Amerikanische Option bewerten < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 05.04.2011 | | Autor: | Blueman |
Hallo zusammen!
ich habe eine Frage zur Bewertung amerikanischer Optionen. Der Preis V ist gesucht, der Strike sei K und der Underlyingkurs sei S.
Es gibt es ja den Haltebereich, wo V > Payoff gilt und den Ausübebereich wo V = Payoff ist. Sobald dieser Fall (V = Payoff) eintritt soll sofort ausgeübt werden, um den inneren Wert zu kassieren und möglichst lange anzulegen. So wird der Gewinn maximiert.
Was mich aber wundert: Im Haltebereich soll ja angeblich die Black Scholes Gleichung gelten. Ich kann also zum Zeitpunkt t0 einfach V(S(t0),t0) ausrechnen (zB mittels der analytischen Lösungsformel der Black Scholes Gleichung?!) und vergleichen ob der Preis größer oder gleich dem Payoff ist. In beiden Fällen habe ich den Preis der Option jedenfalls berechnet!
Das kann aber doch irgendwie nicht sein, oder?? Dann wäre eine amerikanische Option ja nie teurer als eine europäische (selbe Lösungsformel). Irgendwas verstehe ich wohl falsch :-( Denn dann wäre ja auch der ganze Aufwand wie z.B. Black-Scholes-Ungleichung, Lineares Komplementaritätsproblem ect. vollkommen sinnlos!
Meine Vermutung: Die Lösungsformel gilt ausschließlich für europäische Optionen, da es dort einen festen Rand gibt, bei amerikanischen Optionen muss man das freie Randwertproblem lösen. Allerdings verstehe ich dann wieder nicht, wieso im Haltebereich die Black-Scholes-Gleichung gilt. Denn auch hier müsste die Möglichkeit eines früheren Ausübens doch eingepreist sein, oder? Das es momentan nicht sinnvoll ist, auszuüben heisst ja nicht, dass es nicht übermorgen sinnvoll sein könnte. Und wenn ich übermorgen ausübe habe ich am Ende immer noch mehr als bei einer gleichausgeprägten europäischen Option...
Hoffe jemand kann mir helfen!
Viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo Blueman,
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> ich habe eine Frage zur Bewertung amerikanischer Optionen.
> Der Preis V ist gesucht, der Strike sei K und der
> Underlyingkurs sei S.
> Es gibt es ja den Haltebereich, wo V > Payoff gilt und den
> Ausübebereich wo V = Payoff ist. Sobald dieser Fall (V =
> Payoff) eintritt soll sofort ausgeübt werden, um den
> inneren Wert zu kassieren und möglichst lange anzulegen.
> So wird der Gewinn maximiert.
>
> Was mich aber wundert: Im Haltebereich soll ja angeblich
> die Black Scholes Gleichung gelten. Ich kann also zum
> Zeitpunkt t0 einfach V(S(t0),t0) ausrechnen (zB mittels der
> analytischen Lösungsformel der Black Scholes Gleichung?!)
> und vergleichen ob der Preis größer oder gleich dem
> Payoff ist. In beiden Fällen habe ich den Preis der Option
> jedenfalls berechnet!
> Das kann aber doch irgendwie nicht sein, oder?? Dann wäre
> eine amerikanische Option ja nie teurer als eine
> europäische (selbe Lösungsformel).
"Optionen, die nur zu einem fixierten zukünftigen Datum ausgeübt werden können, bezeichnet man als "europäische" Optionen. Können die Optionen hingegen zu beliebigen Zeitpunkten innerhalb des Fälligkeitszeitraums ausgeübt werden, spricht man von "amerikanischen" Optionen.
Allerdings zeigt sich, dass (falls die Underlaying-Aktie während der Optionslaufzeit dividendenlos bleibt) eine vorzeigtige Ausübung von (amerikanischen) Optionen stets unvorteilhaft ist und ihr Wert daher mit dem Wert europäischer Aktien übereinstimmt."
Quelle: Einführung in die Finanzmathematik; Jürgen Tietze, Seite 353, Bemerkung 8.1.1
Viele Grüße
Josef
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:14 Mi 06.04.2011 | | Autor: | Blueman |
Hallo
vielen Dank für deine Antwort, die aber leider nicht so ganz meine Frage beantwortet. Ich wollte wissen, warum im Haltebereich einer amerikanischen Option (d.h. wenn der Optionswert größer ist als der Payoff) die BS-Gleichung gilt. Das ist ja für jede Option der Fall, auch wenn das Underlying eine Dividende ausschüttet.
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Do 07.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 07.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
das Ergebnis der Black-Scholes Formel hängt aber von der Zeit bis zum Ende des Haltebereichs ab. Und diese Zeitspanne kennst Du bei amerikanischen Optionen nicht.
> Denn auch hier müsste die Möglichkeit eines früheren Ausübens doch eingepreist sein, oder?
Nein, wenn Du das Ende des Haltebereichs als bekannt voraussetzt, dann ist die amerikanische Option in dieser Zeit effektiv eine europäische. Der Mehrnutzen der amerikanischen Option steckt in der Möglichkeit des variablen Haltebereichs. Sobald Du ihn als gegeben annimmst, nimmst Du den Mehrwert weg. Oder seh ich das falsch?
ciao
Stefan
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