Allgemeingültige Lösung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:22 Sa 15.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
| Aufgabe | | Finde eine Allgemeingültige Lösung für cos(alpha) + cos(beta). |
Vorweg möchte ich einfach mal drum bitten, es nett zu übersehen, sollte ich meine Frage in den falschen Bereich posten. Irgendwie komme ich mit der Forenoberfläche noch nicht so klar... Also, falls dieser bereich falsch sein sollte, sorry dafür.
Kommen wir aber nun zu meiner Frage, und zwar muss ich eine allgemeingültige Lösung für die Gleichung [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\beta) [/mm] finden und diese dann beweisen. Unser Lehrer hat dies als Referat festgelgt, um uns ein wenig in die Welt von Sinussatz und Cosinussatz einzuführen. Selbstbeibringen halt. Ist soweit auch gut und schön, doch es wollten ein paar mehr Leute, diese beiden Referate machen, also hat sich unser Lehrer noch ein paar weitere Gleichungen überlegt. Ich hatte mich dazu auch gemeldet, um mir meine Note ein wenig aufzubessern, da wusste ich ja noch nicht, dass ich der Arbeit zu Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion ne 2 schreibe... Naja, die Gleichungen wurden letzendlich unter uns Schülern ausgelost und ich hab halt diese (komische) bekommen. Komisch, weil ich wirklich gar nichts darüber im Internet finde, oder ich bin einfach zu blöd, um richtig zu googlen...
Aber zurück zur Aufgabe: Wie schon erwähnt, Sinussatz, Cosinussatz und die jeweiligen Funktionen ( Sinus-, Cosinus,- Tangens-) hatten wir schon, d.h. die stehen mir auch als Lösungswege zur Verfügung.
Jetzt zu meinen Überlegungen:
Das sind ehrlich gesagt noch nicht so viele, einzige Überlegung war bisher, dass man das Ganze irgendwie am Einheitskreis beweisen könne. [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\beta) [/mm] wären dann ja [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}. [/mm] Was wiederum dem Sinus von 45 Grad und dem Cosinus von 45 Grad entspricht.
Ja, das waren eigentlich auch schon alle Überlegungen *schäm* Jetzt meine Fragen:
Erstmal, sind meine bisherigen Überlegungen richtig und kann/darf ich das Ganze überhaupt am Einheitskreis beweisen?
Wie beweise ich meine Überlegungen (falls richtig)?
Achso, weils mein erster Post ist:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Felix,
bitte erläutere nochmal was du zeigen willst/sollst. Du sprichst mehrfach von einer Gleichung, aber in deinem gesamten Post taucht nicht ein einziges Gleichheitszeichen auf. [mm] $cos(\alpha)+cos(\beta)$ [/mm] ist keine Gleichung, sondern ein Term. Es macht keinen Sinn, da von einer Lösung zu sprechen. Möchtest du den Term vielleicht umformen?
LG walde
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Sa 15.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
So, hoffentlich ist das die normale Antwortmöglichkeit, wie gesagt, ich finde mich noch nicht so ganz mit der Oberfläche zurecht ^^
> Du sprichst mehrfach von einer Gleichung, aber in deinem
> gesamten Post taucht nicht ein einziges Gleichheitszeichen
> auf. [mm]cos(\alpha)+cos(\beta)[/mm] ist keine Gleichung, sondern
> ein Term.
Ups, ja da hab ich mich tatsächlich etwas in der Formulierung vergriffen.. Ich suche nach einer allgemeingültigen Lösung für diesen Term, d.h. links(oder rechts, bei ner gleichung ist das ja egal) vom Gleichheitszeichen sollte eben dieses cos( [mm] \alpha) [/mm] + [mm] cos(\beta) [/mm] stehen, auf der anderen Seite dann die allgemeingültige Lösung. Hoffe, du verstehst jetzt, was ich meine :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Sa 15.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> So, hoffentlich ist das die normale Antwortmöglichkeit,
> wie gesagt, ich finde mich noch nicht so ganz mit der
> Oberfläche zurecht ^^
>
>
> > Du sprichst mehrfach von einer Gleichung, aber in deinem
> > gesamten Post taucht nicht ein einziges Gleichheitszeichen
> > auf. [mm]cos(\alpha)+cos(\beta)[/mm] ist keine Gleichung, sondern
> > ein Term.
>
> Ups, ja da hab ich mich tatsächlich etwas in der
> Formulierung vergriffen.. Ich suche nach einer
> allgemeingültigen Lösung für diesen Term, d.h.
> links(oder rechts, bei ner gleichung ist das ja egal) vom
> Gleichheitszeichen sollte eben dieses cos( [mm]\alpha)[/mm] +
> [mm]cos(\beta)[/mm] stehen, auf der anderen Seite dann die
> allgemeingültige Lösung. Hoffe, du verstehst jetzt, was
> ich meine :)
Nein. Ich denke, anderen geht es ebenso.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 15.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
Ok, ich versuch mal, das ganze an einem Beispiel zu erkären: 1+1=2. Anstatt 1+1 steht in meiner Aufgabe halt nur [mm] cos(\alpha)+cos(\beta) [/mm] und anstelle der 2 steht ein Fragezeichen.
Nochmal ausgeführt:
[mm] cos(\alpha)+cos(\beta) [/mm] = ?
Und nach "?" bin ich auf der Suche ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Felix,
was du suchst steht ![[]](/images/popup.gif) hier. Mit den von dir erwähnten Mitteln dürftest du aber Schwierigkeiten haben das zu beweisen. Habt ihr schon die Additionstheoreme - z.B. [mm]\cos(\alpha + \beta)=\ldots[/mm] - gehabt?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 15.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
Danke :)
Die Additionstheoreme sind auch Teile von Referaten bzw. einzelne Referate. Unser Lehrer meinte, wir können Sachen, mit denen wir noch nicht gearbeitet haben, einfach als Vorraussetzung hinschreiben. Das müsste ich dann halt so hinschreiben.
Jetzt, wo es ja wirklich ein wenig komplexer wird ( vor allem, weil das Thema noch 0 im Unterricht besprochen haben ), stell ich mir die Frage, ob ich das ganze noch am Einheitskreis beweisen kann. Falls nein, wie müsste ich das ganze denn angehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Sa 15.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreibe [mm] \alpha=\bruch{\alpha+\beta}{2} +\bruch{\alpha-\beta}{2} [/mm]
[mm] \beta=\bruch{\alpha+\beta}{2} -\bruch{\alpha-\beta}{2} [/mm]
und dann benutze das Additionstheorem
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin((b)
und cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin((b)
mit [mm] a=\bruch{\alpha+\beta}{2} [/mm] und [mm] b=\bruch{\alpha-\beta}{2} [/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 16.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
Tut mir leid, dass ich erst so spät antworte, war den ganzen Tag bei nem Fußballtunier..
Wie kommst du denn auf das
$ [mm] \alpha=\bruch{\alpha+\beta}{2} +\bruch{\alpha-\beta}{2} [/mm] $
$ [mm] \beta=\bruch{\alpha+\beta}{2} -\bruch{\alpha-\beta}{2} [/mm] $ ? Den Rest kann ich glaube ich ganz gut nachvollziehen, bisher zumindest :D
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Hallo F3l1x,
was für ein unbequemer Nick...
> Tut mir leid, dass ich erst so spät antworte, war den
> ganzen Tag bei nem Fußballtunier..
>
> Wie kommst du denn auf das
> [mm]\alpha=\bruch{\alpha+\beta}{2} +\bruch{\alpha-\beta}{2}[/mm]
> [mm]\beta=\bruch{\alpha+\beta}{2} -\bruch{\alpha-\beta}{2}[/mm] ?
Die Frage verstehe ich nicht. Ich vermute in diesem Fall, dass auch leduart schon weiß, wohin die Reise geht, dann kann man solche Tipps ja ganz gut rekonstruieren. Allerdings nehme ich an, dass Du auch vorher in einer Formelsammlung nachgeschaut hast.
Ansonsten ist an den Gleichungen ja nichts auszusetzen. Einmal wird [mm] \alpha [/mm] in zwei Hälften zerlegt, einmal [mm] \beta, [/mm] und dann wird noch eine "fette Null" spendiert. Das ist doch nicht unüblich.
> Den Rest kann ich glaube ich ganz gut nachvollziehen,
> bisher zumindest :D
Darfst Du denn Additionstheoreme verwenden? Denn eigentlich sollst Du ja nichts anderes tun, als ein weiteres herzuleiten. Da muss man schon recht genau wissen, was man aus der Formelsammlung eigentlich benutzen darf, zumal die Lösung da ja auch schon drinsteht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 16.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
Ja, die Additionstheoreme darf ich verwenden. Ich fasse jetz nochmal alle Informationen, die ich bekommen habe, zusammen:
Der Theorem, den ich beweisen muss, ist [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] 2cos(\bruch{\alpha + \beta}{2})cos(\bruch{\alpha - \beta}{2})
[/mm]
Die Vorraussetzungen dafür sind:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\alpha + \beta}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = [mm] \bruch{\alpha + \beta}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
a = [mm] bruch{\alpha + \beta}{2}
[/mm]
b = [mm] \bruch{\alpha - \beta}{2}
[/mm]
Und benutzen muss ich die Theoreme cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) und cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)
Jetzt bin ich allerdings grade am Brüten über diese beiden Theoreme. Mithilfe von Einsetzen sind die ja in meinem Fall [mm] cos(\alpha)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
[/mm]
[mm] cos(\beta)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) [/mm]
oder irr ich mich da?
Tut mir Leid, wenn meine Fragen etwas, naja...blöd klingen, aber ich werd grade ziemlich von der Welle der Informationen überrollt und bekomme diese nicht in eine vernünftige Ordnung. Ist vielleicht etwas dreist, aber könnte mir jemand die einzelnen Zusammenhänge zwischen den verschieden Termen und Gleichungen erklären?
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Hallo F3l1x,
> Ja, die Additionstheoreme darf ich verwenden. Ich fasse
> jetz nochmal alle Informationen, die ich bekommen habe,
> zusammen:
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> Der Theorem, den ich beweisen muss, ist [mm]cos(\alpha)[/mm] +
> [mm]cos(\beta)[/mm] = [mm]2cos(\bruch{\alpha + \beta}{2})cos(\bruch{\alpha - \beta}{2})[/mm]
>
> Die Vorraussetzungen dafür sind:
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\alpha + \beta}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\alpha - \beta}{2}[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] = [mm]\bruch{\alpha + \beta}{2}[/mm] - [mm]\bruch{\alpha - \beta}{2}[/mm]
>
> a = [mm]bruch{\alpha + \beta}{2}[/mm]
> b = [mm]\bruch{\alpha - \beta}{2}[/mm]
>
> Und benutzen muss ich die Theoreme
> cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) und
> cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)
>
> Jetzt bin ich allerdings grade am Brüten über diese
> beiden Theoreme. Mithilfe von Einsetzen sind die ja in
> meinem Fall [mm]cos(\alpha)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)[/mm]
> [mm]cos(\beta)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)[/mm]
> oder irr ich mich da?
>
Nein, da irrst Du nicht.
Gemäß den Additionstheoremen ist dann
[mm]\alpha=a+b[/mm]
[mm]\beta=a-b[/mm]
Daraus lassen sich a und b bestimmen.
> Tut mir Leid, wenn meine Fragen etwas, naja...blöd
> klingen, aber ich werd grade ziemlich von der Welle der
> Informationen überrollt und bekomme diese nicht in eine
> vernünftige Ordnung. Ist vielleicht etwas dreist, aber
> könnte mir jemand die einzelnen Zusammenhänge zwischen
> den verschieden Termen und Gleichungen erklären?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 18.12.2012 | | Autor: | F3l1x |
Mittlerweile steh ich also schon bei:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\alpha + \beta}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{\alpha - \beta}{2}) [/mm] - [mm] sin(\bruch{\alpha + \beta}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\alpha - \beta}{2})
[/mm]
und
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] cos(\bruch{\alpha + \beta}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{\alpha - \beta}{2}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{\alpha + \beta}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{\alpha - \beta}{2})
[/mm]
Wie rechne ich jetzt weiter? Bzw. wie fasse ich das ganze weiter zusammen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du addierst die beiden, dann fällt alles mit sin weg und du hast die Formel, die man von die will!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich will das Additionstheorem anwenden auf cos(a+b) und cos (a-b) und da bietet sich das für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an, dass es stimmt kannst du leicht nachrechnen.
(ich hab einen Vorteil, ich kann Physik und da braucht man die Formel um 2 verschiedene Schwingungen zu addieren)
Gruss leduart
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