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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 03.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo miteinander.
Vor meiner Frage, möchte ich kurz eine Lösung vorstellen - zu der Ihr vielleicht kurz sagen könnt ob Ihr Sie richtig findet:
Z.Z.
|d(x,z)-d(y,z)| [mm] \le [/mm] d(x,y)
Ein Axiom einer Metrik - und gilt damit - ist ja:
d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)
[mm] \gdw
[/mm]
d(x,z)-d(y,z) [mm] \le [/mm] d(x,y)
Ich muss also nur noch zeigen, dass
d(x,z)-d(y,z) [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Worst-Case ist max(d(y,z)) und kann so bestimmt werden:
Aus d(x,y)+max(d(y,z)) [mm] \le [/mm] d(x,z) und alle [mm] \ge [/mm] 0
folgt max(d(y,z)) = d(x,z) und d(x,y) = 0,
also d(x,z)-d(y,z) = 0 und damit positv.
Jetzt meine eigentliche Frage:
Ich habe zu zeigen:
d(a,b) < C (Konstante) [mm] \forall \in [/mm] A und C [mm] \in \IR \gdw [/mm] A beschränkt
Wir wissen:
A beschränkt [mm] \Leftarrow \exists U_r(a) \supseteq [/mm] A
Eine Idee war zu behaupten, dass es Maximum max(d(.,.)) davon gibt.
So bräuchte ich nur noch ein C = max(d(.,.)) + 1 wählen und
als Radius für meine Kugel wählen und hätte alles überdeckt.
Jetzt bin ich mir aber über den Formalismus nicht klar, darf ich es so schreiben oder muss ich noch mehr zwischenschritte machen.
Außerdem frage ich mich ob die Idee nicht nur für endliche A gilt.
Was ist mit einer unendlichen Menge ?
Klar, aus der Vorstellung ist, dass die Menge begrenzt ist und also irgendwo ein maximaler Abstand existiert.
Oder wenigstens ein Supremum der Metrik.
Gilt das aber auch für unendliche Mengen?
es könnten sich ja unendlich viele Punkte ziwischen zwei Punkten befinden.
Oder muss ich einen ganz anderen Ansatz wählen?
Vielen Dank
Gruß Sebasitan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 03.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo miteinander.
> Vor meiner Frage, möchte ich kurz eine Lösung vorstellen -
> zu der Ihr vielleicht kurz sagen könnt ob Ihr Sie richtig
> findet:
> Z.Z.
> |d(x,z)-d(y,z)| [mm]\le[/mm] d(x,y)
> Ein Axiom einer Metrik - und gilt damit - ist ja:
> d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y)+d(y,z)
> [mm]\gdw[/mm]
> d(x,z)-d(y,z) [mm]\le[/mm] d(x,y)
> Ich muss also nur noch zeigen, dass
> d(x,z)-d(y,z) [mm]\ge[/mm] 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") soweit ist das schonmal sehr schön! 
> Worst-Case ist max(d(y,z)) und kann so bestimmt werden:
> Aus d(x,y)+max(d(y,z)) [mm]\le[/mm] d(x,z) und alle [mm]\ge[/mm] 0
> folgt max(d(y,z)) = d(x,z) und d(x,y) = 0,
> also d(x,z)-d(y,z) = 0 und damit positv.
Hmm wovon ist d(y,z) der worst-case? Was veränderst du und was lässt du variabel? Das einzige, wo dir Wahlmöglichkeiten vorbehalten sind, ist doch das y. Für jedes y auf der Verbindungsstrecke von x und z kommt gerade der Extremfall heraus, dass
$d(x,z) = d(x,y) + d(y,z) $.
Du kannst aus den Axiomen folgern:
(i) d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y)+d(y,z)
und
(ii) d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z)+d(z,y)
Ich habe hier einfach die Reihenfolge von y und z vertauscht, da es ja für alle x,y,z gelten muss.
nun stelle ich nach d(x,y) um:
(i) d(x,y) [mm] $\ge$ [/mm] d(x,z) - d(y,z)
(ii) d(x,y) [mm] $\le$ [/mm] d(x,z) + d(z,y) = d(x,z) + d(y,z)
Daraus folgt schon:
d(x,y) [mm] $\ge$ [/mm] |d(x,z)-d(y,z)|
>
>
> Jetzt meine eigentliche Frage:
>
> Ich habe zu zeigen:
> d(a,b) < C (Konstante) [mm]\forall \in[/mm] A und C [mm]\in \IR \gdw[/mm]
> A beschränkt
>
> Wir wissen:
> A beschränkt [mm]\Leftarrow \exists U_r(a) \supseteq[/mm] A
>
> Eine Idee war zu behaupten, dass es Maximum max(d(.,.))
> davon gibt.
> So bräuchte ich nur noch ein C = max(d(.,.)) + 1 wählen
> und
> als Radius für meine Kugel wählen und hätte alles
> überdeckt.
Der Ansatz ist schon recht gut. Allerdings musst du beachten, dass beschränkte Mengen nicht zwangsweise abgeschlossen sind. Für denn Fall dass es offene Mengen sind, genügt in dem Fall aber trotzdem das Supremum anstatt des Maximums um das Gewünschte zu zeigen:
A beschränkt
[mm] $\gdw \exists [/mm] M>0: M = [mm] \sup_{x,y \in A} [/mm] d(x,y)$
[mm] $\gdw \exists [/mm] C>0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A : d(x,y) < C $
In der letzten Gleichung gilt das für M<C. Insbesondere ist hierbei $M [mm] \not= \infty$.
[/mm]
Wähle also C:= M + 1. und das beendet den Beweis.
>
> Jetzt bin ich mir aber über den Formalismus nicht klar,
> darf ich es so schreiben oder muss ich noch mehr
> zwischenschritte machen.
> Außerdem frage ich mich ob die Idee nicht nur für endliche
> A gilt.
>
> Was ist mit einer unendlichen Menge ?
> Klar, aus der Vorstellung ist, dass die Menge begrenzt ist
> und also irgendwo ein maximaler Abstand existiert.
Eine unendliche Menge ist unbeschränkt... oder was meinst du hier genau?
Ich hatte dich hier falsch verstanden... Wenn du mit unendlich meinst, dass unendlich viele Elemente enthalten sind, kann es trotzdem beschränkt bleiben. Die Frage ist dann eben, ob ein supremum der Abstände existiert.
>
> Oder wenigstens ein Supremum der Metrik.
> Gilt das aber auch für unendliche Mengen?
> es könnten sich ja unendlich viele Punkte ziwischen zwei
> Punkten befinden.
Gruß Micha 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:40 Di 03.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo Micha :)
ich hatte meinen Beweis schon, nur dann lückenhaft aus dem Gedächtnis aufgeschrieben - tut mir leid.
Bitte noch einmal überfliegen:
a := d(x,y) , b := d(y,z) , c := d(x,z)
z.z.
Aus c [mm] \le [/mm] a + b bzw. c - b [mm] \le [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] | c - b | [mm] \le [/mm] a
Also z.z. sub(b) [mm] \le [/mm] c
c - b [mm] \le [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] sub(b) = c - a [mm] \Rightarrow [/mm] sub(b) = c - 0 = c
c - c = 0 [mm] \ge [/mm] 0
g.e.d.
Ich denke jetzt bist du einverstanden :)
Zur anderen Aufgabe muss ich mir noch Gedanken machen.
Gruß Sebastian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Di 03.05.2005 | | Autor: | Micha |
> Hallo Micha :)
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> ich hatte meinen Beweis schon, nur dann lückenhaft aus dem
> Gedächtnis aufgeschrieben - tut mir leid.
>
> Bitte noch einmal überfliegen:
>
> a := d(x,y) , b := d(y,z) , c := d(x,z)
> z.z.
> Aus c [mm]\le[/mm] a + b bzw. c - b [mm]\le[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] | c - b |
> [mm]\le[/mm] a
> Also z.z. sub(b) [mm]\le[/mm] c
> c - b [mm]\le[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] sub(b) = c - a [mm]\Rightarrow[/mm] sub(b)
> = c - 0 = c
> c - c = 0 [mm]\ge[/mm] 0
> g.e.d.
Ich verstehe hier deine Notation nicht: Was meinst du mit sub? Meinst du das Supremum? oo
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 04.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo Micha :)
> > Bitte noch einmal überfliegen:
> >
> > a := d(x,y) , b := d(y,z) , c := d(x,z)
> > z.z.
> > Aus c [mm]\le[/mm] a + b bzw. c - b [mm]\le[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] | c - b |
> > [mm]\le[/mm] a
> > Also z.z. sub(b) [mm]\le[/mm] c
> > c - b [mm]\le[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] sub(b) = c - a [mm]\Rightarrow[/mm]
> sub(b)
> > = c - 0 = c
> > c - c = 0 [mm]\ge[/mm] 0
> > g.e.d.
> Ich verstehe hier deine Notation nicht: Was meinst du mit
> sub? Meinst du das Supremum? oo
Jaaaaaaa ! :)
Ist das falsch ?
Gruß Seba
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