leider nicht mal
> ansatzweise sagen wo.." :D
> Hallo Al-Chwarizm! :)
>
> ich danke dir vielmals für deine Antwort. Dass [mm]a \geq 1[/mm]
> ist gerade durch [mm]a \in \mathbb{N}[/mm] gegeben. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Moment, da stand doch eigentlich nur $ [mm] a\in \mathbb{R}_{\geq 0} [/mm] $ !
> Aber weißt du,
> ich studiere erst seit etwa 3 Wochen und wir haben noch
> nicht mal Folgen definiert, somit sind Integrale, die Zahl
> e, der Logarithmus (selbst zur basis 10) noch unbekannte
> dinge, die ich zwar nutzen, aber mühselig herleiten und
> beweisen müsste.
Also das übliche Verfahren, dass nämlich gewisse
Uni-Dozenten keinen Pfifferling darauf vertrauen
möchten, dass ihre Studentinnen und Studenten
auch schon eine lange Schulzeit in einem Gymnasium
vor der Uni verbracht und dabei in der Regel doch
einiges gelernt haben, das allenfalls auch an der Uni
noch nützlich sein könnte ...
Eine dazu passende, etwas ketzerische Frage wäre:
Warum schicken wir denn die Jugendlichen, die sich
akademisch bilden möchten, nicht schon gleich mit
15 an die Uni, wo sie dann gleich eine richtig
professionelle "Behandlung" erfahren könnten und
nicht einige weitere Lebensjahre an einem Gym-
nasium verplempern müssten ... ?
> Ich kann mir so schwer vorstellen, dass mein Dozent uns
> dazu nötigen will das alles selbst herzuleiten, wo doch
> das "Thema" dieser Übung (soweit ich es überblicken kann)
> die vollständige Induktion ist...
>
> Mal angenommen ich würde mich auf meine Induktion
> einlassen.. gäbe es da etwas was ich am lösungsweg
> grundlegend ändern sollte? Für mich persönlich sieht es
> einfach nur falsch aus, aber gut ich kenne auch noch keine
> Existenzbeweise á la "Es existiert ein Heuhaufen in dem
> eine Nadel liegt, aber ich kann dir leider nicht mal
> ansatzweise sagen wo.." :D
Naja, wenn man nicht einmal weiß, wo man erst mal
den Heuhaufen suchen soll, ist es wirklich etwas
schlecht bestellt ...
Bei dem Induktionsbeweis ist es im vorliegenden Fall
etwas schwierig, weil wir ja für ein vorgegebenes a
zunächst gar nicht wissen, bei welchem [mm] n_0 [/mm] (bzw. N)
die Induktion beginnen soll. Vielmehr geht es darum,
herauszufinden, einen möglichen Startwert für N (bei
gegebenem a) zu finden. Nachher kann man einen
Induktionsbeweis anschließen, in dem dann gezeigt
wird, dass aus [mm] N!>a^N [/mm] dann auch [mm] n!>a^n [/mm] für alle
[mm] n\in\IN [/mm] mit n>N folgt.
Ich könnte dir noch einen Tipp angeben. Betrachte
mal als Beispiel:
$\ [mm] 8\,!\ [/mm] =\ 1*2*3*4*5*6*7*8\ =\ (1*8)*(2*7)*(3*6)*(4*5)$
Von den 4 Klammerausdrücken der rechten Seite ist
der erste auch der kleinste (dafür kann man einen
kurzen Beweis, ev. mit Induktion, führen). (I)
Weil wir es nur mit positiven Faktoren zu tun haben,
folgt dann im Bsp., dass $\ [mm] 8\,!\ [/mm] >\ [mm] (1*8)^4\ [/mm] =\ [mm] 8^4$
[/mm]
Wenn man dieses Beispiel zu verallgemeinern
versucht, kommt man auf die Vermutung:
$\ [mm] n\,!\ [/mm] >\ [mm] (1*n)^{\frac{n}{2}}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{n}^{\,n}$ [/mm] (II)
Die Idee wäre nun: Wenn a vorgegeben ist, nehmen
wir für N eine Zahl die größer als [mm] a^2 [/mm] ist. Dann gilt
für alle n mit [mm] n\ge{N} [/mm] die Ungleichung [mm] $\sqrt{n}>a$
[/mm]
und dann auch
$\ [mm] n\,!\ [/mm] >\ [mm] \sqrt{n}^{\,n}\ [/mm] >\ [mm] a^{\,n}$
[/mm]
Nun gälte es also, wenn man dieser Idee folgen will,
zunächst einen Beweis für (I) und dann einen
weiteren für die Vermutung (II) aufzustellen.
Wie schon gesagt: ich weiß nicht, ob dies ein ganz
eleganter Weg ist. Doch hier kommt man z.B. ohne
Logarithmen aus.
(Auch dies soll nur eine lockere Anregung zu eigener
Betätigung sein ...)
LG , Al-Chw.
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Betrachte zunächst n [mm] \ge [/mm] 2a. Dann erhältst du für den Quotienten [mm] \bruch{n!}{a^n} [/mm] irgendeinen festen Wert k>0.
Nun erhöhst du n um 1 und betrachtest den Bruch
[mm] \bruch{(n+1)!}{a^{n+1}}=k*\bruch{n+1}{a}>k*\bruch{n}{a} \ge k*\bruch{2a}{a}=k*2. [/mm] Der Wert des Bruches hat sich dadurch verdoppelt.
Erhöhst du nun n wieder um eins, hast du wieder eine Verdoppelung usw..
Das bedeutet, dass sich in jedem Schritt der Wert des Bruches mindestens verdoppelt und dieser damit irgendwann >1 wird, also [mm] n!>a^n.
[/mm]
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> Betrachte zunächst n [mm]\ge[/mm] 2a. Dann erhältst du für den
> Quotienten [mm]\bruch{n!}{a^n}[/mm] irgendeinen festen Wert k>0.
>
> Nun erhöhst du n um 1 und betrachtest den Bruch
>
> [mm]\bruch{(n+1)!}{a^{n+1}}=k*\bruch{n+1}{a}>k*\bruch{n}{a} \ge k*\bruch{2a}{a}=k*2.[/mm]
> Der Wert des Bruches hat sich dadurch verdoppelt.
>
> Erhöhst du nun n wieder um eins, hast du wieder eine
> Verdoppelung usw..
>
> Das bedeutet, dass sich in jedem Schritt der Wert des
> Bruches mindestens verdoppelt und dieser damit irgendwann
> >1 wird, also [mm]n!>a^n.[/mm]
Hallo HJ,
ja, das ist wirklich ein wesentlich einfacherer Weg
als jene Möglichkeiten, die mir eingefallen sind ...
Danke und schönen Abend !
Al
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Hallo Al-Chwarizmi und HJKweseleit,
ich möchte euch beiden vielmals für eure Mühe danken! :)
Wenn ich diese Ideen so sehe.. da wäre ich ja nie drauf gekommen, ich wünschte echt ich hätte früher um euren Rat gebeten :/
Zunächst möchte ich mich für das $a [mm] \in \mathbb{R}{\geq 0}$ [/mm] entschuldigen, es ist natürlich $a [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
Jedenfalls hat mein Dozent nun eine Lösung präsentiert, weil es doch ne Menge leute gab, die Schwierigkeiten hatten.
Depremiert mich zwar ein wenig, aber ich denke es wäre egoistisch, sie nicht mit der Welt zu teilen. (Wer weiß, vllt hat irgendwann mal irgendjemand die selbe Nuss zu knacken.)
Ein wirklich (sehr!) schöner Beweis, wie ich finde.
So sollte es wohl gemacht werden:
Sei $N:= [mm] 2a^2$.
[/mm]
$N! = [mm] (2a^2)! [/mm] = [mm] (a^2)! \cdot (a^2 [/mm] +1) [mm] \cdot [/mm] ... [mm] \cdot (a^2 [/mm] + [mm] a^2)$
[/mm]
$> [mm] (a^2)! \cdot (a^2 \cdot [/mm] ... [mm] \cdot a^2)$ [/mm] (also [mm] $a^2$ [/mm] mal [mm] $a^2 \cdot a^2$)
[/mm]
$> [mm] (a^2)^{a^2} [/mm] = [mm] a^{2a^2} [/mm] = [mm] a^N [/mm] $
Sei $n = N$ für $n [mm] \geq 2a^2$.
[/mm]
$(n+1)! = (n+1)n! > [mm] (n+1)a^n [/mm] > [mm] a\cdot a^n [/mm] = [mm] a^{n+1}$
[/mm]
q.e.d.
Euch allen vielen herzlichen Dank und einen angenehmen Abend :)
Falls ihr mich suchen solltet, ich liege unter meinem Schreibtisch und versuche nicht in Tränen auszubrechen :D
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> Hallo Al-Chwarizmi und HJKweseleit,
>
> ich möchte euch beiden vielmals für eure Mühe danken!
> :)
> Wenn ich diese Ideen so sehe.. da wäre ich ja nie drauf
> gekommen, ich wünschte echt ich hätte früher um euren
> Rat gebeten :/
>
> Zunächst möchte ich mich für das [mm]a \in \mathbb{R}{\geq 0}[/mm]
> entschuldigen, es ist natürlich [mm]a \in \mathbb{N}[/mm].
>
> Jedenfalls hat mein Dozent nun eine Lösung präsentiert,
> weil es doch ne Menge leute gab, die Schwierigkeiten
> hatten.
> Depremiert mich zwar ein wenig, aber ich denke es wäre
> egoistisch, sie nicht mit der Welt zu teilen. (Wer weiß,
> vllt hat irgendwann mal irgendjemand die selbe Nuss zu
> knacken.)
> Ein wirklich (sehr!) schöner Beweis, wie ich finde.
>
> So sollte es wohl gemacht werden:
>
> Sei [mm]N:= 2a^2[/mm].
> [mm]N! = (2a^2)! = (a^2)! \cdot (a^2 +1) \cdot ... \cdot (a^2 + a^2)[/mm]
>
> [mm]> (a^2)! \cdot (a^2 \cdot ... \cdot a^2)[/mm] (also [mm]a^2[/mm] mal [mm]a^2 \cdot a^2[/mm])
>
> [mm]> (a^2)^{a^2} = a^{2a^2} = a^N[/mm]
>
>
> Sei [mm]n = N[/mm] für [mm]n \geq 2a^2[/mm].
> [mm](n+1)! = (n+1)n! > (n+1)a^n > a\cdot a^n = a^{n+1}[/mm]
>
> q.e.d.
>
> Euch allen vielen herzlichen Dank und einen angenehmen
> Abend :)
> Falls ihr mich suchen solltet, ich liege unter meinem
> Schreibtisch und versuche nicht in Tränen auszubrechen :D
Na schön.
Aber der Beweis, den euer Prof da angeboten hat,
ist ja auch bestimmt nicht ganz leicht zu finden.
Er sieht doch so ziemlich präpariert aus, und es
fragt sich wohl sogar, ob er das Werk deines Profs
ist oder ob ihn der halt von irgendwo her hat ...
So besehen, gefällt mir der Beweis von HJKweseleit
eigentlich deutlich besser !
LG , Al-Chw.
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