Allgemeine Lösung einer DG < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Link: http://www.matheboard.de/thread.php?sid=&postid=63040#post6304
da kann(oder will) mir aber keiner mehr weiterhelfen.
Thx
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Steirerman!
Da man auf dieses Forum aus Gründen des Jugendschutzes nicht mehr verlinken kann, hier noch einmal die Differentialgleichung:
[mm] $-2*\cos(x)*\cos(y)+4*\sin(x)*\sin(y)*y'=0$.
[/mm]
Ich selber habe wenig Ahnung davon und würde es einfach mal mit einer Trennung der Variablen versuchen, aber vermutlich ist der Ansatz zu naiv. Vielleicht kann dir hier ja jemand weiterhelfen.
Liebe Grüße
Stefan
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Also hier nochmal die ganze Frage:
Zeigen Sie, daß y(y) = cos(y) eine integrierender Faktor der folgenden Differenzialgleichung ist und bestimmen Sie ihre allgemeine Lösung in impliziter Form!
Das mit dem Beweisen ist ja kein Problem, aber wie bestimm ich ihre allgemeine Lösung???????????
P.S:Ich kenn mich mit DG überhaupt nicht aus.
Thx
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Peter
sollte wohl eher so heissen: (sind wohl die Tücken von cut & paste  )
Zeigen Sie, daß $y(y) = cos(y)$ eine integrierender Faktor
der folgenden Differenzialgleichung ist und bestimmen Sie
ihre allgemeine Lösung in impliziter Form!
$-2*cos(x)*cos(y)+4.sin(x)*sin(y)*y'=0$
Das mit dem Beweisen ist ja kein Problem, aber wie bestimm
ich ihre allgemeine Lösung???????????
P.S:Ich kenn mich mit DG überhaupt nicht aus.
Thx
Peter
Stimmt es so?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Steirerman |
Ja, genau!
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Hallo Steirerman,
Ich zitiere mal die Antwort von Leopold (der hier im Matheraum ja auch existiert) aus dem Matheboard:
Die Differentialgleichung
[mm]-2 \cos{x} \cos{y} \ \mbox{d}x+4 \sin{x} \sin{y} \ \mbox{d}y=0[/mm]
wird durch Multiplikation mit [mm]\cos{y}[/mm] exakt, d.h. die Differentialform
[mm]\omega = -2 \cos{x} \cos^2{y} \ \mbox{d}x + 4 \sin{x} \sin{y} \cos{y}\ \mbox{d}y[/mm]
ist totales Differential einer Funktion F=F(x,y), hier von [mm]F=-2 \sin{x} \cos^2{y}[/mm]:
[mm]\mbox{d}F = \omega[/mm]
Formal kann man die Differentialgleichung P(x,y) + Q(x,y)*y' = 0 auch schreiben als P dx + Q dy = 0 (man kann y' = dy/dx schreiben und formal mit dx multiplizieren). In dieser Form hat die Gleichung die Gestalt eines totalen Differentials. Wenn sie tatsächlich ein totales Differential ist, dann nennt man die Differentialgleichung exakt. (Vergleiche meine Antwort auf deinen ersten Beitrag im Strang.)
Leopolds [mm] \omega [/mm] (omega) ist einfach nur ein Kürzel.
Nun ist deine Differentialgleichung am Anfang ja nicht exakt, kann aber durch Multiplikation mit cos(y) zu einer exakten Dgl umgewandelt werden. Solch einen Faktor nennt man integrierenden Faktor.
Da Leopold die Lösungsfunktion F bereits genannt hat, musst du nur noch prüfen, dass die neuen Werte von P und Q gerade die partiellen Ableitungen von F sind. Die Lösungen der Differentialgleichung sind dann die implizit gegebenen Funktionen y, die F(x,y(x)) = C für eine Konstante C erfüllen.
Bei Fragen bitte schreien.
Lieben Gruss,
Irrlicht
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So weit so gut (vielen Dank) aber vieleicht könnten wir mal die praxis durchgehen:
-2*cos(x)*cos(y)+4*sin(x)*sin(y)*y' = 0 kann ich auch so darstellen:
-2*cos(x)*cos(y)*dx+4*sin(x)*sin(y)*dy=0
Und wenn ich das ganze mit dem integrierenden Faktor cos(y) mult.:
[mm] -2*cos(x)*(cos(y))^2*dx+4*sin(x)*sin(y)*cos(y)*dy [/mm] =w
Ok, wenn ich F = [mm] -2*sin(x)*cos(y)^2 [/mm] nach dx dann komme ich auf P und nach dy auf Q.
Aber wie komm ich auf das F ??????? Un mit folgenden Satz:
"Die Lösungen der Differentialgleichung sind dann die implizit gegebenen Funktionen y, die F(x,y(x)) = C für eine Konstante C erfüllen." fang ich leider überhaupt nichts an.
Wäre toll wenn du mir da nochmal weiterhelfen würdest.
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Hallo Steirerman,
Ich kann dir eine Art Fahrplan für solche Dgls geben:
Integriere P nach x, wobei y als Konstante aufgefasst wird. Du erhälst eine Funktion F(x,y), in diesem Fall ist es die Funktion
$F(x,y) = -2 [mm] cos^2(y) [/mm] sin(x) + C$. Die Integrationskonstante C fasst du als Funktion in y auf, also als C(y).
Du leitest dann F(x,y) nach y ab und setzt das Ergebnis gleich Q. Damit erhälst du eine Differentialgleichung für C(y). Hier ist die Differentialgleichung C'(y) = 0, also C(y) = c konstant.
Du könntest genauso gut anfangen, indem du Q nach y integrierst und die entstehende Funktion mit von x abhängiger Integrationskonstante nach x ableitest und gleich P setzt. Je nachdem wie P und Q aussehen, ist der eine oder der andere Weg einfacher.
Zu deiner letzten Frage:
Wir haben F so gewählt, dass [mm] $D_1 [/mm] F = P$ ist und [mm] $D_2 [/mm] F = Q$. Der Satz über implizite Funktionen sagt nun, dass unter bestimmten nur von F abhängigen Bedingungen (auf die wir hier erstmal nicht näher eingehen wollen) eine Funktion y existiert mit der Eigenschaft F(x,y(x)) = 0.
Leiten wir die Gleichung F(x,y(x)) = 0 nach x ab, erhalten wir
[mm] $D_1 [/mm] F(x,y(x)) + [mm] D_2 [/mm] F(x,y(x))*y'(x) = 0$
Die Funktion y ist damit eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung. Ersetzen wir die Funktion F durch F + c für eine Konstante c, erhalten wir weitere Lösungen der Differentialgleichung, die der Gleichung F(x,y(x)) = -c genügen.
Ist es dir nun klarer geworden? *das mal hoffe*
Lieben Gruss,
Irrlicht
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Hallo Steirerman,
Erstmal wiederhole ich für die Unwissenden hier, was eine exakte Differentialgleichung ist und was man unter einem integrierenden Faktor versteht.
Die Differentialgleichung P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 heisst exakt, wenn es eine stetig differentierbare Funktion F von einem (sternförmigen) Gebiet in die reellen Zahlen gibt mit grad F = (P,Q).
Sind P und Q stetig differenzierbar in dem sternförmigen Gebiet G, dann ist die Dgl
P dx + Q dy = 0
genau dann exakt, wenn
[mm] Q_x [/mm] = [mm] P_y
[/mm]
[mm] (Q_x [/mm] sei die partielle Ableitung von Q nach x, analog [mm] P_y).
[/mm]
Eine Dgl obiger Form muss nicht unbedingt exakt sein, aber manchmal kann man sie duch Multiplikation mit einem sogenannten integrierenden Faktor in eine exakte Dgl überführen.
Gruss,
Irrlicht
(die das obige aus dem Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen von Timmann zitiert hat)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Do 30.09.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Stefan,
mein Skript und das Internet meinen "Ja". Ich selbst kann dir das jetzt nicht bestätigen. Differentialgleichungen sind einfach nicht mein Gebiet (links rein rechts raus). Da kann ich nur hoffen, dass "mein Gebiet" auch sternförmig ist, dann hab ich ja vielleicht auch eine Chance, exakt zu sein. *kicher*
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Do 30.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Alex!
Auf jeden Fall bist du ein leuchtender Stern am Matheraum-Himmel. 
Liebe Grüße
Stefan
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