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Hallo ihr Lieben!
Ich habe morgen meine mündliche Prüfung in Analysis und bereite mich gerade vor. Jetzt hab ich noch ein paar kleine Fragen/Lücken, zu denen ich die Antwort nicht weiß. Es wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet :)
1) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt ja kein eindeutiges XI (keine Ahnung wie man das hier schreibt ;) ).. Es ist nur eindeutig, wenn sich das Krümmungsverhalten der Funktion nicht ändert. Ich bräuchte nun aber noch Beispielfunktionen für die folgenden Fälle:
i) nur 1 XI (ich kann hier ja zB nicht ln nehmen, oder? weil ich bruach ja ein abgeschlossenes Intervall, und der ln ist ja auf ]0,unendlich[ definiert).. Habt ihr eine Idee?
ii) 2 XI (.. hier das gleiche, kann ich [mm] x^3 [/mm] sagen? Eigentlich ja nicht, weil kein abgeschlossenes Definitionintervall, oder?)
2) Eine weitere Frage, auch zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Ich kann zeigen, dass wenn f´(0)>0 ist, dass die Funktion nach dem Mittelwertsatz streng mononton wachsend ist. Nun steht hier in meinem Skript aber noch, dass die Rückrichtung nicht zählt. Kann mir jemand sagen, warum das so ist? :)
3) Integrierbarkeit. Es sind ja viele Funktionen integrierbar (zB stetige Fkt, Treppenfkt,...). Ich bräuchte aber noch ein Beispiel für eine Funktion, die NICHT integrierbar ist. Ich habe hier die Funktion 1 für [mm] x\not=\IQ [/mm] und 0 für [mm] x=\IQ. [/mm] Diese verstehe ich aber nicht so recht, gibt es auch eine in [mm] \IR? [/mm]
4) Außerdem bin ich auf der Suche nach einem Beispiel für eine Funktion, die zwar 1mal, aber nicht 2mal differenzierbar ist. Ich bin auf x|x| gekommen, diese ist ja 1x stetig differenzierbar, aber nicht 2mal. Habt ihr noch eine Idee für eine andere, die sogar nur 1x differenzierbar ist?
Ihr würdet mir unheimlich weiterhelfen :)
Vielen lieben Dank, Alina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr Lieben!
> Ich habe morgen meine mündliche Prüfung in Analysis und
> bereite mich gerade vor. Jetzt hab ich noch ein paar kleine
> Fragen/Lücken, zu denen ich die Antwort nicht weiß. Es
> wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet :)
>
> 1) Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt ja kein
> eindeutiges XI (keine Ahnung wie man das hier schreibt ;)
> ).. Es ist nur eindeutig, wenn sich das Krümmungsverhalten
> der Funktion nicht ändert. Ich bräuchte nun aber noch
> Beispielfunktionen für die folgenden Fälle:
> i) nur 1 XI (ich kann hier ja zB nicht ln nehmen, oder?
> weil ich bruach ja ein abgeschlossenes Intervall, und der
> ln ist ja auf ]0,unendlich[ definiert).. Habt ihr eine
> Idee?
Natürlich kannst Du ln nehmen. Betrachten wir $f(x):= [mm] \ln(x)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [1,2].
nach dem MWS ist [mm] \bruch{f(2)-f(1)}{2-1}=\ln(2)=f'(\xi) [/mm] mit [mm] \xi \in [/mm] (1,2).
Also: [mm] \ln(2)= \bruch{1}{\xi}.
[/mm]
Diese [mm] \xi [/mm] ist eindeutig bestimmt.
> ii) 2 XI (.. hier das gleiche, kann ich [mm]x^3[/mm] sagen?
> Eigentlich ja nicht, weil kein abgeschlossenes
> Definitionintervall, oder?)
Auch hier: mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] funktionoerts. Betrachte f auf [-1,1]. Nach dem MWS ist
[mm] \bruch{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=1=f'(\xi) [/mm] mit [mm] \xi \in [/mm] (-1,1).
Also $1=3* [mm] \xi^2$. [/mm] Es kommen also in Frage: [mm] $\xi=\pm\bruch{1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
>
> 2) Eine weitere Frage, auch zum Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung. Ich kann zeigen, dass wenn f´(0)>0
> ist, dass die Funktion nach dem Mittelwertsatz streng
> mononton wachsend ist.
Das ist Unfug !
Richtig lautet das so: ist I ein Intervall und ist f: I [mm] \to \IR [/mm] auf I differenzierbar und ist f'(x)>0 für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I streng mon. wachsend.
> Nun steht hier in meinem Skript aber
> noch, dass die Rückrichtung nicht zählt. Kann mir jemand
> sagen, warum das so ist? :)
Beispiel: I = [mm] \IR, f(x)=x^3, [/mm] f ist auf I streng monoton wachsend, aber es ist f'(0)=0.
>
> 3) Integrierbarkeit. Es sind ja viele Funktionen
> integrierbar (zB stetige Fkt, Treppenfkt,...). Ich
> bräuchte aber noch ein Beispiel für eine Funktion, die
> NICHT integrierbar ist. Ich habe hier die Funktion 1 für
> [mm]x\not=\IQ[/mm] und 0 für [mm]x=\IQ.[/mm] Diese verstehe ich aber nicht
> so recht, gibt es auch eine in [mm]\IR?[/mm]
Was heißt "in [mm] \IR" [/mm] ?????
Betrachten wir D:[0,1] [mm] \to \IR, [/mm] definiert durch
[mm] D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational}\ , \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational}\ . \end{cases}.
[/mm]
D ist nicht Riemannintegrierbar über [0,1]
>
> 4) Außerdem bin ich auf der Suche nach einem Beispiel für
> eine Funktion, die zwar 1mal, aber nicht 2mal
> differenzierbar ist. Ich bin auf x|x| gekommen, diese ist
> ja 1x stetig differenzierbar, aber nicht 2mal. Habt ihr
> noch eine Idee für eine andere, die sogar nur 1x
> differenzierbar ist?
$f(x)=x*|x|$ leistet doch das Gewünschte !
FRED
>
> Ihr würdet mir unheimlich weiterhelfen :)
> Vielen lieben Dank, Alina
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Also erst einmal vielen vielen vielen Dank für die Antwort, das hilft mir schon mal sehr weiter! :)
Ich hatte wohl irgendwie ein Brett vorm Kopf bei den ersten Fragen.
Nur die Integrierbarkeitsfrage, da ist mir immer noch etwas nicht klar:
> > 3) Integrierbarkeit. Es sind ja viele Funktionen
> > integrierbar (zB stetige Fkt, Treppenfkt,...). Ich
> > bräuchte aber noch ein Beispiel für eine Funktion, die
> > NICHT integrierbar ist. Ich habe hier die Funktion 1 für
> > [mm]x\not=\IQ[/mm] und 0 für [mm]x=\IQ.[/mm] Diese verstehe ich aber nicht
> > so recht, gibt es auch eine in [mm]\IR?[/mm]
>
> Was heißt "in [mm]\IR"[/mm] ?????
>
> Betrachten wir D:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm] definiert durch
>
> [mm]D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational}\ , \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational}\ . \end{cases}.[/mm]
>
> D ist nicht Riemannintegrierbar über [0,1]
Mh da hab ich mich wohl etwas doof ausgedrückt. Mit dem "in [mm]\IR"[/mm] meinte ich, ob es auch eine nicht-integrierbare Funktion gibt mit reellen Zahlen (also statt Q). Weil bei der gegebenen Funktion ist mir irgendwie nicht klar, WARUM sie nicht riemannintegrierbar ist?! :( ok, wenn ichs aufzeichne, hab ich immer mal wieder "Striche der länge 1" nach oben und dann wieder nur 0. Und das Ganze hebt sich dann wahrscheinlich auf, oder?! mhhh.. (sorry, ich weiß irgendwie grad nicht wie ich mich ausdrücken soll)
> > 4) Außerdem bin ich auf der Suche nach einem Beispiel für
> > eine Funktion, die zwar 1mal, aber nicht 2mal
> > differenzierbar ist. Ich bin auf x|x| gekommen, diese ist
> > ja 1x stetig differenzierbar, aber nicht 2mal. Habt ihr
> > noch eine Idee für eine andere, die sogar nur 1x
> > differenzierbar ist?
>
> [mm]f(x)=x*|x|[/mm] leistet doch das Gewünschte !
>
> FRED
japp, tut sie :) Ich hab mir nur gedacht, ob es vielleicht sogar eine geben könnte, die nur "1x diffbar" ist und nicht "1x STETIG diffbar"..
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also erst einmal vielen vielen vielen Dank für die
> Antwort, das hilft mir schon mal sehr weiter! :)
> Ich hatte wohl irgendwie ein Brett vorm Kopf bei den ersten
> Fragen.
> Nur die Integrierbarkeitsfrage, da ist mir immer noch etwas
> nicht klar:
>
> > > 3) Integrierbarkeit. Es sind ja viele Funktionen
> > > integrierbar (zB stetige Fkt, Treppenfkt,...). Ich
> > > bräuchte aber noch ein Beispiel für eine Funktion, die
> > > NICHT integrierbar ist. Ich habe hier die Funktion 1 für
> > > [mm]x\not=\IQ[/mm] und 0 für [mm]x=\IQ.[/mm] Diese verstehe ich aber nicht
> > > so recht, gibt es auch eine in [mm]\IR?[/mm]
> >
> > Was heißt "in [mm]\IR"[/mm] ?????
> >
> > Betrachten wir D:[0,1] [mm]\to \IR,[/mm] definiert durch
> >
> > [mm]D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational}\ , \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational}\ . \end{cases}.[/mm]
>
> >
> > D ist nicht Riemannintegrierbar über [0,1]
>
> Mh da hab ich mich wohl etwas doof ausgedrückt. Mit dem
> "in [mm]\IR"[/mm] meinte ich, ob es auch eine nicht-integrierbare
> Funktion gibt mit reellen Zahlen (also statt Q). Weil bei
> der gegebenen Funktion ist mir irgendwie nicht klar, WARUM
> sie nicht riemannintegrierbar ist?! :
Ist Z eine Zerlegung von [0,1] und bezeichnen wir die zu Z und D geh. Untersumme mit [mm] s_D(z) [/mm] und die zugeh. Obersumme mit [mm] S_D(Z), [/mm] so mach Dir klar, dass
[mm] s_D(Z)=0 [/mm] und [mm] S_D(Z)=1 [/mm] ist.
Ist Dir nun klar, warum D nicht integrierbar ist ?
> ( ok, wenn ichs
> aufzeichne, hab ich immer mal wieder "Striche der länge 1"
> nach oben und dann wieder nur 0. Und das Ganze hebt sich
> dann wahrscheinlich auf, oder?! mhhh.. (sorry, ich weiß
> irgendwie grad nicht wie ich mich ausdrücken soll)
>
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> > > 4) Außerdem bin ich auf der Suche nach einem Beispiel für
> > > eine Funktion, die zwar 1mal, aber nicht 2mal
> > > differenzierbar ist. Ich bin auf x|x| gekommen, diese ist
> > > ja 1x stetig differenzierbar, aber nicht 2mal. Habt ihr
> > > noch eine Idee für eine andere, die sogar nur 1x
> > > differenzierbar ist?
> >
> > [mm]f(x)=x*|x|[/mm] leistet doch das Gewünschte !
> >
> > FRED
>
> japp, tut sie :) Ich hab mir nur gedacht, ob es vielleicht
> sogar eine geben könnte, die nur "1x diffbar" ist und
> nicht "1x STETIG diffbar"..
Dann nehmen wir folgende Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR:
[/mm]
[mm] f(x)=x^{3/2}sin(1/x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,1] und f(0)=0.
Zeige:
f ist auf [0,1] differenzierbar und [mm] |f'(\bruch{1}{n* \pi})| \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
D.h.: f' ist in 0 nicht stetig !
FRED
>
> danke!
>
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