Allgemeines LGS mit Lambda < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] +. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von [mm] \lambda \in \IR [/mm] die Lösungsmenge L( [mm] \lambda [/mm] ) des folgenden linearen Gleichungssystems
[mm] \lambda [/mm] X1 + X2 + X3 + ... + Xn = 1
X1 + [mm] \lambda [/mm] X2 + X3 + ... + Xn = 1
...
X1 + X2 + X3 + ... + [mm] \lambda [/mm] Xn = 1 |
Uns wurde gesagt, man muss die Gleichungen addieren und kommt dann auf
( [mm] \lambda [/mm] +n-1)(X1 + X2 + ... + Xn) = n
Wie das geht, weiß ich allerdings nicht. Bei uns wird großer Wert auf die Form gelegt, deshalb wüsste ich auch nicht, wie man die Rechnung aufschreiben soll.
Dann muss man eine Fallunterscheidung machen, um auf L zu kommen, auch da weiß ich nicht, wie das funktionieren soll, weil es doch n viele Werte geben kann.
Ich stelle mich bei solchen theoretischen Aufgaben immer etwas dumm an, weil ich noch am Anfang vom Studium bin. Mit den konkreten Beispiele zum Gauß'schen Algorithmus komme ich eigentlich gut klar.
Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Sa 05.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] +. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> die Lösungsmenge L( [mm]\lambda[/mm] ) des folgenden linearen
> Gleichungssystems
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> [mm]\lambda[/mm] X1 + X2 + X3 + ... + Xn = 1
> X1 + [mm]\lambda[/mm] X2 + X3 + ... + Xn = 1
> ...
> X1 + X2 + X3 + ... + [mm]\lambda[/mm] Xn = 1
>
> Uns wurde gesagt, man muss die Gleichungen addieren und
> kommt dann auf
>
> ( [mm]\lambda[/mm] +n-1)(X1 + X2 + ... + Xn) = n
>
> Wie das geht, weiß ich allerdings nicht. Bei uns wird
> großer Wert auf die Form gelegt, deshalb wüsste ich auch
> nicht, wie man die Rechnung aufschreiben soll.
Mir persoehnlich waere es voellig ausreichend, wenn man sagt "Addition der Zeilen des LGS liefert ...(obige Gleichung)"
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> Dann muss man eine Fallunterscheidung machen, um auf L zu
> kommen, auch da weiß ich nicht, wie das funktionieren
> soll, weil es doch n viele Werte geben kann.
Aus obiger Gleichung folgt, dass es im Fall [mm] $\lambda= [/mm] -(n-1)$ keine Loesung gibt, denn auf der linken Seite der Gleichung steht dann eine $0$, aber rechts $n(>0)$, also $L(-(n-1))= [mm] \emptyset$.
[/mm]
Betrachte nun den Fall [mm] $\lambda\neq [/mm] -(n-1)$. Bringt man [mm] $x_{i}$ [/mm] auf die rechte Seite, so folgt [mm] $\summe_{j=1, j\neq i}^{n} x_{j}= \bruch{n}{\lambda-(n-1)}- x_{i}$. [/mm] Einsetzen in die $i$-Gleichung des LGS ergibt [mm] $\lambda x_{i}+ \bruch{n}{\lambda-(n-1)}- x_{i}= (\lambda-1)x_{i}+ \bruch{n}{\lambda-(n-1)}= [/mm] 1$.
Nun ist eine weitere Fallunterscheidung noetig: Naemlich [mm] $\lambda= [/mm] 1$ und [mm] $\lambda\neq [/mm] 1$.
Tip- dies jedoch ohne Gewaehr: Im Fall [mm] $\lambda\neq [/mm] 1$ ist [mm] $L(\lambda)$ [/mm] einelementig; im Fall [mm] $\lambda=1$ [/mm] ist [mm] $L(\lambda)$ [/mm] unendlich, falls $n=1$ und leer, falls $n>1$, wobei stillschweigend noch zusaetzlich [mm] $\lambda\neq [/mm] -(n-1)$ ist.
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> Ich stelle mich bei solchen theoretischen Aufgaben immer
> etwas dumm an, weil ich noch am Anfang vom Studium bin. Mit
> den konkreten Beispiele zum Gauß'schen Algorithmus komme
> ich eigentlich gut klar.
> Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Gerne.
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