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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Do 17.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Wie seit langem versprochen nun die Fragen, die ich mir zwischendurch gestellt hatte. Manche sind sicher schnell zu beantworten, bei anderen brauche ich aber definitiv Hilfe :-(
1) Ist es bei der Definition 1.31 des Claims notwendig,
[mm] E^Q(\frac{1}{B_T} C) <\infty[/mm]
zu fordern? (Vgl. (0.3.1) in Karatzas' Lectures) Das fällt mir etwas schwer, weil an dieser Stelle $Q$ ja noch gar nicht aufgetaucht ist. Ich könnte das natürlich auch mit $P'$ fordern. Da die beiden Maße äquivalent sind, sollte das gleichbedeutend sein. (Oder??) An sich finde ich die Bedingung aber zu technisch und unbedeutend. Was meinst Du dazu? Oder sollte ich irgendwo ergänzen, dass ich generell davon ausgehe, dass die verwendeten Erwartungswerte existieren?
2) Ist die Sache mit den Diffusionsprozessen (Def. 1.26) abgeschlossen? Du wolltest ja ursprünglich noch etwas dazu schreiben. Vielleicht habe ich die eine Mail aber so überzeugend formuliert, dass Du den Eindruck hattest,
Du müsstest nichts hinzufügen 
Ich habe den Eindruck, dass der Satz an dieser Stelle nicht gut aufgehoben ist, weil ich eigentlich noch viel mehr zu den Prozessen [mm] $S^{(i)}$ [/mm] sagen müsste (und damit wegen der Def. von [mm] $S^{(0)}$ [/mm] auch zu [mm] $r_t$), [/mm] bevor ich das Ergebnis folgern kann (mit den Integralprozessen). Ich werde nachher noch was im anderen Thread dazu schreiben.
3) Die Sache mit der previsiblen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist doch nun überflüssig geworden, oder? Das war ja nur eine Eigenart von Irle, das stochastische Integral einzuführen. Wenn 2) geklärt ist, kann ich darauf (insbesondere im Anhang) verzichten.
4) In der Def. des Maßes $Q$ hatte ich ursprünglich mal
[mm] \forall A\in\sigma\left(\bigcup_{t\in[0,T]}{\cal F}'_t\right)[/mm]
stehen. Das ist aber gleichbedeutend mit [mm] ${\cal F}'_T$, [/mm] oder?
5) Bei Erläuterung der Bondpreistheorie wird zu Beginn oft gefordert, dass alle Bonds (d.h. mit beliebiger Laufzeit) "frictionless" handelbar sind. Das taucht bei mir bisher nirgends auf, da ich mich ja gleich auf einen speziellen zurückziehe. Sollte ich das in Bem. 1.40 weiter ausführen?
6) Ich verstehe den Unterschied nicht so ganz zwischen Riemann-Stieltjes und Lebesgue-Stieltjes-Integral. Bisher habe ich ja eigentlich mit der Riemann-Theorie gearbeitet (insbes. im Anhang).
Wie kann ich exakt begründen, woher die Auflösung des Integrals in eine Summation auf S. 29 unten (drittletzte Zeile) kommt? Gilt das auch für beide Stieltjes-Integrale? Ich habe es für Riemann jedenfalls nicht verstanden. Allerdings sind die Überlegungen dazu schon einige Wochen her, und ich muss erst noch mal selbst drüber nachdenken. Also musst Du nicht als erstes auf diese Frage eingehen.
7) Soll ich was zum Wechsel $v(t)$ nach [mm] $v_t$ [/mm] vom 2. ins 3. Kapitel sagen? Oder ist das klar? Ich gebe zu, es ist nicht ganz konsistent, und lustigerweise benutze ich in Kapitel 1 eigentlich nur [mm] $B_t$, [/mm] aber ich möchte erst Deine Meinung hören, bevor ich alles ändere.
8) Ich vergleiche ziemlich oft Driftkoeffizienten von SDE's. Woher weiß ich eigentlich, dass diese eindeutig sind?
9) Im Norberg-Skript habe ich gelesen, dass er für das DK immer die Randbedingung $V(T)=0$ annimmt. Bei mir ist ja im Erlebensfall $V(T)=D(T)$. Hast Du das erste schon mal wo gesehen? Er geht ja dann quasi davon aus, dass direkt in T noch die letzte Zahlung erfolgt und dann das Deckungskapital auf 0 fällt. Das finde ich komisch. Irgendwie betrachtet er doch dann schon $T^+$. Na ja, auch hier sollte ich noch mal genau nachlesen, fürchte ich.![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
10) generelle Frage: Denkst Du, ich sollte extra Funktionen einführen, wenn ich beispielsweise den Bondpreis als Funktion von $t$ und [mm] $r_t$ [/mm] definiere, also [mm] $P^T(t)=F(t,r_t;T)$, [/mm] so wie es der Björk macht? Oder ist es so verständlich, wie es zur Zeit da steht?
OK, das war's erst mal. Ich hoffe, Du findest bald Zeit, über die ein oder andere Sache mal nachzudenken. Aber lass Dich davon nicht zu sehr von anderer Arbeit abhalten.
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus für Deine Bemerkungen! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 17.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ich fange mal an, was zu deinen Fragen zu schreiben:
> 1) Ist es bei der Definition 1.31 des Claims notwendig,
>
> [mm]E^Q(\frac{1}{B_T} C) <\infty[/mm]
> zu fordern? (Vgl. (0.3.1) in Karatzas' Lectures) Das fällt mir etwas schwer, weil an dieser Stelle [mm]Q[/mm] ja noch gar nicht > aufgetaucht ist. Ich könnte das natürlich auch mit [mm]P'[/mm] fordern. Da die beiden Maße äquivalent sind, sollte das
> gleichbedeutend sein. (Oder??) An sich finde ich die Bedingung aber zu technisch und unbedeutend. Was meinst Du dazu?
> Oder sollte ich irgendwo ergänzen, dass ich generell davon ausgehe, dass die verwendeten Erwartungswerte existieren?
Du solltest es dazu schreiben, ja, doch. Zusammen mit der Novikov-Bedingung (die du ja später, wenn ich mich recht erinnere, mehr oder weniger global annimmst) ist dies äquivalent mit [mm]E^{P'}(\frac{1}{B_T}C) < \infty[/mm].
> 2) Ist die Sache mit den Diffusionsprozessen (Def. 1.26) abgeschlossen? Du wolltest ja ursprünglich noch etwas dazu
> schreiben.
Habe ich doch... Hattest du es nicht gelesen? Man muss fordern, dass die Diffusionsprozesse beschränkt sind auf $[0,T]$.
> Vielleicht habe ich die eine Mail aber so überzeugend formuliert, dass Du den Eindruck hattest,
> Du müsstest nichts hinzufügen
> Ich habe den Eindruck, dass der Satz an dieser Stelle nicht gut aufgehoben ist, weil ich eigentlich noch viel mehr zu den
> Prozessen [mm]S^{(i)}[/mm] sagen müsste (und damit wegen der Def. von [mm]S^{(0)}[/mm] auch zu [mm]r_t[/mm]),
> bevor ich das Ergebnis folgern kann (mit den Integralprozessen). Ich werde nachher noch was im anderen Thread dazu
> schreiben.
Das verstehe ich jetzt nichts, werde ich dann ja sehen.
> 3) Die Sache mit der previsiblen [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist doch nun überflüssig geworden, oder? Das war ja nur eine
> Eigenart von Irle, das stochastische Integral einzuführen. Wenn 2) geklärt ist, kann ich darauf (insbesondere im Anhang)
> verzichten.
Ich hatte letztens Rasmus was dazu hier im Forum geschrieben. Solange man nur über Wiener-Prozesse integriert, genügen progressiv-messbare Prozesse. Du kannst das also weglassen. Solange man nur über Wiener-Prozesse integriert, genügt sogar die Adaptiertheit der Prozesse.
> 4) In der Def. des Maßes [mm]Q[/mm] hatte ich ursprünglich mal
> [mm]\forall A\in\sigma\left(\bigcup_{t\in[0,T]}{\cal F}'_t\right)[/mm]
> stehen. Das ist aber gleichbedeutend mit [mm]{\cal F}'_T[/mm], oder?
Ja, genau dann, wenn $T < [mm] \infty$, [/mm] und du betrachtest ja nur endliche Zeithorizonte.
> 5) Bei Erläuterung der Bondpreistheorie wird zu Beginn oft gefordert, dass alle Bonds (d.h. mit beliebiger
> Laufzeit) "frictionless" handelbar sind. Das taucht bei mir bisher nirgends auf, da ich mich ja gleich auf einen speziellen
> zurückziehe. Sollte ich das in Bem. 1.40 weiter ausführen?
Mir sagt das nichts mit dem "frictionless", tut mir leid. Was heißt das denn? Das kann ich jetzt nicht beurteilen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Do 17.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
>Du solltest es dazu schreiben, ja, doch. Zusammen mit der Novikov-Bedingung (die du ja später, wenn ich mich recht erinnere, mehr oder weniger global annimmst) ist dies äquivalent mit [mm]E^{P'}(\frac{1}{B_T}C) < \infty[/mm].
OK, [mm] $xi_t$ [/mm] darf natürlich keinen Quatsch machen. Kann ich ja dann als Bemerkung einfügen, dass die Erwartungswerte auch unter $Q$ existieren.
> Ich hatte letztens Rasmus was dazu hier im Forum geschrieben. Solange man nur über Wiener-Prozesse integriert, genügen progressiv-messbare Prozesse. Du kannst das also weglassen. Solange man nur über Wiener-Prozesse integriert, genügt sogar die Adaptiertheit der Prozesse.
Stimmt, das hatte ich mir damals auch ausgedruckt. Sorry (gibt es dafür auch einen Smiley, vielleicht einen rot anlaufenden Kopf?)
> 4) In der Def. des Maßes [mm]Q[/mm] hatte ich ursprünglich mal
> [mm]\forall A\in\sigma\left(\bigcup_{t\in[0,T]}{\cal F}'_t\right)[/mm]
> > stehen. Das ist aber gleichbedeutend mit [mm]{\cal F}'_T[/mm], oder?[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ja, genau dann, wenn [mm]T < \infty[/mm], und du betrachtest ja nur endliche Zeithorizonte.[/mm][/mm]
Gut. Dann habe ich ja endlich mal was richtig verstanden. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
5) Bei Erläuterung der Bondpreistheorie wird zu Beginn oft gefordert, dass alle Bonds (d.h. mit beliebiger Laufzeit) "frictionless" handelbar sind. Das taucht bei mir bisher nirgends auf, da ich mich ja gleich auf einen speziellen [/mm][/mm]
> [mm][mm]> zurückziehe. Sollte ich das in Bem. 1.40 weiter ausführen?[/mm][/mm]
> [mm][mm]Mir sagt das nichts mit dem "frictionless", tut mir leid. Was heißt das denn? Das kann ich jetzt nicht beurteilen.[/mm][/mm]
"frictionless" (vgl. Ass. 15.1.1) heißt so viel wie reibungslos. Ich verstehe darunter alles, was in Ass. 2.1.1 im Björk aufgelistet ist (keine Transaktionskosten, bel. Stückelung, Kaufpreis=Verkaufspreis u.ä.) Aber um dieses Wort geht es mir gar nicht. Mir geht es drum, ob ich die Annajme, dass [mm] [i]alle[\i] [/mm] Bonds handelbar sind, mit aufnehmen soll und wenn ja, an welcher Stelle.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 17.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> 5) Bei Erläuterung der Bondpreistheorie wird zu Beginn oft
> gefordert, dass alle Bonds (d.h. mit beliebiger Laufzeit)
> "frictionless" handelbar sind. Das taucht bei mir bisher
> nirgends auf, da ich mich ja gleich auf einen speziellen[/mm][/mm]
> > [mm][mm]> zurückziehe. Sollte ich das in Bem. 1.40 weiter ausführen?[/mm][/mm]
>
> > [mm][mm]Mir sagt das nichts mit dem "frictionless", tut mir leid. Was heißt das denn? Das kann ich jetzt nicht beurteilen.[/mm][/mm]
>
>
> "frictionless" (vgl. Ass. 15.1.1) heißt so viel wie
> reibungslos. Ich verstehe darunter alles, was in Ass. 2.1.1
> im Björk aufgelistet ist (keine Transaktionskosten, bel.
> Stückelung, Kaufpreis=Verkaufspreis u.ä.) Aber um dieses
> Wort geht es mir gar nicht. Mir geht es drum, ob ich die
> Annajme, dass [mm][i]alle[\i][/mm] Bonds handelbar sind, mit aufnehmen [/i][/mm]
Ja, das musst du ja eigentlich, weil ja sonst die ganze "Market Price of Risk"- und Martingalmaß-Theorie zusammenbricht, oder? Naja, zumindestens braucht man dafür, dass Bonds mit zwei Laufzeiten existieren, damit man sich dieses risikolose Portfolio aus zwei Bond basteln kann. Ob man braucht, dass alle existieren, überblicke ich gerade nicht. Ich denke nicht, aber: Nimm es besser komplett mit rein, bevor wir da jetzt was übersehen.
Tut mir leid, da kann ich nicht weiterhelfen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Und ich sage mir:
![[keineahnungfressehalten]](/images/smileys/keineahnungfressehalten.gif "[keineahnungfressehalten]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 17.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> 6) Ich verstehe den Unterschied nicht so ganz zwischen Riemann-Stieltjes und Lebesgue-Stieltjes-Integral. Bisher habe ich ja
> eigentlich mit der Riemann-Theorie gearbeitet (insbes. im Anhang). Wie kann ich exakt begründen, woher die Auflösung des
> Integrals in eine Summation auf S. 29 unten (drittletzte Zeile) kommt? Gilt das auch für beide Stieltjes-Integrale? Ich habe es
> für Riemann jedenfalls nicht verstanden. Allerdings sind die Überlegungen dazu schon einige Wochen her, und ich muss erst
> noch mal selbst drüber nachdenken. Also musst Du nicht als erstes auf diese Frage eingehen.
Ich kenne das Lebesgue-Stieltjes-Integral nicht so gut, da muss ich ehrlich sein. Das müsste ich mir anlesen. Es genügt hier aber meiner Ansicht nach für festes [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] die Integrale als Riemann-Stieltjes-Integrale aufzufassen. Dann folgt aus dem, wie ich es kenne, die angesprochene Zeile sofort, weil die Riemann-Stieltjes-Integrale für Integratoren mit endlich vielen Sprungstellen gerade so definiert sind, dass man diese Art von Summen nimmt. Ich schicke dir in den nächsten Tagen mal was zu Riemann-Stieltjes-Integralen, per Post, dann können wir darüber gezielter reden, denn so gehen wir vermutlich von unterschiedlichen Definitionen aus. (Denn ansonsten hättest du die Frage nicht gestellt. Wie gesagt: Aus dem, was ich kenne, ist es genau die Definition für solche Integratoren.)
> 7) Soll ich was zum Wechsel [mm]v(t)[/mm] nach [mm]v_t[/mm] vom 2. ins 3. Kapitel sagen? Oder ist das klar? Ich gebe zu, es ist nicht ganz konsistent, und lustigerweise benutze ich in Kapitel 1 eigentlich nur [mm]B_t[/mm], aber ich möchte erst Deine Meinung hören, bevor ich alles ändere.[/mm][/mm]
Das musst du natürlich selber wissen, aber ich würde alles einheitlich machen. Immer $v(t)$ und $B(t)$.
Aber das bleibt deine Entscheidung.
> 8) Ich vergleiche ziemlich oft Driftkoeffizienten von SDE's. Woher weiß ich eigentlich, dass diese eindeutig sind?
Nachfrage: Du meinst, wenn du
$dX(t) = [mm] \alpha(t) [/mm] dt + [mm] \sigma(t) [/mm] dW(t) = [mm] \beta(t) [/mm] dt + [mm] \tau(t) [/mm] dW(t)$
hast, warum dann [mm] $\alpha(t) [/mm] = [mm] \beta(t)$ [/mm] gilt?
Das würde ja sonst bedeuten, das zwei verschiedene SDE's die gleiche Lösung haben. (?)
Aber, was man meiner Meinung nach in der Tat nur sagen kann, ist die Tatsache, dass die Gleichheit der Drifttermen nur für Lebesgue-fast alle $t$ gilt. Ich bin mir nicht sicher, wie man das hinkriegen soll, dass es für alle $t$ gilt. Wenn die Driftterme dann aber stetig sind, folgt es dann auch für wirklich alle $t$.
Vielleicht schreibst du mir noch mal genauer, an welcher Stelle das Problem zum Beispiel auftritt und was da genau unklar ist. Ich denke, ich habe es nicht richtig verstanden.
> 9) Im Norberg-Skript habe ich gelesen, dass er für das DK immer die Randbedingung [mm]V(T)=0[/mm] annimmt. Bei mir ist ja im Erlebensfall [mm]V(T)=D(T)[/mm]. Hast Du das erste schon mal wo gesehen? Er geht ja dann quasi davon aus, dass direkt in T noch die letzte Zahlung erfolgt und dann das Deckungskapital auf 0 fällt. Das finde ich komisch. Irgendwie betrachtet er doch dann schon [mm]T^+[/mm]. Na ja, auch hier sollte ich noch mal genau nachlesen, fürchte ich.
Hmmh... finde ich komisch. Ich finde deinen Ansatz plausibler.
> 10) generelle Frage: Denkst Du, ich sollte extra Funktionen einführen, wenn ich beispielsweise den Bondpreis als Funktion von [mm]t[/mm] und [mm]r_t[/mm] definiere, also [mm]P^T(t)=F(t,r_t;T)[/mm], so wie es der Björk macht? Oder ist es so verständlich, wie es zur Zeit da steht?[/mm]
Es ist so sehr gut verständlich!! 
So, jetzt geht es ans Doktorhut-Basteln (für Gabriel).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 17.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Ich kenne das Lebesgue-Stieltjes-Integral nicht so gut, da
> muss ich ehrlich sein. Das müsste ich mir anlesen. Es
> genügt hier aber meiner Ansicht nach für festes [mm]\omega \in \Omega[/mm]
> die Integrale als Riemann-Stieltjes-Integrale aufzufassen.
So habe ich mir das auch gedacht. Prima.
> Dann folgt aus dem, wie ich es kenne, die angesprochene
> Zeile sofort, weil die Riemann-Stieltjes-Integrale für
> Integratoren mit endlich vielen Sprungstellen gerade so
> definiert sind, dass man diese Art von Summen nimmt. Ich
> schicke dir in den nächsten Tagen mal was zu
> Riemann-Stieltjes-Integralen, per Post, dann können wir
> darüber gezielter reden, denn so gehen wir vermutlich von
> unterschiedlichen Definitionen aus. (Denn ansonsten hättest
> du die Frage nicht gestellt. Wie gesagt: Aus dem, was ich
> kenne, ist es genau die Definition für solche
> Integratoren.)
Super. Vielen Dank. Da werde ich bestimmt noch einiges dazulernen.
Und dann mache ich mir noch mal Gedanken über die andere Definition.
> > 7) Soll ich was zum Wechsel [mm]v(t)[/mm] nach [mm]v_t[/mm] vom 2. ins 3.
> Kapitel sagen?
> Das musst du natürlich selber wissen, aber ich würde alles
> einheitlich machen. Immer [mm]v(t)[/mm] und [mm]B(t)[/mm].
> Aber das bleibt deine Entscheidung.
Hm, das wollte ich natürlich nicht hören Also gut, ich denke drüber nach.
Dann müsste ich aber bei allen Größen den Index aufgeben, und das wäre wohl fatal...
> > 8) Ich vergleiche ziemlich oft Driftkoeffizienten von
> SDE's. Woher weiß ich eigentlich, dass diese eindeutig
> sind?
>
> Nachfrage: Du meinst, wenn du
>
> [mm]dX(t) = \alpha(t) dt + \sigma(t) dW(t) = \beta(t) dt + \tau(t) dW(t)[/mm]
>
> hast, warum dann [mm]\alpha(t) = \beta(t)[/mm] gilt?
Genau. Bei uns gilt sogar [mm] $\tau(t)=\sigma(t)$. [/mm]
> Das würde ja sonst bedeuten, das zwei verschiedene SDE's
> die gleiche Lösung haben. (?)
Hm. Guter Einwand. Macht schon bei deterministischen Differentialgleichungen wenig Sinn. Aber völlig klar ist es mir nicht.
> Aber, was man meiner Meinung nach in der Tat nur sagen
> kann, ist die Tatsache, dass die Gleichheit der Drifttermen
> nur für Lebesgue-fast alle [mm]t[/mm] gilt. Ich bin mir nicht
> sicher, wie man das hinkriegen soll, dass es für alle [mm]t[/mm]
> gilt. Wenn die Driftterme dann aber stetig sind, folgt es
> dann auch für wirklich alle [mm]t[/mm].
OK. Das hilft mir schon viel weiter.
> Vielleicht schreibst du mir noch mal genauer, an welcher
> Stelle das Problem zum Beispiel auftritt und was da genau
> unklar ist. Ich denke, ich habe es nicht richtig
> verstanden.
Doch, doch, hast Du. Ich bin damit zufrieden.
> > 9) Im Norberg-Skript habe ich gelesen, dass er für das DK
> immer die Randbedingung [mm]V(T)=0[/mm] annimmt. Bei mir ist ja im
> Erlebensfall [mm]V(T)=D(T)[/mm]. Hast Du das erste schon mal wo
> gesehen? Er geht ja dann quasi davon aus, dass direkt in T
> noch die letzte Zahlung erfolgt und dann das
> Deckungskapital auf 0 fällt. Das finde ich komisch.
> Irgendwie betrachtet er doch dann schon [mm]T^+[/mm]. Na ja, auch
> hier sollte ich noch mal genau nachlesen, fürchte
> ich.
>
> Hmmh... finde ich komisch. Ich finde deinen Ansatz
> plausibler.
Das beruhigt mich Außerdem habe ich es ja nur vom Persson so übernommen. Ich schaue aber auch noch mal in anderen Versicherungsbüchern (Koller )
> > 10) generelle Frage: Denkst Du, ich sollte extra
> Funktionen einführen, wenn ich beispielsweise den Bondpreis
> als Funktion von [mm]t[/mm] und [mm]r_t[/mm] definiere, also
> [mm]P^T(t)=F(t,r_t;T)[/mm], so wie es der Björk macht? Oder ist es
> so verständlich, wie es zur Zeit da steht?[/mm]
>
> Es ist so sehr gut verständlich!!
Das wollte ich hören. Danke.
Wann ist Gabriels Prüfung? Sag ihm bitte viele Grüße und viel Glück! Und dann bleibt ja nur noch dieser Smiley: ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ich glaube, mein Problem mit dem Riemann-Stieltjes-Integral ist mir wieder eingefallen, und bei genauerem Nachdenken habe ich es wohl selbst gelöst. Es ging mir um die Definition A.8 im Anhang, bei der zu einer Zerlegung [mm] $\zeta$ [/mm] ja beliebig gewählte Zwischenpunkte [mm] $\xi_i$ [/mm] betrachtet werden.
Zum einen verwirrte mich, dass diese Zwischenpunkte aus dem abgeschlossenen Intervall [mm] $[x_{i-1},x_i]$ [/mm] stammen, was bedeutet, dass zwei aufeinanderfolgende Zwischenpunkte gleich sein können (nämlich gerade die Intervallgrenze).
Nehmen wir mal der Einfachheit halber die Indikatorfunktion
[mm] g(x)=1_{[x',\infty)}(x)[/mm]
und als Integranden eine stetige Funktion auf $[a,b]$ mit [mm] $x'\in[a,b]$. [/mm] Ich dachte, dass man dann die Zwischenpunkte immer so wählen könnte, dass quasi der Sprung nicht zur Geltung kommt, aber das ist ja Quatsch, da die Differenz in der Riemann-Summe [mm] $g(x_i)-g(x_{i-1})$ [/mm] lautet, und dort auf jeden Fall der Sprung berücksichtigt wird.
Das zweite Problem war, dass ich für obiges Beispiel
[mm] \int_a^b f(x)\,dg(x) = f(x')[/mm]
rausbekommen wollte, mir aber nicht klar war, wieso gerade $f(x')$ als Vorfaktor vor den obigen Differenzen zustande kommt, wenn [mm] $\xi_i$ [/mm] doch beliebig ist. Dabei habe ich aber vergessen, dass ja $f$ stetig ist und der Maximalabstand zwischen [mm] $x_{i-1}$ [/mm] und [mm] $x_i$ [/mm] gegen 0 gehen muss, und damit bleibt für das [mm] $\xi_i$, [/mm] das in dem Intervall mit dem Sprung liegt, gar keine andere Wahl als $x'$.
Ich hoffe, Du kannst meinen (merkwürdigen) Ausführungen folgen und bestätigst, dass dadurch das Problem gelöst ist
Natürlich darfst Du mir trotzdem noch gerne ein paar Unterlagen dazu schicken; das bringt mich sicherlich weiter.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Deine Ausführungen sind aus meiner Sicht allesamt korrekt, ja.
Liebe Grüße
Stefan
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![[lehrerin]](/images/smileys/lehrerin.gif "[lehrerin]"){kind=small}
jetzt fertig. Sieht super aus!!
![[streber]](/images/smileys/streber.gif "[streber]"){kind=small}
