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Ich habe ein paar Fragen zur Analysis I und II. Ich danke schon im Voraus.
1. Frage: Was genau ist der Unterschied zwischen einem Maximum und einem Supremum (bei Mengen)? Mir ist klar, dass das Supremum die kleinste obere Schranke ist und das Maximum der größte Wert. Aber sind dann nicht immer Supremum und Maximum identisch, oder wo ist der Denkfehler? Ich finde es wird aus der Definition nicht so klar.
2. Frage: Sind geschlossene Intervalle immer beschränkt? Gegenbeispiel?
3. Frage: Was kann ich mir unter innere und äussere Punkt vorstellen, graphisch? Äussere Punkte liegen ja nicht ausserhalb der Menge, oder doch? Welche weitere Bedeutung haben sie für mich als Betrachter?
4. Frage: Kann mir jemand ein verständliches Beispiel für eine Teleskopsumme mit Beweis geben? In der Vorlesung hatten wir dass nur ganz kurz, glaube ich zumindest.
5. Frage: Riemannschen Umordnungssatz: Bitte erläutern....vielleicht ein Beispiel?
6. Frage: Wie überprüfe ich ob eine Funktion konvex oder konkav ist. Vielleicht an einem Beispiel? Welches davon ist links gekrümmt und welches rechts gekrümmt?
7. Frage: Was ist die Supremumsnorm, anschaulich?
8. FRage: Ein Beispiel würde ich mir wünschen...
[mm] \paragraph{Satz}
[/mm]
Jede gleichmäßig stetige reelle Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige reelle Funktion ist gleichmäßig stetig.
9. Frage: Satz von der Rolle: Die graphische Bedeutung?
10. Frage: Mittelwertsatz: Gehe ich richtig in der Annahme, dass der Mittelwertsatz die Steigung der Tangenten zwischen zwei Punkten mir angibt?
11. Frage: Heißt (reell-) analytisch nichts weiter als beliebig oft diff'bar oder heißt es noch mehr?
12. Frage: Graphische Bedeutung des Mittelwertsatzes im [mm] $\IR^{m}$?
[/mm]
13. Frage: Graphische Bedeutung der Lebesqueschen und Jordan Nullmengen? Wozu brauche ich diese?
14. Frage: Ist die Richtungsableitung in einem Punkt identisch mit der partiellen Ableitung in einem Punkt?
15. Frage: Kann mir jemand ein Beispiel für eine impliziert definierte Funktion geben, machen, finden. Also wie ich solche Aufgaben an gehe etc.pp.?
Hier könnt ihr euch auch die Fragen mit den zugehörigen Definitionen etc.pp. anschauen ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") FragenkatalogAna1und2
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Das sind ja ganz schön viele Fragen, erinnert mich sehr an den Fragenkatalog zu meinen Vordiplomszeiten! 
Da das aber schon sooooo lange her ist, weiß ich so vieles nicht mehr.
Aber einiges ist noch hängen geblieben.
zu Frage1: Unterschied Maximum und Supremum
Das Maximum muss immer in der Menge drin liegen, das Supremum kann auch 'Grenzwert' sein.
Wenn wir die Folge [mm] $a_n=1-\bruch{1}{n}$ [/mm] haben, n=1,2,..., so sind ja die Folgeglieder 0; 0,5; 0,75; ... und nähern sich der 1, erreichen sie aber nie.
Dann hat diese Folge (meiner Meinung nach) kein Maximum, aber 1 ist das Supremum, da die kleinste obere Schranke. 3 wäre auch eine obere Schranke, aber 1 ist die kleinste.
OK?
zu Frage4: Teleskopsumme
[mm] $\sum_{i=1}^3\limits (a_i-a_{i-1})=(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=-a_0+a_3$, [/mm] alle anderen heben sich auf. Wenn man mehr als 3 macht, kommt immer [mm] $-a_0+a_n$ [/mm] raus.
zu Frage 15: implizit definierte Funktion:
Durch [mm] $e^y+y-2x=0$ [/mm] wird eine Funktion y festgelegt. Diese Gleichung kann man nicht nach y auflösen, daher muss man sie so angeben. y ist y(x).
So, mehr Zeit hab ich nicht, aber gib einfach mal alles bei Google ein, da findet man eigentlich alles.
Hoffe, dir etwas geholfen zu haben. Ich weiß, wie es ist, mit 20 Fragen vor einer Prüfung zu stehen. Leider wusste ich damals nicht, dass es so was Tolles wie dieses Forum hier gibt!
Viel Erfolg bei der Prüfung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Di 11.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jasmin!
Nun, da hast du aber einige Fragen mitgebracht. Ich werde nach bestem Wissen versuchen, einige von ihnen zu beantworten.
> 1. Frage: Was genau ist der Unterschied zwischen einem Maximum und einem Supremum (bei Mengen)? Mir ist klar, dass das Supremum die kleinste obere Schranke ist und das Maximum der größte Wert. Aber sind dann nicht immer Supremum und Maximum identisch, oder wo ist der Denkfehler? Ich finde es wird aus der Definition nicht so klar.
Betrachten wir eine beliebige Menge [mm] $M\subset\IR$. [/mm] Wir sagen, [mm] $m\in [/mm] M$ sei das Maximum von $M$, wenn für alle [mm] $a\in [/mm] M$ stets [mm] $a\leq [/mm] m$ folgt. Analog wird das Minimum definiert. Du siehst: das Maximum muss in der Menge $M$ selbst liegen. Muss es ein solches Maximum geben? Keinesfalls! Betrachten wir eine beliebige Menge, die ihren Rand nicht komplett enthält, also beispielsweise das offene Intervall $]1,2[$. Dieses Intervall kann kein Maximum besitzen. Nehmen wir nämlich an, es sei [mm] $m\in [/mm] ]1,2[$ ein solches Maximum, dann gäbe es ein [mm] $\epsilon\in \IR_+$ [/mm] so, dass auch [mm] $]m-\epsilon,m+\epsilon[\subset [/mm] ]1,2[$ wäre. Dann wäre allerdings [mm] $m+\epsilon$ [/mm] echt größer als $m$, im Widerspruch zur Definition von $m$ als Maximum von $]1,2[$. In diesem Falle besitzt die uns gegebene Menge also kein Maximum (und auch kein Minimum). Das halboffene Intervall $]1,2]$ z.B. besitzt kein Minimum, wohl aber ein Maximum, nämlich 2. Nun zu Supremum und Infimum: wie du richtig sagtest, ist das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge. Bleiben wir bei unserem Beispiel $]1,2[$. Eine, ja gar unendlich viele, obere Schranken, sind natürlich schnell gefunden: 2,3,4,.., alles sind obere Schranken, denn für alle [mm] $x\in [/mm] ]1,2[$ gilt ja $2>x>1$. Die kleinste dieser oberen Schranken ist offenbar (auch dies zeigst du leicht mit Hilfe der Offenheit von $]1,2[$) 2, d.h. 2 ist das Supremum von $]1,2[$. Es erfüllt ebenso die Funktion (wie das Maximum), alle Elemente der Menge nach oben abzuschätzen, doch muss wie gesagt das Supremum nicht in der Menge selbst liegen. Für eine beschränkte Teilmenge [mm] $M\subset \IR$ [/mm] kann man jetzt sogar sagen: ist $M$ abgeschlossen, so stimmen Infimum und Supremum überein! Beweis: sei [mm] $S=\sup [/mm] M$. Nehmen wir an, es gäbe ein [mm] $\epsilon\in\IR$ [/mm] mit [mm] $(S-\epsilon,S+\epsilon)\cap M=\emptyset$. [/mm] Dann wäre auch [mm] $S-\epsilon$ [/mm] obere Schranke von $M$, jedoch kleiner als $S$, was im Widerspruch zur Definition des Supremums steht. Also bestitzt jede [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $S$ mit $M$ einen nicht-leeren Schnitt. Folglich liegt $S$ (nach Definition) auf dem Rand von $M$. Da aber $M$ abgeschlossen ist, ist der Rand von $M$ Teilmenge von $M$ und somit ist [mm] $S\in [/mm] M$, sprich $S$ ist auch Maximum von $M$.
> 2. Frage: Sind geschlossene Intervalle immer beschränkt? Gegenbeispiel?
Was meinst du mit geschlossenem Intervall? Meinst du "abgeschlossene" Intervalle? Wenn ja, dann nein ;) Z.B. ist nämlich das Intervall [mm] $]-\infty,a]$ [/mm] für alle [mm] $a\in \IR$ [/mm] abgeschlossen und unbeschränkt. Meinst du mit geschlossen, dass es die Form $]a,b[, ]a,b],[a,b[$ oder $[a,b]$ hat? Wenn du dies meinst, dann sehr wohl, denn schließlich gilt für alle $x$ aus diesen Mengen stets [mm] $a\leq x\leq [/mm] b$.
> 3. Frage: Was kann ich mir unter innere und äussere Punkt vorstellen, graphisch? Äussere Punkte liegen ja nicht ausserhalb der Menge, oder doch? Welche weitere Bedeutung haben sie für mich als Betrachter?
Sei [mm] $M\subset \IR$ [/mm] eine Menge. Wir sagen, [mm] $a\in \IR$ [/mm] sei ein äußerer Punkt von $M$, wenn es eine [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ gibt, die wieder komplett in [mm] $\IR\setminus [/mm] M$ liegt. Das sind genau die jenigen Punkte aus [mm] $\IR\setminus\overline{M}$, [/mm] wobei [mm] $\overline{M}$ [/mm] der Abschluss von $M$ ist. Beispiel: betrachten wir das halboffene Intervall $[1,2[$: $2$ ist kein äußerer Punkt, da jede [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] einen nichtleeren Schnitt mit $[1,2[$ hat, demnach nicht vollständig in [mm] $\IR\setminus [/mm] [1,2[$ liegen kann. Hingegen sind alle [mm] $\IR\ni [/mm] x>2$ äußerer Punkte, denn für sie finde ich stets ein [mm] $\epsilon\in \IR_+$ [/mm] (z.B. [mm] $\epsilon=x-2>0$), [/mm] für das [mm] $(x-\epsilon,x+\epsilon)\subset\IR\setminus [/mm] [1,2[$ ist. Jeder äußere Punkt einer Menge $M$, das sei explizit gesagt, muss außerhalb dieser Menge liegen, denn jede [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] dieses Punktes enthält ihn schließlich auch selbst, kann daher nicht vollständig im Komplement von $M$ liegen. Eine weitere Charakteriseierung ist die folgende: Die äußeren Punkte von $M$ sind genau diejenigen Punkte, die nicht in $M$ und auch nicht auf dem Rand von $M$ liegen. Das sollte klar sein: in $M$ können sie wie gesagt nicht liegen. Auf dem Rand können sie auch nicht liegen, denn per Definition hat jede Umgebung eines Randpunktes von $M$ nichtleeren Schnitt mit $M$ und dem Komplement von $M$. Liegt ein Punkt hingegegen nicht in $M$ und nicht auf dessen Rand, dann gibt es eine Umgebung, für die einer der beiden Schnitte die leere Menge ist. Da kommt nur der Schnitt mit $M$ selbst in Frage, sodass also der betroffene Punkt tatsächlich Randpunkt von $M$ ist. Ein innerer Punkt einer Menge $M$ ist ein Punkt, für den es eine Umgebung gibt, die wieder komplett in $M$ liegt. Beispiel: $[1,2[$. Es ist $1$ kein innerer Punkt von $[1,2[$, denn jede Umgebung lässt mit [mm] $\IR\setminus [/mm] [1,2[$ nichtleeren Schnitt. Hingegen ist jeder Punkt [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit $2>x>1$ innerer Punkt, denn wir finden stets ein [mm] $\epsilon\in \IR_+$ [/mm] so, dass [mm] $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ [/mm] wieder in $[1,2[$ liegt. Kurz und bündig: Die Menge der inneren Punkte einer Menge $M$ ist genau [mm] $M\setminus\partial [/mm] M$, wobei [mm] $\partial [/mm] M$ der Rand von $M$ ist.
> 4. Frage: Kann mir jemand ein verständliches Beispiel für eine Teleskopsumme mit Beweis geben? In der Vorlesung hatten wir dass nur ganz kurz, glaube ich zumindest.
Eine Teleskopsumme ist eine Summe, in der sich die Summanden größtenteils gegenseitig aufheben. Beispielsweise ist $1+2-2+3-3+4-4+5=1+5$ eine Teleskopsumme. Klar: wenn ich sie ausschreibe, fällt es auf, jedoch ist es meist nicht ganz einfach, in der Summenschreibweise zu erkennen, dass sich die Summanden aufheben. Lass mich dir ein Beispiel geben: es gilt den Reihenwert von [mm] $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4i^2-1}$ [/mm] zu bestimmen. Bekanntlich ist dies genau der Grenzwert der Folge der Partialsummen [mm] $s_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{4i^2-1}$. [/mm] Schauen wir uns diese Summe doch mal genauer an. Es ist (nach der dritten binomischen Formel) [mm] $4i^2-1=(2i-1)(2i+1)$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{(2i+1)(2i-1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1}\right)$. [/mm] Damit erhalten wir [mm] $s_n=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2i-1} - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}\right)$. [/mm] So, was sehen wir? Durch die erste Summe werden die ungeraden Zahlen 1,3,5,...,2n-1 addiert, durch die zweite die ungeraden Zahlen 3,5,7,...,2n+1 subtrahiert. Die Summanden 3,5,7,...,2n-1 werden also alle einmal addiert und einmal subtrahiert, sodass letztenendes nur noch [mm] $s_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$ [/mm] übrig bleibt. Nun ist klar, dass [mm] $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{4i^2-1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} s_n [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
> 5. Frage: Riemannschen Umordnungssatz: Bitte erläutern....vielleicht ein Beispiel?
Hm, hierzu kann ich dir nicht viel sagen. Der Riemannsche Umordnungssatz besagt genau, dass es für eine bedingt konvergente Reihe für jede reelle Zahl eine Umordnung der Reihe gibt, sodass diese Umordnung gegen die gewählte Zahl konvergiert. Dies steht im Gegensatz zu den unbedingt konvergenten Reihen. Du erinnerst dich? Eine konvergente Reihe [mm] $\sum a_i$ [/mm] heißt absolut konvergent, wenn auch [mm] $\sum \vert a_i\vert$ [/mm] konvergiert, nicht absolut konvergent ist eine Reihe, wenn [mm] $\sum \vert a_i\vert$ [/mm] divergiert. Beispielsweise ist [mm] $\sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ [/mm] nicht absolut konvergent: die Reihe selbst konvergiert gegen $ln(2)$, die Reihe der Absolutglieder entspricht jedoch der bekanntermaßen divergenten, harmonischen Reihe. Eine Reihe [mm] $\sum a_i$ [/mm] heißt ferner unbedingt konvergent, wenn jede ihrer Umordnungen wieder gegen [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} a_i$ [/mm] konvergiert; ansonsten heißt sie bedingt konvergent. Es zeigt sich nun folgende, wichtige Tatsache: die unbedingt konvergenten Reihen sind genau die absolut konvergenten Reihen. D.h. also, dass für absolut konvergente Reihen jede Umordnung wieder gegen den "ursprünglichen" Reihenwert konvergiert, für nicht absolut konvergente Reihen jedoch der Riemannsche Umordnungssatz gilt, sprich, dass man die Reihe so umordnen kann, dass die entstandene Reihe gegen eine beliebig vorgegebene Zahl konvergiert.
>6. Frage: Wie überprüfe ich ob eine Funktion konvex oder konkav ist. Vielleicht an einem Beispiel? Welches davon ist links gekrümmt und welches rechts gekrümmt?
Eine Funktion $f$ ist konvex oder linksgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung stets nicht-negativ ist. Analog dazu ist sie konkav oder rechtsgekrümmt, wenn ihre zweite Ableitung stets nicht-positiv ist. Beispielsweise ist die Exponentialfunktion konvex, die Wurzelfunktion konkav.
>7. Frage: Was ist die Supremumsnorm, anschaulich?
Die Supremumsnorm [mm] $\vvert f\vert_\infty$ [/mm] ist über [mm] $\vvert f\vvert [/mm] = [mm] \sup\{\vert f(x)\vert \vert x\in I\}$ [/mm] definiert. Anschaulich gesprochen gibt sie das Supremum (noch anschaulicher, aber, siehe oben, nicht ganz mathematisch korrekt, das "Maximum") der Funktionswerte von $f$ an. Beispielsweise ist [mm] $\vvert sin\vvert [/mm] = 1$.
> Satz: Jede gleichmäßig stetige reelle Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige reelle Funktion ist gleichmäßig stetig.
Gleichmäßig stetige Funktionen sind solche, für die die Bilder von hinreichend nahe beieinander liegenden Punkten einen beliebig vorgegebenen Wert nicht überschreiten. Eine stetige Funktion hat diese Eigenschaft nur lokal. Dort nämlich wird für einen einzigen Punkt eine Umgebung gesucht, sodass sich die Bilder der Punkte aus der Umgebung von dem Bild dieses Punktes nicht zu sehr unterscheiden [mm] ($\epsilon$-$\delta$-Kriterium). [/mm] Ein sehr schönes Beispiel sind wachstumsbeschränkte Funktionen, d.h. diejenigen Funktionen, deren erste Ableitung beschränkt ist. Diese Funktionen sind stets gleichmäßig stetig. Ich werde dir dies gleich mit Hilfe des Mittelwertsatzes beweisen.
Ein Beispiel sei dir aber jetzt schon einmal gegeben: die Funktion [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, da ihre Ableitung gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht. So kann für ein [mm] $\epsilon$ [/mm] kein [mm] $\delta$ [/mm] gefunden werden, für welches [mm] $\vert f(x)-f(y)\vert [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $x,y$ mit [mm] $\vert x-y\vert [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt; denn ich müsste nur hinreichend weit nach "rechts" gehen und würde schon für den Unterschied [mm] $\delta$ [/mm] zweier Punkte beliebig große Unterschiede ihrer Bilder finden können, da wie gesagt die erste Ableitung unbeschränkt ist.
> 9. Frage: Satz von der Rolle: Die graphische Bedeutung?
Was meinst du hiermit? Anschaulich ist der Satz von klar, oder?
>10. Frage: Mittelwertsatz: Gehe ich richtig in der Annahme, dass der Mittelwertsatz die Steigung der Tangenten zwischen zwei Punkten mir angibt?
Nein, da kann etwas nicht stimmen. Es gibt keine Tangente zwischen zwei Punkten. Die Verbindungsgerade zweier Punkte nennt man Sekante. Der Mittelwertsatz besagt nun folgendes: ist $f$ differenzierbar auf dem Intervall $[a,b]$, dann existiert ein Punkt [mm] $\xi\in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. [/mm] D.h. also, dass es zwischen $a$ und $b$ einen Punkt [mm] $\xi$ [/mm] gibt, für den die Tangentensteitung an den Graphen von $f$ im Punkte [mm] $\xi$ [/mm] genau der Steigung der Sekante zwischen den Punkten $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ entspricht.
Wie nützlich er ist, zeige ich dir jetzt einmal anhand des folgenden Satzes: ist die reelle Funktion $f$ differenzierbar und $f'$ beschränkt, so ist $f$ gleichmäßig stetig.
Beweis: es ist zu zeigen, dass für ein beliebiges [mm] $\epsilon\in\IR_+$ [/mm] ein [mm] $\delta\in \IR_+$ [/mm] so existiert, dass für alle [mm] $x,y\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\vert x-y\vert<\delta$ [/mm] stets [mm] $\vert f(x)-f(y)\vert <\epsilon$ [/mm] gilt. Sei also ein [mm] $\epsilon\in \IR_+$ [/mm] beliebig vorgegeben. Sei ferner [mm] $S=\vvert f'\vvert_\infty$ [/mm] ($S$ existiert, da $f'$ nach Voraussetzung beschränkt ist!), dann wählen wir [mm] $\delta=\frac{\epsilon}{S}$. [/mm] Nehmen wir nun an, es gäbe zwei Punkte [mm] $x,y\in \IR$, [/mm] für die zwar [mm] $\vert x-y\vert [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] jedoch [mm] $\vert f(x)-f(y)\vert \not< \epsilon$ [/mm] gelte, dann gäbe es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] $\xi\in [/mm] [x,y]$ (o.B.d.A. sei $x<y$) mit [mm] $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$. [/mm] Dann allerdings wäre [mm] $\vert f'(\xi)\vert [/mm] = [mm] \frac{\vert f(x)-f(y)\vert}{\vert x-y\vert} >\frac{\epsilon}{\frac{\epsilon}{S}}=S$, [/mm] was im Widerspruch zu [mm] $S=\vvert f'\vvert_{\infty}$ [/mm] steht!
So, zu den übrigen Fragen kann ich leider nichts mehr sagen. Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> > Satz: Jede gleichmäßig stetige reelle Funktion ist stetig,
> aber nicht jede stetige reelle Funktion ist gleichmäßig
> stetig.
[...]
> Ein Beispiel sei dir aber jetzt schon einmal gegeben: die
> Funktion [mm]x\mapsto x^2[/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, da ihre
> Ableitung gegen [mm]\infty[/mm] geht.
Das ist die falsche Begründung! Man darf das so nicht machen - denn dann wäre auch [m]x\mapsto \sqrt{x}[/m] nicht glm. stetig, aber sie ist es doch! Du kannst aus unbeschränkter Ableitung nicht "nicht glm. stetig" folgern. Hier stimmt es aber, aber das sollte der OP versuchen, alleine zu rechnen.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Di 11.10.2005 | | Autor: | melb |
zu konvex und konkav, mal eine Definition aus meiner Vorlesung:
*von unten konvex bzw. (links) von oben konkav
f(t1x1+t2x2)<t1*f(x1)+t2*f(x2)
*von oben konvex bzw. (rechts) von unten konkav
f(t1x1+t2x2)>=t1*f(x1)+t2*f(x2)
für 0<=t1, t2<=1, t1+t2=1
Bemerkung: f ist von unten konkav [mm] \gdw [/mm] -f von unten konvex
Bsp.:
1) [mm] f(x)=x^{2} [/mm]
[mm] f(t1*x1+t2*x2)=(t1*x1+t2*x2)^{2}
[/mm]
[mm] =(t1*x1)^{2}+2*( [/mm] t1*x1)*( t2*x2)+( [mm] t2*x2)^{2}
[/mm]
[mm]
= [mm] (t1)^{2})*(x1)^{2})+2*t1*t2*x1*x2+(t2)^{2})*(x2)^{2})
[/mm]
[mm]
ich komme leider noch nicht ganz klar mit den eingabehilfen
mfg mel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> 10. Frage: Mittelwertsatz: Gehe ich richtig in der
> Annahme, dass der Mittelwertsatz die Steigung der Tangenten
> zwischen zwei Punkten mir angibt?
Nicht Tangente, Sekante. Undd dann kann man es gegen die Ableitung abschätzen. Nützlich zB beim Schranklensatz etc pp
> 11. Frage: Heißt (reell-) analytisch nichts weiter als
> beliebig oft diff'bar oder heißt es noch mehr?
Es heisst lokal in einer Potenzreihe entwickelbar!
> 12. Frage: Graphische Bedeutung des Mittelwertsatzes im
> [mm]\IR^{m}[/mm]?
Warum immer graphscih? Wenn man sich die x-Achse als [m]\IR^m[/m] vorstellt, hat es die gleiche Aussagekraft, wie im eindimensionalen - also es gibt einen m-dim. Quader, gewichtet mit einem Funktionswert, der das gleiche "Volumene" (besser: Integralwert) hat, wie die Funktion, die integriert wurd.
> 13. Frage: Graphische Bedeutung der Lebesqueschen und
> Jordan Nullmengen?
Deine Definitionen sind schon die graphischen Vorstellungen.
> Wozu brauche ich diese?
Wenn etwas auf einer Nullmenge nicht stimmt, kann man das in der Integrationstheorie i.a. vernachlässigen. Daher kommt das f.ü. - das fast überall. Äußerst praktisch! zB hat eine int.bare Funktion nur auf eienr Nullmenge den Wert unendlich.
> 14. Frage: Ist die Richtungsableitung in einem Punkt
> identisch mit der partiellen Ableitung in einem Punkt?
Partielle Ableitungen sind Richtungsableitugnen nach den Einheistvektoren.
> 15. Frage: Kann mir jemand ein Beispiel für eine
> impliziert definierte Funktion geben, machen, finden. Also
> wie ich solche Aufgaben an gehe etc.pp.?
Es stehen doch immer viele in den Büchern. Damit es auflösbar ist, reicht es, dass das Differential in dem Punkt surjektiv ist. (Falls die Funktion stetig differenzierbar ist!). Das musst du überprüfen. Diese Auflösbarkeit ist übrigens nicht konstruktiv - man weiß, dass es so eine Zerlegung gibt, mehr aber i.a. auch nicht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Di 11.10.2005 | | Autor: | andreas |
hi
nicht direkt zu deinen fragen sondern zu dem angehängten dokument. ich habe beim kurzen überfliegen einen fehler festgetsellt, der wohl auch irgendwie ein verständnissfehler ist: und zwar bei punkt 9 gilt [m] \lim_{x \to \infty} f(x) = 1 [/m] und nicht wie in dem dokument behauptet [m] \lim_{x \to \infty} f(x) = 3 [/m].
diese erkentniss gewinnt man bei quotienten aus polynomfunktion einfach indem man die koeffizienten vor den höchsten potenzen durcheinander teilt. hier sind die koeffizitenten vor [mm] $x^2$ [/mm] jeweils $1$, also muss der grenzwert auch $1$ sein. in der rechnung zum beweis des grenzwerts ist auch ein fehler, da der letzte term der ersten zeile nicht gleich dem ersten term der zweiten zeile ist:
[m] \left| \frac{x^2 - 2x + 1 - 3x^2 - 15x}{x^2 + 5x} \right| \not= \left| \frac{-17x + 1}{x^2 + 5x} \right| [/m].
grüße
andreas
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