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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:10 Mi 13.05.2009 | | Autor: | BBFan |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] A_n [/mm] einfach ist für [mm] n\ge [/mm] 5 |
Bereite mich gerade auf meine Diplomprüfung in Graphentheorie vor und wiederhole deshalb die Gruppentheorie.
Das [mm] A_n [/mm] einfach ist für n [mm] \ge [/mm] 5 ist klar nur ist der Beweis den ich mir dafür konstruiert habe was länger und ich würde gerne eine Stelle was kürzen.
Ich zeige, dass [mm] A_n [/mm] von den Doppeltranspositionen erzeugt wird. Weiter läßt sich jede Doppeltransposition als Verknüpfung von 3-Zyklen schreiben, also wird [mm] A_n [/mm] von den 3-Zyklen erzeugt.
Danach zeige ich, dass alle 3-Zyklen zu (1,2,3) konjugiert sind und da Konjugation eine Äquivalenzrelation bildet, deren Äquivalenzklassen gerade die Konjugationsklassen der versch. Elemente sind (d.h. also die Bahnen unter der Operation mit Hilfe der eine Gruppe auf sich selbst durch Konjugation operiert), habe ich damit gezeigt, das alle 3-Zyklen zu einander konjugiert sind.
Nun zeigt mein letzter Teil:
Ist N ein Normalteiler in [mm] A_n [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 5, so enthält N einen 3-Zykel.
Damit bin ich fertig, da N so ganz [mm] A_n [/mm] sein muss.
Jedoch ist der Beweis des letzten Teils bei mir sehr lang und ich bin überzeugt ein Gruppentheoretiker kriegt das kürzer hin als ein Stochastiker.
Kennt jemand einen kurzen anschaulichen Beweis für diesen Teil, den man schnell erläutern kann, oder muss man da wirklich Arbeit rein stecken?
Danke für die Hilfe
Gruss
BBFan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 15.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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