Ana-Aufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hey! Ich sitz vor folgender Aufgabe und find einfach keinen Ansatz. Vielleicht kann mir ja jemand helfen:
Sei A Teilmenge der reellen Zahlen und seien fj: A -> R, j=1,...,k, stetige
Funktionen.
Zeigen Sie, dass dann auch die Funktionen min(fj | j=1,...,k) und max(fj |
j=1,...,k) stetig auf A sind!
Würde mich sehr über Lösungsansätze freuen.
Viele Grüße, Mike
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mike,
ich mache es mal für das Maximum vor. Für das Minimum kannst du es dann ja selber versuchen und dein Ergebnis hier zur Überprüfung reinstellen.
Zu zeigen ist:
Die Funktion [mm] $\max(f_j \, |\, [/mm] j=1,...,k)$ ist auf $A$ stetig.
Ich zeige mit Induktion über die Menge [mm] $M=\{1,\ldots,k\}$, [/mm] dass für alle $1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] k$ die Funktion
[mm] $\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, [/mm] i)$
stetig ist.
Induktionsanfang $(i=1)$:
Hier ist nichts zu zeigen.
Induktionsschritt $i [mm] \to [/mm] i+1$:
Für $i<k$ gelte also, dass die Funktion
[mm] $\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, [/mm] i)$
stetig ist. Zu zeigen ist, dass die Funktion
[mm] $\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, [/mm] i+1)$
stetig ist. Offenbar gilt:
[mm] $\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, [/mm] i+1) = [mm] \max(\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, i),f_{i+1})$.
[/mm]
Nach (Induktions-)Voraussetzung sind aber [mm] $\max(f_j\, |\, j=1,\ldots, [/mm] i)$ und [mm] $f_{i+1}$ [/mm] stetig. Daher bleibt zu zeigen, dass das Maximum zweier stetiger Funktionen wieder stetig ist.
Sind aber $f$, $g$ stetige Funktionen auf $A [mm] \subset \IR$, [/mm] so auch $f-g$ und $f+g$. Weiterhin ist offenbar auch die Betragsfunktion einer stetigen Funktion stetig, also ist auch $|f-g|$ stetig auf $A$. Dann ist aber auch
(*) [mm] $\max(f,g) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (f+g+|f-g|)$
stetig auf $A$, q.e.d.
Falls dir die letzte Gleichheit (*) nicht einsichtig ist, dann mache dir bitte mit Fallunterscheidung (1. Fall: $a [mm] \ge [/mm] b$, 2. Fall: $a<b$) klar, dass für zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ die Beziehung
(**) [mm] $\max(a,b) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (a+b+|a-b|)$
gilt, woraus dann (*) folgt, da die Funktion [mm] $\max(f,g)$ [/mm] punktweise definiert ist, gemäß:
[mm] $[\max(f,g)] [/mm] (x) := [mm] \max(f(x),g(x))$.
[/mm]
Melde dich bitte wieder mit einem analogen Beweis für das Minimum oder mit gezielten Fragen zu meinem Beweis.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Lieber Marcel,
> natürlich geht das so, aber aus didaktischen Gründen halte ich es für
> klüger, wenn man den Beweis am Minimum noch einmal nachvollzieht. 
Achso, ich war nur etwas verwundert, weil unser OR-Prof. diese (Zitat: "absolut triviale"  ) Beziehung stets verwendet mit dem Kommentar: "Da gibt es einige Leute, die da einen 5 Seiten Beweis führen, der dann auch noch falsch ist, dabei geht das in zwei Zeilen, wenn nicht gar in einer...".
Aber wenn du den Beweis aus didaktischen Gründen haben wolltest, dann verstehe ich das natürlich, zum "Verständnis" deines Beweises ist das tatsächlich das Sinnvollste
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
|
